材料力學C(II)下冊第三章

第三章能量法§３-1概述§３-2應(yīng)變能·余能§３-3卡氏定理§３-4用能量法解超靜定問題的提出FABC30°45°Fl/2ACBl/2法一：利用幾何、物理、靜力學三方條件求解法二：利用外力功與應(yīng)變能相等求解§3-1概述

能量的觀點討論問題，是各門學科的一個共性的內(nèi)容，能量無處不在；在力學分析中，能量的概念將力和變形（位移）作為一體討論．第三章能量法

圖中AC和AB桿的直徑分別是d1=12mm,d2=15mm，彈性模量均為E=210GPa。試求A點在鉛垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)優(yōu)點：不管中間過程，只算最終狀態(tài)

利用功和能的概念求解變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法統(tǒng)稱為能量法。

能量法的應(yīng)用很廣，也是有限元法求解固體力學問題的重要基礎(chǔ)。本章僅研究能量法中常用的一些原理和應(yīng)用。上例若利用外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能，即第三章能量法

對于復雜結(jié)構(gòu)的位移計算，采用從幾何、物理關(guān)系和靜力學關(guān)系三個方面入手的思想，或者從幾何協(xié)調(diào)關(guān)系出發(fā)，顯得非常麻煩.小前提：

緩慢加載;外力做功，功只轉(zhuǎn)成應(yīng)變能（不轉(zhuǎn)成動能、熱能)§3–2應(yīng)變能和余能

大前提：

1、小變形；

2、服從鄭玄—胡克定律線彈性體的響應(yīng)（內(nèi)力、應(yīng)力和變形）為外載的線性函數(shù).第三章能量法恒力功:

力作用于物體，力在其作用方向上發(fā)生位移，則該力對物體做了功變力功:

I.功和應(yīng)變能曲線與橫軸圍成的面積第三章能量法F1D1FDoD1F1FdD式中F——廣義力(力或力偶)；

——廣義位移(線位移或角位移),在所有力共同作用下與廣義力F相對應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。F在線彈性范圍內(nèi)第三章能量法FMe軸向拉壓扭轉(zhuǎn)彎曲FMe軸向拉壓扭轉(zhuǎn)彎曲應(yīng)變能:外力做功系統(tǒng)儲存的能量，W=Vε第三章能量法組合變形關(guān)于應(yīng)變能計算的討論：1.以上計算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的應(yīng)變能的計算。2.應(yīng)變能可以通過外力功計算，也可以通過桿件微段上的內(nèi)力功等于微段的應(yīng)變能，然后積分求得整個桿件上的應(yīng)變能。應(yīng)變能的大小與加載順序無關(guān).（能量守恒）3.應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能計算中不能使用。只有當桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時，才可應(yīng)用。4.應(yīng)變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標系。第三章能量法單向應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)復雜應(yīng)力狀態(tài)s1s2s3ts各式僅適用于線彈性范圍應(yīng)變能密度:

單位體積內(nèi)儲存的能量，用vε表示非線彈性材料deseoe1s1s應(yīng)變能密度應(yīng)變能計算II.余功和余能余功與外力功

之和等于矩形面積與余功相應(yīng)的能稱為余能,用Vc表示FFdF曲線與縱軸圍成的面積第三章能量法線彈性材料應(yīng)變能等于余應(yīng)變能。例題

圖示等截面懸臂梁，E,I,A已知。在自由端受集中力F和集中力偶M作用。設(shè)材料是線彈性的，試計算梁的應(yīng)變能。考慮兩種不同的加載次序，略去剪力的影響.利用應(yīng)變能密度三種方法利用外力功利用內(nèi)力功F

