(北師大版)上海市八年級數(shù)學(xué)上冊第一單元《勾股定理》測試(含答案解析)

一、選擇題1．如圖，在長為半徑作弧，交格線于點D．則的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1，點A，B，C均為格點，以點A為圓心，的長為（）A．B．C．D．2．如圖是由4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，大正方形面積為48，小正方形面積為6，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊長（x>y），則的值為（）A．60B．79C．84D．903．如圖，為了測算出學(xué)校旗桿的高度，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在與旗桿等長的地方打了一個結(jié)，然后將繩子底端拉到離旗桿底端5米的地面某處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結(jié)處約1米，則旗桿的高度是（）A．12B．13C．15D．244．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，點D是BC上一點，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，則CD＝（）A．2.1B．1.4C．3.2D．2.45．如圖所示的圖案是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中一直角三角形的斜邊和一直角邊長分別是13，12，則陰影部分的面積是（）A．25B．16C．50D．416．如圖，圓柱形玻璃杯高為11cm，底面周長為30cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的爬行最短路線長為（杯壁厚度不計（）A．12cmB．17cmC．20cmD．25cm7．如圖，在中，，點在邊上，將沿直線翻折，點恰好落在長的最小值為（）邊上的點處，若點是直線上的動點，連接，則的周A．B．C．D．8．一個直角三角形的兩條邊分別是9和40，則第三邊的平方是（）A．1681B．1781C．1519或1681D．15199．如圖所示的是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，這個圖案是由“弦圖”演變而來．“弦圖”最早是由三國時期數(shù)學(xué)家趙爽在注解一部數(shù)學(xué)著作時給出的，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．這部中國古代數(shù)學(xué)著作是（）A．《周髀算經(jīng)》B．《幾何原本》C．《九章算術(shù)》D．《孫子算經(jīng)》10．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點，，的邊上的高，則的長為（）都在格點上，若是A．B．C．D．11．滿足下列條件時，不是直角三角形的是（）A．C．，，B．D．，12．2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，則的值為（）A．25B．19C．13D．169二、填空題13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點A（﹣5，0）為圓心，13為半徑作弧，交y軸的正半軸于點B，則點B的坐標(biāo)為_____．14．如圖，中，，AB的垂直平分線交BC于點E，若：，，則AC=_________．15．《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是_____寸．16．清代數(shù)學(xué)家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個全等的直角三角形拼出正方形的方法證明了勾股定理（如圖），若的斜邊，，則圖中線段的長為______．17．如圖，長方體的底面邊長分別為3cm和3cm，高為5cm，若一只螞蟻從A點開始經(jīng)過四個側(cè)面爬行一圈到達(dá)B點，則螞蟻爬行的最短路徑長為_____cm．18．在中，斜邊，則______．19．在平面直角坐標(biāo)系中，若點M（2，4）與點N（x，4）之間的距離是3，則x的值是_____．20．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1，點A，B，C均為格點，以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交格線于點D，則CD的長為_____．三、解答題21．某學(xué)校要對如圖所示的一塊地進行綠化，已知，求這塊地的面積．，，，，22．如圖，一棵小樹在大風(fēng)中被吹歪，用一根棍子把小樹扶直，已知支撐點到地面的距離是子的長度為5.5米，求棍子和地面接觸點到小樹底部的距離是多少?米，棍23．如圖，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點，MD⊥AB于D，求證：.24．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，將△ACE沿著AE折疊以后C點正好落在AB邊上的點D處．（1）當(dāng)∠B＝28°時，求∠CAE的度數(shù)；（2）當(dāng)AC＝6，AB＝10時，求線段DE的長．25．在銳角中，∠BAC=45°．（1）如圖1，BD⊥AC于D，在BD上取點E，使DE=CD，連結(jié)AE，F(xiàn)為AC的中點，連結(jié)EF并延長至點M，使FM=EF，連結(jié)CM、BM．①求證：△AEF≌△CMF；②若BC=2，求線段BM的長．（2）如圖2，P是△ABC內(nèi)的一點，并求此時∠APC的度數(shù)．（即），AC=3，求PA+PB+PC的最小值，26．利用所學(xué)的知識計算：（1）已知（2）已知a、b、c為Rt△ABC的三邊長，若，且，，求的值；，求Rt△ABC的周長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．C解析：C【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的長．【詳解】解：連接AD，如圖所示：∵AD=AB=2，∴DE==，∴CD=，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解決問題的關(guān)鍵．2．D解析：D【分析】根據(jù)勾股定理流出方程，進而利用完全平方公式解答即可．【詳解】解：∵大正方形的邊長是直角三角形的斜邊長，∴根據(jù)勾股定理可得：，根據(jù)小正方形面積可得，∴2xy+6=48，∴2xy=42，則，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理、完全平方公式，解題的關(guān)鍵是利用方程的思想解決問題，學(xué)會整體恒等變形的思想．3．A解析：A【分析】設(shè)旗桿的高度為m，則ACm，AB=m，AB=m，BC=5，利用勾股定理即可解答．【詳解】設(shè)旗桿的高度為m，則ACm，BC=5m，在中，解得：故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，利用勾股定理與方程的結(jié)合解決實際問題．4．B解析：B【分析】設(shè)CD=x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理列式表示出AC2，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)CD=x，則BC=5+x，在Rt△ACD中，AC2=AD2-CD2=25-x2，在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=64-（5+x）2，所以，25-x2=64-（5+x）2，解得x=1.4，即CD=1.4．