量子信息技術(shù)-第一章

第一章EPR佯謬與量子糾纏波函數(shù)的絕對值的平方等于粒子在點r附近出現(xiàn)的概率p：代表在點r附近的小體積元

中找到粒子的概率，因此也稱為概率波幅。著名物理學(xué)家費曼曾指出：量子力學(xué)的精妙之處在于引入概率波幅(即量子態(tài))的概念。一

薛定諤貓與EPR佯謬關(guān)于量子力學(xué)理論是否完備的EPR佯謬長期激烈爭論的焦點也在這個量子態(tài)上。薛定諤于1932年提出的所謂“薛定諤貓”佯謬和愛因斯坦等人在1935年提出的EPR佯謬。1.薛定諤貓薛定諤貓的實驗裝置巧妙地將微觀放射源和宏觀的貓聯(lián)系起來！容器里的貓是死還是活？既然放射性粒子是處于0和1的疊加態(tài)，那么這只貓理應(yīng)處于死和活的疊加態(tài)。這只在特定狀態(tài)下的半死半活的貓就是著名的“薛定諤貓”。薛定諤想要闡述的物理問題是：微觀世界遵從量子疊加原理；那么，如果自然界確實按照量子力學(xué)運行的話，宏觀世界也應(yīng)遵從量子疊加原理。薛定諤的實驗裝置巧妙地把微觀放射源與宏觀的貓聯(lián)系起來，最終誕生出這只死活不定的薛定諤貓，結(jié)論似乎否定了宏觀世界存在可以區(qū)分的量子態(tài)的疊加態(tài)。然而，隨著量子光學(xué)的發(fā)展，人們研究各種制備宏觀量子疊加態(tài)的方案，1997年科學(xué)家終于在離子阱中觀察到這種“薛定諤”貓態(tài)，即一個被觀察的粒子在同一時間里處于兩個不同的狀態(tài)。薛定諤的問題還可以進一步擴展為：宏觀世界中是否存在量子效應(yīng)？事實上，大量實驗事實都肯定地回答了這個問題。最近幾年引起廣泛興趣的玻色愛因斯坦凝聚的實驗研究

進展更有力地證實了宏觀量子效應(yīng)。2.EPR佯謬“EPR佯謬”在近60多年的量子力學(xué)發(fā)展中起著重要的推動作用。這個實驗是愛因斯坦等人與量子力學(xué)創(chuàng)始人之一的玻爾就有關(guān)量子力學(xué)是否自洽、是否完備的學(xué)術(shù)爭論而引發(fā)的一系列假想實驗中的一個著名的思想實驗。1935年由愛因斯坦與波多爾斯基(B.Podolsky)、羅森(N.Rosen)聯(lián)名發(fā)表一篇論文，以思想實驗結(jié)論的方式對量子力學(xué)的完備性提出了質(zhì)疑。VS量子力學(xué)是否自洽是否完備“EPR佯謬”思想實驗愛因斯坦(A.Einstein)玻爾波多爾斯基(B.Podolsky)羅森(N.Rosen)定域?qū)嵲谡摚?/p>

1)引入了物理實在的假定：如果一個系統(tǒng)，在不對其干擾的情況下能夠確定性地預(yù)言某一物理量的值，就說這個物理量是客觀實在，它對應(yīng)一個物理實在的元素。

2)關(guān)于完備的物理理論的假定：一個完備的物理理論必定包含對所有的物理實在的描述。

3)關(guān)于定域性的假定：對于兩個離得非常遠的系統(tǒng)，對其中一個系統(tǒng)的測量不能及時影響到另外的系統(tǒng)，即不存在超距的相互作用。EPR佯謬的Bohm表述：測量：如果，那么。測量：如果，那么。如果，那么。如果，那么。這場爭論的本質(zhì)——真實世界是遵從愛因斯坦的局域?qū)嵲谡摚€是玻爾的非局域理論？判定這場戰(zhàn)爭的依據(jù)——基于愛因斯坦的隱參數(shù)理論推到得到的貝爾不等式！類似測量：如果，那么。即、、都是物理實在要素，它們在(B粒子)測量之前客觀上都同時具有確定值。而按照量子力學(xué)的觀點，由于B粒子的三個自旋算符彼此不對易，它們本來客觀上就是不能同時具有確定值的。如果，那么。二Bell不等式單次測量有。多次測量，在、兩個方向測量結(jié)果的關(guān)聯(lián)函數(shù)為類似的可以測量、1.最初的Bell不等式這就是根據(jù)隱變量理論得出的Bell不等式！根據(jù)量子力學(xué)，A、B兩個粒子組成一個統(tǒng)一的糾纏態(tài)，對A粒子沿方向和B粒子沿方向的測量所得的平均值為這很容易破壞。比如，取三矢量共面，夾角為:量子力學(xué)的結(jié)果，，2.CHSH不等式