Ml第三章能量法彎矩:第三章能量法解:方法一F

MlxF先加載M再加載方法二F

Mlx第三章能量法M先加載F再加載第三章能量法F

MlxF

MlxF

lx

Mlx?≠第三章能量法FMlxFlxMlx?思考:第三章能量法

例題

原為水平位置的桿系如圖所示，試計算在荷載F１作用下的應(yīng)變能。兩桿的彈性模量均為E,橫截面面積均為A。

解：首先分析力F

和位移D之間的關(guān)系，求出F=f(D)的表達式。設(shè)兩桿的軸力均為FN

，兩桿的伸長量和A點的位移分別為第三章能量法由結(jié)點A的平衡方程

為小角度，第三章能量法由于所以或AFNFN例題

試計算圖示結(jié)構(gòu)在荷載F1作用下的余能，結(jié)構(gòu)中兩桿的長度均為l

，橫截面面積均為A,材料在單軸拉伸時的應(yīng)力—應(yīng)變曲線如圖所示。解：由結(jié)點C的平衡方程，得桿的軸力橫截面上的應(yīng)力為第三章能量法由于軸向拉伸桿內(nèi)各點應(yīng)變狀態(tài)均相同，因此，結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為余能密度為第三章能量法第三章能量法

（1）由于力F引起的變形Dl，對FN產(chǎn)生影響，形成F和D的非線性關(guān)系，而應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)詾榫€性關(guān)系——幾何非線性。當材料為非線性彈性體時，即應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉蔷€性時——物理非線性。

（2）幾何非線性時，不能用求應(yīng)變能，而只能用求應(yīng)變能。桿的應(yīng)變能為注意:F第三章能量法一、功和應(yīng)變能、余能利用應(yīng)變能密度三種方法利用外力功利用內(nèi)力功FdF

余能線彈性二、卡氏第一定理

彈性桿件的應(yīng)變能對于構(gòu)件上某一位移之變化率，就等于與該位移相應(yīng)的荷載。第三章能量法組合變形時的應(yīng)變能解：法一例題：簡支梁受力如圖所示，已知梁的剛度為EI，求梁的應(yīng)變能。AFl/2BCl/2M法二AFl/2BCl/2MFAFBx1x2AC段CB段AFl/2BCl/2MFAFBx1x2qAB

例題彎曲剛度為EI的簡支梁受均布載荷q作用,如圖所示,試求梁內(nèi)的應(yīng)變能.解:方法一:外力功梁的撓曲線方程為方法二:應(yīng)變能密度方法三:內(nèi)力功第三章能量法虛功原理對于剛體：

平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所作的虛功之和為零.

對于變形體：

平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所作的虛功恒等于內(nèi)力在虛位移上的虛功（虛應(yīng)變能）.第三章能量法I.卡氏第一定理（卡斯蒂利亞諾）Ve為最終位移i

的函數(shù)fi為瞬時載荷，δi為瞬時位移由于改變了，外力功相應(yīng)改變量§3–3卡氏定理第三章能量法ABF1F2FiFnΔ1Δ2ΔiΔndΔiFiDi第三章能量法應(yīng)變能的相應(yīng)改變量為由于外力功相應(yīng)改變量為所以——卡氏第一定理彈性體的應(yīng)變能對桿件某一位移的偏導數(shù)，就等于與該位移相應(yīng)的載荷。解：例題：圖示三角架受鉛垂載荷F作用，已知各桿的剛度為EA，試用卡氏第一定理求B節(jié)點的鉛垂位移。Bl30°AFCB′1、確定位移與變形的關(guān)系Dl1Dl2Bl30°AFCB′2、應(yīng)變能表達式Dl1Dl2即Bl30°AFC3、鉛垂位移解得II.卡氏第二定理由于改變了，外力余功相應(yīng)改變量第三章能量法ABF1F2FiFnΔ1Δ2ΔiΔndFi余能的相應(yīng)改變量為由于所以在線彈性范圍內(nèi)卡氏第二定理

線彈性范圍內(nèi)，桿件的應(yīng)變能對于桿件上某一荷載的變化率，就等于與該荷載相應(yīng)的位移。余能定理

桿件的余能對于桿件上某一荷載的變化率就等于與該荷載相應(yīng)的位移。第三章能量法——余能定理——卡氏第二定理III.卡氏第一定理和余能定理的比較

卡氏第一定理

余能定理Di→Di+dDi，其它位移均不變，所有的力均不變。Fi→Fi+dFi，其它力均不變，所有的位移均不變。(平衡方程)（變形的幾何關(guān)系）非線性和線性彈性體非線性和線性彈性體第三章能量法

