《生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》同步練習(xí)（） 市賽一等獎(jiǎng)

《生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》同步練習(xí)一、選擇題(每小題6分，共36分)1.1.（2022·廈門模擬）已知a,b,c,d成等差數(shù)列，函數(shù)y=ln(x+2)-x在x=b處取得極大值c,則b+d=（）(A)-1 (B)0 (C)1 (D)22.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x-1)f′(x)≥0，則必有()(A)f(0)+f(2)＜2f(1)(B)f(0)+f(2)≤2f(1)(C)f(0)+f(2)≥2f(1)(D)f(0)+f(2)＞2f(1)3.(2022·遼寧高考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(-1)=2，對(duì)任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x+4的解集為()(A)(-1，1)(B)(-1，+∞)(C)(-∞，-1)(D)(-∞，+∞)4.已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d在區(qū)間[-1,2]上是減函數(shù)，那么b+c()(A)有最大值(B)有最大值-(C)有最小值(D)有最小值-5.函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx)在區(qū)間[0，]上的值域?yàn)?)(A)[，](B)(，)(C)[1，](D)(1，)6.(易錯(cuò)題)已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式xf′(x)<0的解集為()(A)(-∞，)∪(,2)(B)(-∞，0)∪(，2)(C)(-∞，)∪(，+∞)(D)(-∞，)∪(2，+∞)二、填空題(每小題6分，共18分)7.已知函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時(shí)有極值0，則m+n=___________.8.已知函數(shù)f(x)=alnx+x在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.9.（2022·龍巖模擬)已知α、β是三次函數(shù)f(x)=(a,b∈R)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且α∈(0,1),β∈(1,2),則的取值范圍是______.三、解答題(每小題15分，共30分)10.（預(yù)測(cè)題）已知函數(shù)f(x)=lnx-.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在［1,e］上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值.11.(2022·福建高考)某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格x的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.【探究創(chuàng)新】(16分)某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3700x+45x2-10x3(單位：萬(wàn)元)，成本函數(shù)為C(x)=460x+5000(單位：萬(wàn)元)，又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；(提示：利潤(rùn)=產(chǎn)值-成本)(2)問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？(3)求邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？答案解析1.【解析】選′=,令y′=0，得x=-1,即b=-1,c=ln1-(-1)=1,又a,b,c,d成等差數(shù)列，∴d=b+2(c-b)=3,∴b+d=-1+3=2.2.【解題指南】分x>1和x＜1兩種情況討論單調(diào)性.【解析】選C.當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)≥0,若f′(x)=0,則f(x)為常數(shù)函數(shù)，若f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù),總有f(x)≥f(1).當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)≤0,若f′(x)=0，則f(x)為常數(shù)函數(shù).若f′(x)<0,則f(x)為減函數(shù)，總有f(x)≥f(1),∴f(x)在x=1處取得最小值.即f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),∴f(0)+f(2)≥2f(1).3.【解題指南】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-(2x+4)，判斷其單調(diào)性，求解.【解析】選B.由已知，[f(x)-(2x+4)]′=f′(x)-2＞0，∴g(x)=f(x)-(2x+4)單調(diào)遞增，又g(-1)=0，∴f(x)＞2x+4的解集是(-1，+∞).4.【解析】選B.由f(x)在[-1,2]上是減函數(shù)，知f′(x)=3x2+2bx+c≤0，x∈[-1,2]，則?15+2b+2c≤0?b+c≤-.5.【解析】選′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx，當(dāng)0<x<時(shí),f′(x)>0,∴f(x)是[0，]上的增函數(shù).∴f(x)的最大值為f()=，f(x)的最小值為f(0)=.∴f(x)的值域?yàn)閇,].6.【解析】選B.由f(x)圖象的單調(diào)性可得f′(x)在(-∞，)和(2，+∞)上大于0，在(，2)上小于0，∴xf′(x)<0的解集為(-∞，0)∪(，2).7.【解析】∵f′(x)=3x2+6mx+n,∴由已知可得∴或,當(dāng)時(shí)，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立與x=-1是極值點(diǎn)矛盾，當(dāng)時(shí)，f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),顯然x=-1是極值點(diǎn)，符合題意，∴m+n=11.答案：11【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)求得m,n后不檢驗(yàn)的錯(cuò)誤.8.【解析】∵f(x)=alnx+x，∴f′(x)=+1.又∵f(x)在[2,3]上單調(diào)遞增，∴+1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(-x)max=-2，∴a∈[-2，+∞).答案：[-2，+∞)9.【解析】f′(x)=x2+ax+2b,由題意知，方程f′(x)=0有兩根α、β，一根α∈(0,1),另一根β∈(1,2),∴設(shè)結(jié)合線性規(guī)劃得z的取值范圍為(,1).答案：(,1)10.【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f′(x)=.a≥0時(shí)，f′(x)＞0,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),a＜0時(shí)，令f′(x)＞0,得x＞-a,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-a,+∞).(2)由(1)可知，f′(x)=,①若a≥-1,則x+a≥0,即f′(x)≥0在［1,e］上恒成立，f(x)在［1,e］上為增函數(shù)，∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=-(舍去).②若a≤-e,則x+a≤0，即f′(x)≤0在［1,e］上恒成立，f(x)在［1,e］上為減函數(shù)，∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去).③若-e＜a＜-1,當(dāng)1＜x＜-a時(shí)，f′(x)＜0,∴f(x)在(1,-a)上為減函數(shù)，當(dāng)-a＜x＜e時(shí)，f′(x)＞0,∴f(x)在(-a,e)上為增函數(shù).∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,∴a=-,綜上所述，a=-.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=+alnx-2(a＞0).(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對(duì)于任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)＞2(a-1)成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)記g(x)=f(x)+x-b(b∈R).當(dāng)a=1時(shí)，方程g(x)=0在區(qū)間［e-1,e］上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).因?yàn)閒′(x)=-，且知直線y=x+2的斜率為1.所以f′(1)=-=-1,所以a=1.所以f(x)=+′(x)=.由f′(x)＞0,解得x＞2;由f′(x)＜0解得0＜x＜2.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(2,+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(0,2).(2)f′(x)=-.由f′(x)＞0解得x＞;由f′(x)＜0解得0＜x＜.所以f(x)在區(qū)間(,+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，ymin=f().因?yàn)閷?duì)任意的x∈(0,+∞)都有f(x)＞2(a-1)成立，所以f()＞2(a-1)即可.則+aln-2＞2(a-1)，即aln＞a,解得0＜a＜.所以a的取值范圍是(0,).(3)依題意得g(x)=+lnx+x-2-b,則g′(x)=.由g′(x)＞0解得x＞1;由g′(x)＜0解得0＜x＜1.所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù).又因?yàn)榉匠蘥(x)=0在區(qū)間［e-1,e］上有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以解得1＜b≤+e-1.所以b的取值范圍是(1,+e-1］.11.【解析】(1)因?yàn)閤=5時(shí)y=11，所以+10=11,所以a=2；(2)由(1)知該商品每日的銷售量y=+10(x-6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)：f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3＜x＜6；從而f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6)，令f′(x)=0得x=4,函數(shù)f(x)在(3,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=4時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值f(4)=42.答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.【探究創(chuàng)新】【解析】(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N*，且1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N*,且1≤x≤19).(2)P′(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),∵x>0,∴P′(x)=0