CHSH不等式在推廣Bell不等式中，考慮到這類關(guān)聯(lián)測量實驗中的一些失誤或誤差因素。比如，對A(B)測量中儀器設(shè)備有時可能失效，這時按實驗規(guī)定，儀器裝置給出對A(B)的測量值為零；再比如，制備出的EPR對可能不純，因此同時沿同一方向測量A和B的自旋關(guān)聯(lián)并不嚴格相反等等。這樣關(guān)聯(lián)函數(shù)注意：寫成對稱形式量子力學(xué)的結(jié)果令那么而所以例如與矛盾！3.無不等式的Bell理論-GHZ定理上面都是借助于對各種不等式的破壞來揭示量子態(tài)的空間非定域性質(zhì)。由于實驗中測量的關(guān)聯(lián)函數(shù)均為態(tài)中的平均值，因此，關(guān)于破壞與否的論斷都是以統(tǒng)計方式作出的。事實上，也可以找到無不等式的Bell定理，使得人們可以用一種確定的、非統(tǒng)計的方式來揭示量子態(tài)的這種非定域性。對于三粒子GHZ態(tài)，存在一組相互對易的可觀測量，對于這組力學(xué)量的測量，量子力學(xué)將以確定的、非統(tǒng)計的方式給出與經(jīng)典定域?qū)嵲谡摬幌嗳莸慕Y(jié)果。三粒子GHZ態(tài)對GHZ態(tài)有按照定域?qū)嵲谡撚^點，客觀上應(yīng)該存在一組數(shù)滿足和而前三個式子相乘得到，與最后一個矛盾！

量子糾纏狀態(tài)(entangledstates)：指的是兩個或多個量子系統(tǒng)之間的非定域、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)狀態(tài)，是量子系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的力學(xué)屬性。量子糾纏狀態(tài)是微觀世界物質(zhì)間的特有現(xiàn)象，因此也是量子信息理論中特有的概念。量子系統(tǒng)能夠糾纏是實現(xiàn)信息高速的不可破譯通信的理論基礎(chǔ)。三

量子糾纏狀態(tài)一)兩體系統(tǒng)量子態(tài)分類1.可分離態(tài)與糾纏態(tài)可分離態(tài)：是這樣一些純態(tài)和混態(tài)，它們的密度矩陣可以寫成一些未關(guān)聯(lián)態(tài)之和不可分離態(tài)：又稱作糾纏態(tài)(包括糾纏純態(tài)和糾纏混態(tài))，是所有不能寫成上式形式的，即不能寫成可分離態(tài)形式的態(tài)。例如，下述混態(tài)當均是糾纏的a=1/2時，的可分態(tài)形式。第一題作業(yè)！2.Schmidt分解定理適用對象：二子系系統(tǒng)的純態(tài)定理內(nèi)容：二粒子系統(tǒng)A、B，其Hilbert空間記為，該空間的任一純態(tài)，能表示成如下的標準形式：

。其中為中的一組正交歸一化態(tài)，為中的一組正交歸一化態(tài)。說明：1)和可以是不同維數(shù)的；2)對于、的非零本征值，如果不存在簡并的本征值，則Schmidt分解由和唯一確定；3)如果、的本征值存在簡并，Schmidt分解的表示不唯一。3.GHJW定理混合態(tài)純化：對于任意一個混合態(tài)，總可以找到一個擴展的Hilbert空間的純態(tài)，該混合態(tài)可表示為該純態(tài)的約化態(tài)，則這個擴展的純態(tài)稱為該混合態(tài)的純化。令GHJW定理：同一個混合態(tài)的兩個不同純化之間相差一個擴展空間（約化空間）的幺正變換。二)可分性判據(jù)兩體態(tài)可分離性的部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)----Peres判據(jù)兩體雙態(tài)系統(tǒng)密度矩陣是可分離態(tài)的充要條件為：對其任一體做部分轉(zhuǎn)置運算后所得矩陣(或)仍是半正定的(即不出現(xiàn)負本征值)。也即，對兩體中任一體做部分轉(zhuǎn)置后得到的矩陣仍然是個密度矩陣。部分轉(zhuǎn)置，比如對B做部分轉(zhuǎn)置，其含義是如果qubit列的疊加狀態(tài)無法用各qubit的張量乘積表示，這種疊加狀態(tài)就稱為量子糾纏狀態(tài)。三)量子糾纏狀態(tài)例：量子態(tài)量子態(tài)可分態(tài)最初兩位qubit是糾纏狀態(tài)，這個量子態(tài)也是糾纏態(tài)。再看量子態(tài)糾纏態(tài)四個Bell態(tài)4個貝爾態(tài)基都是糾纏狀態(tài)！生成Bell態(tài)的量子態(tài)變換回路貝爾狀態(tài)是qubit對的一組正規(guī)直交基底。Bell態(tài)的性質(zhì)得到00的概率得到01的概率得到10的概率得到11的概率注意：當?shù)谝晃坏臏y定結(jié)果為0時，第二位也必定為0；當?shù)谝晃坏臏y定結(jié)果為1時，第二位也必定為1。在量子糾纏狀態(tài)中，qubit對之間存在一種超強的作用力，即“量子相關(guān)作用”的相干關(guān)系。四)糾纏度量1.兩體純態(tài)的部分熵糾纏度兩體純態(tài)的部分熵糾纏度定義為2.兩體混態(tài)的形成糾纏度兩體混態(tài)的形成糾纏度其中的最小取遍的所有可能的分解其物理意義是構(gòu)造所需要的最小的糾纏。特例：其中，而是的本征值的平方根的降序排列。對于兩量子比特系統(tǒng)，形成糾纏可以解析地算出Bell態(tài)的應(yīng)用----量子密鑰分配(quantumkeydistribution，簡稱QKD)假設(shè)有Bell態(tài)根據(jù)量子密鑰分配A首先在基底之上測定自己擁有的qubit，此時B可以等概率獲得0或1的測定結(jié)果。另一方面根據(jù)上面的結(jié)論，B所擁有的qubit狀態(tài)，服從于A的測定結(jié)果：A的測量結(jié)果B的測量結(jié)果