Fi——廣義力(力、力偶、一對力或一對力偶等)；

i——廣義位移(線位移、角位移、相對線位移或相對角位移),在所有力共同作用下與廣義力F相對應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。FFABMBMB第三章能量法

例題

線彈性材料懸臂梁，受力如圖所示，若F、EI、l等均為已知，試用卡氏第二定理求：1.加力點A處的撓度；2.梁中點B處的撓度。1.加力點A處的撓度xF

ABCl/2l/2解：彎矩：第三章能量法2.梁中點(非加力點)B處的撓度

在B處施加與所求撓度方向相同的假設(shè)力FB（附加力法）彎矩：F

ABCl/2l/2ＦB第三章能量法

所要求的位移不限于加力點沿加力方向的位移，可以是任意點、任意方向的位移。

虛載荷必須加在所要求位移的那一點、并且沿著所要求位移的方向。第三章能量法卡氏第二定理的變形形式：對于變形構(gòu)件

對桁架只有軸力產(chǎn)生的應(yīng)變能;對梁只考慮彎矩產(chǎn)生的應(yīng)變能;對剛架和曲桿只考慮彎矩和扭矩的應(yīng)變能。Ⅳ.卡氏定理的應(yīng)用卡氏第二定理

桁架結(jié)構(gòu)彎曲直桿(剛架)彎曲曲桿扭轉(zhuǎn)第三章能量法

例題

圖示桁架結(jié)構(gòu)，桿的拉壓剛度均為EA，F(xiàn)已知,長度分別為a和已知。求A點的水平位移△HAFAFFF①②③④⑤第三章能量法解：

求支反力②①③④⑤FNili00-F-F0-1-10aaaaFABM例題圖示半圓形曲桿，試計算B截面的水平位移和轉(zhuǎn)角。已知其抗彎剛度為EI，只考慮彎曲變形的影響。解：在B截面虛加一集中力偶M.B截面的水平位移為R彎矩方程為第三章能量法B截面的轉(zhuǎn)角為B截面轉(zhuǎn)角的為負值，說明實際轉(zhuǎn)角的方向同虛加力偶的方向相反。第三章能量法解：1、求約束反力例題：簡支梁受力及幾何尺寸如圖所示，試用卡氏第二定理求梁C點的撓度wc。FACaaaaBDEEIEI2EI2、列彎矩方程并求其偏導數(shù)x3、求C點撓度FACaaaaBDEEIEI2EI第三章能量法

例題

圖a所示結(jié)構(gòu)中，AB,BC

桿中的橫截面面積均為A，彈性模量均為E。兩桿處于線彈性范圍內(nèi)。試用卡氏第二定理，求B點的水平位移D1和鉛垂位移D2

。

解：

卡式第二定理先虛加一水平方向的集中力FH.

利用節(jié)點法，考慮A節(jié)點的平衡，可得各桿的內(nèi)力和對外載荷的導數(shù):FHFHFFABFBCBFHFFABFBCB

卡式第二定理第三章能量法第三章能量法

例題

圖所示為一等截面開口圓環(huán)，彎曲剛度為EI，材料為線彈性。用卡氏第二定理求圓環(huán)開口處的張開量D。不計剪力和軸力的影響。圓環(huán)開口處的張開量就是和兩個F力相對應(yīng)的相對線位移，即（←→）解：彎矩方程，結(jié)果為正，表示廣義位移方向和廣義力的指向一致。第三章能量法（）←→

利用對稱性，由卡氏第二定理，得，思考:

若計算圓環(huán)開口處的相對轉(zhuǎn)角θ,或AB的相對位移,該如何加載?AB1.確立載荷系統(tǒng)：加什么力？加在哪里？加在什么方向？2.建立載荷與虛加力引起的內(nèi)力表達式：要不要分段？怎樣分段？建立坐標系？充分利用對稱性？第三章能量法

例題

圖示結(jié)構(gòu)中，桿的彎曲剛度均為EI，F(xiàn)已知。求：A、B兩點的相對位移。(不考慮軸向力和剪力的影響)第三章能量法FFABDCRRR1.確立載荷系統(tǒng)：加什么力？加在哪里？加在什么方向？2.建立載荷與虛加力引起的內(nèi)力表達式：要不要分段？怎樣分段？建立坐標系？充分利用對稱性？EG虛加載荷FAB;建立各段內(nèi)力表達式并偏導：解：FFABDCRRRjFABFABxEG第三章能量法例題

試求剛架ABC在均布荷載q的作用下A點的垂直位移和C點的轉(zhuǎn)角。尺寸l和EI已知。剛架剪力和軸力忽略不計。解：列出各段的彎矩及偏導方程：AB段：BC段BllqAC第三章能量法求剛架的支座反力：

1.計算A點的垂直位移，應(yīng)在A點上虛加力F;根據(jù)卡氏定理：第三章能量法列出各段的彎矩及偏導方程：AB段：BC段2.計算C截面轉(zhuǎn)角，應(yīng)在C截面上虛加一個力偶M

根據(jù)卡式定理：各段的彎矩及偏導方程為：AB段：BC段：第三章能量法BllqAC求剛架的支座反力：

？w11FF2w21FF212F2思考:第三章能量法例題：圖示平面剛架，抗彎剛度為EI，求D點的豎直位移和C截面的轉(zhuǎn)角。解：1、求D點的豎直位移xFAClBDllFCD段BC段y1

區(qū)分B、D兩點的外力，將B點力表示為F′′第三章能量法xFAClBDllFAB段y1y2令F=F′′2、求C截面的轉(zhuǎn)角xFAClBDllFCD段BC段y1在C截面施加外力偶M0M0AB段y2令M0=0注意：卡二定理中與所求位移對應(yīng)的載荷必須是獨立載荷；無對應(yīng)載荷時，可虛加載荷，求偏導數(shù)后令其為零。彎矩方程若與所求位移對應(yīng)的載荷無關(guān)，該段彎矩方程可不列。ACDllBF2F例題：圖示平面桁架，各桿拉壓剛度均為EA，求C點的水平位移和BD間的相對位移。解：1、求DCH①求約束反力FAyFBFAx′區(qū)分C、D兩點的外力，將C點力表示為F′ACDllBF2FFAyFBFAx⑤④③②①桿號①④②③⑤CF′FN2FN3FN5F′′令F′=F②各桿的內(nèi)力及偏導數(shù)ACDllBF2FFAyFBFAx①④②③⑤2、求DBDF1F1BD間虛加一對外力F1可用疊加法求軸力⑤④③②①桿號⑤④③②①桿號ACDllBF1F1①④②③⑤令F1=0先虛加（或區(qū)分）載荷，后求約束反力。例題：圖示小曲率平面曲桿，A端固定，B端自由，其軸線為水平面內(nèi)的四分之一圓弧。若桿在自由端受鉛垂外力F，求B端的鉛垂位移和B截面的扭轉(zhuǎn)角。（不計剪力的影響）解：1、求B截面的鉛垂位移FR⊕FABBATM⊕FqTM⊕FqR2、求B截面的扭轉(zhuǎn)角R⊕FAB在B截面虛加外力偶M0M0TM⊕FqM0令M0=0TM⊕FqR一、卡氏第一定理

桿件的應(yīng)變能對于構(gòu)件上某一位移之變化率，就等于與該位移相應(yīng)的荷載。第三章能量法三、卡氏第二定理

桿件的余能對于桿件上某一荷載的變化率就等于與該荷載相應(yīng)的位移。二、余能定理線彈性范圍內(nèi)，桿件的應(yīng)變能對于桿件上某一荷載的變化率，就等于與該荷載相應(yīng)的位移?？ㄊ蕉ɡ響?yīng)用桁架結(jié)構(gòu)彎曲直桿(剛架)彎曲曲桿扭轉(zhuǎn)注意：卡二定理中與所求位移對應(yīng)的載荷必須是獨立載荷；無對應(yīng)載荷時，可虛加載荷，求偏導數(shù)后令其為零。RACB解：F/2F/2

求支反力

內(nèi)力方程并偏導數(shù)j

卡式第二定理及對稱性第三章能量法

例題

半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位移的影響，用卡氏第二定理求C點的鉛垂位移．F

未知力個數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)目,則僅由平衡方程即可解出全部未知力,這類問題稱為靜定問題,相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu).

未知力個數(shù)多于獨立的平衡方程數(shù)目,則僅由平衡方程無法確定全部未知力,這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題,相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu).§3–4用能量法解超靜定系統(tǒng)I.基本概念：超靜定次數(shù)=未知力的數(shù)目-獨立平衡方程數(shù)第三章能量法

所有超靜定結(jié)構(gòu),都是在靜定結(jié)構(gòu)上再加一個或幾個約束,這些約束對于特定的工程要求是必要的,但對于保證結(jié)構(gòu)平衡卻是多余的,故稱為多余約束.

求解超靜定問題,需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡,變形協(xié)調(diào)和物理三個方面.II.求解超靜定問題的解法1、確定靜不定次數(shù)。2、選擇基本靜定基。3、列出變形協(xié)調(diào)條件。

4、用能量法或疊加法計算幾何條件.第三章能量法RBqlAB1.建立靜定基等價xqlAByEI2.變形協(xié)調(diào)方程3.梁的彎矩方程及偏導數(shù)4.卡式第二定理第三章能量法僅有q作用，B點撓度為：僅有作用，B點撓度為：因此疊加法第三章能量法qlABRB

例題

各桿的彈性模量均為E，橫截面面積均為A。試用卡氏第一定理求各桿的軸力。第三章能量法

解：設(shè)1,2,3桿的軸力分別為FN1

FN2,FN3（圖b），相應(yīng)的位移為D1,D2和D3．由對稱性可知，F(xiàn)N1＝FN2,D1＝D2。幾何關(guān)系第三章能量法結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為以D3為基本未知量，該題為一次超靜定。由卡式第一定理由胡克定律得第三章能量法

以位移作為基本未知量求解超靜定問題的方法，稱為位移法.該方法仍然是綜合考慮了平衡方程,幾何關(guān)系和物理方程來求解超靜定問題的。

例題三桿的材料相同,各桿的彈性模量均為E，橫截面面積均為A，3桿長度為l。用余能定理求各桿的軸力。第三章能量法

解：以鉸鏈D

的支反力X

為多余未知力，基本靜定系如圖b所示，F(xiàn),X看作基本靜定系上獨立的外力，Vc=Vc

(F,X)因為鉸鏈D處沿鉛垂方向的位移為零，應(yīng)有由該式求出X后，再利用平衡方程求各桿的軸力。(1)第三章能量法由平衡方程得各桿的軸力分別為各桿的應(yīng)力分別為(2)三桿的余能密度分別為第三章能量法結(jié)構(gòu)的余能為由余能定理得將X值代入（1），得

以力為基本未知量解超靜定問題的方法，稱為力法。一、能量法求解靜定和超靜定系統(tǒng)求解超靜定問題的解法1、確定靜不定次數(shù)。2、選擇基本靜定基。3、列出變形協(xié)調(diào)條件。

4、用能量法計算幾何條件.第三章能量法MBMBFA

用卡氏第二定理來解超靜定問題，仍以多余未知力為基本未知量，以荷載及選定的多余未知力作為基本靜定系上獨立的外力，應(yīng)變能只能為荷載及選定的多余未知力的函數(shù)，即變形幾何關(guān)系為，Di為和

的相應(yīng)位移，它是和約束情況有關(guān)的已知量。第三章能量法例題：圖示平面剛架，各段抗彎剛度均為EI，求約束反力。解：1、確定靜定基，求約束反力AqBCllqlABClXFCFAyFAx2、列彎矩方程，并求其偏導數(shù)xyqlABClXFCFAyFAx3、根據(jù)已知位移條件建立補充方程4、由平衡方程確定所有約束力列內(nèi)力方程時，約束力應(yīng)表示為外力和多余未知力的函數(shù)。對稱結(jié)構(gòu)－幾何形狀、尺寸、材料、約束等對稱于某一對稱軸。III.對稱性的應(yīng)用R第三章能量法問題特點：結(jié)構(gòu)對稱，外力對稱。問題簡化：軸力和彎矩對稱，剪力反對稱=0。FRACBFABFHFHF/2F/2j解：

先求支反力

對稱結(jié)構(gòu)，為一次超靜定

例題

半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位移的影響，用卡氏第二定理求C點的鉛垂位移．

內(nèi)力方程及偏導第三章能量法

再求位移，卡式定理

內(nèi)力方程及偏導卡式第二定理第三章能量法

例題

半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位移的影響，用卡氏第二定理求對稱截面上的內(nèi)力。第三章能量法FRACB

解：沿半圓環(huán)的對稱截面處截開，取兩個1/4圓環(huán)為基本靜定系，多余未知力為軸力X1,彎矩X2,剪力X3。該題為三次超靜定。由對稱性，反對稱的內(nèi)力X3＝0，問題簡化為二次超靜定。半圓環(huán)的應(yīng)變能只能為F，X1，X2的函數(shù)，即CF/2RAX1X1X2X2BF/2與X1，X2

相應(yīng)的位移條件分別為兩截面的相對線位移和相對角位移為零，即彎矩方程及其對X1，X2的偏導數(shù)分別為第三章能量法CBF/2F/2RAX1X1X2X2基本靜定系為兩個1/4圓環(huán)，應(yīng)用卡式定理得第三章能量法前式代入，可解得

怎樣判斷什么樣的載荷是反對稱的？將對稱面（軸）一側(cè)的載荷反向，若變?yōu)閷ΨQ的，則原來的載荷便是反對稱的。對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下:

其約束力、內(nèi)力分量、變形和位移等必須是反對稱的；

對稱處的對稱內(nèi)力分量、約束力必為零；某些反對稱約束力和反對稱的內(nèi)力分量也可能為零。第三章能量法問題特點：結(jié)構(gòu)對稱，外力反對稱。問題簡化：軸力和彎矩對稱=0，剪力反對稱。a2aABCFFa2a討論題：剛架所受外力和幾何尺寸如圖示，試確定1、該問題是幾次超靜定問題？2、靜定基應(yīng)如何?。?、已知位移條件一次超靜定問題靜定基如圖所示已知位移條件ABFa2aX利用對稱性、反對稱性可使問題簡化反對稱問題

思考題：計算圖示桁架各桿的內(nèi)力，設(shè)各桿的材料相同，截面面積相等。lFABCDlXlFABCDl213456FFF如圖所示靜定組合梁ABC，在BC段上受均布載荷q作用，梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI。試用卡氏第二定理求梁中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。不計剪力對位移的影響。qACaaB解：在中間鉸B兩側(cè)截面處各加一個外力偶矩MB，并求出在一對外力偶MB及q共同作用下梁的支反力

梁的彎矩方程及其對MB的偏導數(shù)分別為AB段：BC段：對稱結(jié)構(gòu)的反對稱變形FF/2F/2F對稱還是反對稱？MxMMxFMxF第三章能量法對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形－對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下:約束力、內(nèi)力分量以及變形和位移都是對稱的;對稱軸處的反對稱內(nèi)力分量必為零;某些對稱分量也可等于零或變?yōu)橐阎?。第三章能量法問題特點：結(jié)構(gòu)對稱，外力對稱。問題簡化：軸力和彎矩對稱，剪力反對稱=0。B1Δ1Δ2第三章能量法（↓）（→）,例題外伸梁ABC的自由端作用有鉛直荷載F，求：（1）C端撓度,（2）C端轉(zhuǎn)角。支座反力解：Fl/2ACBlx1x2第三章能量法（1）C端撓度彎矩方程AB段BC段總應(yīng)變能為卡氏第二定理總應(yīng)變能為（2）C端轉(zhuǎn)角x1x2Fl/2ACBl虛加力偶MCMC支反力第三章能量法彎矩方程AB段BC段彎矩方程卡氏第二定理可得AB段BC段第三章能量法FFABCDFFABCDMFNFN例題圖示圓形剛架，受力如圖所示，已知材料的抗彎剛度為EI，計算剛架的最大彎矩。第三章能量法FFABFNMFNF/2MF/2AB利用對稱性解:

此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)，載荷為對稱載荷，取一半結(jié)構(gòu)進行分析，如圖所示。第三章能量法故此結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，A或B兩截面的轉(zhuǎn)角為零?？紤]平衡方程后可知：根據(jù)卡氏第二定理及對稱性可知解得（注：負號表示彎矩實際作用方向同假設(shè)方向相反。）將上式代入彎矩方程，可得該圓環(huán)形剛架的最大彎矩為此結(jié)構(gòu)的彎矩方程及偏導數(shù)為：第三章能量法FNMFNF/2MF/2ABFFABFNMFNMCDCFAD故此結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，且C或D兩截面的轉(zhuǎn)角為零。解:

此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)，載荷為對稱載荷，取一半結(jié)構(gòu)進行分析，如圖所示。考慮平衡方程后可知：第三章能量法例題：對稱結(jié)構(gòu)受外力如圖所示，三桿的剛度均為EA，試求各桿的軸力。解：①②③Dl3CBDAablFEGDl1Dl2①②③Dl3CBDAablFEGDl1Dl2①②③Dl3CBDAablFEGDl1Dl2位移法a2aABCFFa2a討論題：剛架所受外力和幾何尺寸如圖示，試確定1、該問題是幾次超靜定問題？2、靜定基應(yīng)如何?。?、已知位移條件一次超靜定問題靜定基如圖所示已知位移條件ABFa2aX利用對稱性、反對稱性可使問題簡化反對稱問題對稱結(jié)構(gòu)的反對稱變形－對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下:

約束力、內(nèi)力分量、變形和位移等必須是反對稱的；

對稱處的對稱內(nèi)力分量、約束力必為零；某些反對稱約束力和反對稱的內(nèi)力分量也可能為零。對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形－對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下:約束力、內(nèi)力分量以及變形和位移都是對稱的;對稱軸處的反對稱內(nèi)力分量必為零;某些對稱分量也可等于零或變?yōu)橐阎?。二、對稱性應(yīng)用第三章能量法例題：圖示平面剛架，各段抗彎剛度均為EI，求約束反力。解：1、確定靜定基，求約束反力AqBCllqlABClXFCFAyFAx2、列彎矩方程，并求其偏導數(shù)xyqlABClXFCFAyFAx3、根據(jù)已知位移條件建立補充方程4、由平衡方程確定所有約束力列內(nèi)力方程時，約束力應(yīng)表示為外力和多余未知力的函數(shù)。互等定理1.功的互等這里,w下標第一個字母表示為位移發(fā)生的地點，第二個字母表示引起位移的載荷的作用點。圖(a):wAA

--A點作用力FA,變形后A點的位移;wBA

--A點作用力FA,變形后B點的位移.圖(b):wAB

--B點作用力FB,變形后A點的位移;wBB

--B點作用力FB,變形后B點的位移.

(a)

(b)第三章能量法ABAB

(c)AB現(xiàn)在按照兩種不同的順序加載。再加FB

,相應(yīng)所作的功:

圖(c):先加FA,相應(yīng)所作的功:故圖(c)中梁的應(yīng)變能為:圖(d):加載順序與上述相反，即先加FB，再加FA，此時梁的應(yīng)變能為：(d)AB第三章能量法由于得到：第三章能量法

(c)AB

(d)AB——功的互等定理它說明：FA在由于FB引起的位移wAB上所作的功等于FB在由于FA引起的位移wBA上所作的功。2.位移互等若使上式中的FA=FB,則：

——位移互等定理它說明：載荷作用于A點而在B點引起的位移wAB等于同樣的載荷作用于B點而在A點引起的位移wBA。第三章能量法BCAFL/2L/2MBCAL/2L/2例如：第三章能量法1.若F和M數(shù)值相等，則A.wc(M)=wc(F),B.

qB(M)=qB(F)C.qB(M)=wc(F),D.qB(F)=wc(M)CBMFBCwc(F)wc(M)qB(F)qB(M)ACB1FqB=0.006radACB1M1mm2.圖示外伸梁ABC若在截面1處引起施加集中力F1=3kN，可測得支座B處截面轉(zhuǎn)角q=0.006rad,現(xiàn)在外伸端A處施加順時針的力偶，使截面處產(chǎn)生1mm的撓度，則這力偶有以下答案：A.M=1.0kN.