故答案為：B．【點睛】本題考查了勾股定理，熟記定理并在兩個三角形列出等式表示出AC2，然后列出方程是解題的關(guān)鍵．5．C解析：C【分析】由勾股定理解得、，再根據(jù)正方形邊長相等的性質(zhì)得到，據(jù)此解題即可．【詳解】解：由勾股定理得，陰影部分的面積是，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．B解析：B【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【詳解】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，由題意可得：A′D的長度等于圓柱底面周長的一半，即A′D=15cm由對稱的性質(zhì)可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6∴BD=DE+BE=8連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B=（cm）．故選：B．【點睛】本題考查了平面展開---最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．7．B解析：B【分析】連接BP，根據(jù)已知條件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE，∠BDA=∠EDA，AE=AB=1，CE=，證明△BDP≌△EDP，推出BP=EP，當(dāng)點P與點D重合時，即可求出的周長的最小值．【詳解】連接BP，在中，，∴∠BAC=∴，AB=BC，，∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE，∠BDA=∠EDA，AE=AB=1，∴CE=在△BDP和△EDP中，，，∴△BDP≌△EDP，∴BP=EP，∴當(dāng)點P與點D重合時，PE+PC=PB+PC=BC的值最小，此時的周長最小，的周長的最小值為BC+CE=1+故選：B．=，．【點睛】此題考查翻折的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折的性質(zhì)證得△BDP≌△EDP，由此推出當(dāng)點P與點D重合時的周長最小，合情推理科學(xué)論證．8．C解析：C【分析】由題意可分當(dāng)?shù)谌厼橹苯沁厱r和當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r，然后利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：當(dāng)?shù)谌吺侵苯沁厱r，第三邊的平方是402﹣92＝1519；當(dāng)?shù)谌吺切边厱r，第三邊的平方是402+92＝1681；故選：C．【點睛】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．A解析：A【分析】根據(jù)在《周髀算經(jīng)》中趙爽提過“趙爽弦圖”即可解答．【詳解】解：根據(jù)在《周髀算經(jīng)》中趙爽提過“趙爽弦圖”，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理，知道“趙爽弦圖”是趙爽在《周髀算經(jīng)》提到過是解答的關(guān)鍵．10．D解析：D【分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用割補法可得△ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：AC＝，∵S△ABC＝3×3?×1×2?×1×3?×2×3＝，∴AC?BD＝，∴?BD＝7，∴BD＝．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理與三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．C解析：C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和公式和勾股定理的逆定理判定是否為直角三角形．【詳解】A、符合勾股定理的逆定理，故A選項是直角三角形，不符合題意；B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故B選項是直角三角形，不符合題意；C、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得各角分別為45°，60°，75°，故C選項不是直角三角形，符合題意；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得各角分別為90°，40°，50°，故D選項是直角三角形，不符合題意．故選：C【點睛】.本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．12．A解析：A【分析】根據(jù)正方形的面積及直角邊的關(guān)系，列出方程組，然后求解．【詳解】解：由條件可得：，解之得：所以．，故選A【點睛】本題考查了正方形、直角三角形的性質(zhì)及分析問題的推理能力和運算能力．二、填空題13．【分析】連接AB由題意知：OA=5AB=13利用勾股即可求得OB的長本題即可求解【詳解】解：如圖連接AB由題意知：OA=5AB=13∴OB=∴B故答案為：【點睛】本題考查的圓的半徑以及勾股定理添加輔解析：．【分析】連接AB，由題意知：OA=5，AB=13，利用勾股即可求得OB的長，本題即可求解．【詳解】解：如圖，連接AB，由題意知：OA=5，AB=13，∴OB=，∴B．故答案為：【點睛】．本題考查的圓的半徑以及勾股定理，添加輔助線AB以及正確利用勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．14．4【分析】連接AE根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可以得到AE=BE再根據(jù)勾股定理列式求解即可【詳解】解：連接AE∵DE垂直平分AB∴AE=BE∵BE=5CE=3∴AC==4故答案為：解析：4【分析】連接AE，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可以得到AE=BE，再根據(jù)勾股定理列式求解即可．【詳解】解：連接AE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE=5，CE=3，∴AC==4，故答案為：4．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的運用，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．101【分析】取AB的中點O過D作DE⊥AB于E根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論【詳解】解：取AB的中點O過D作DE⊥AB于E如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸則解析：101【分析】取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【詳解】解：取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案為：101【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BC＝6EF＝AC＝8求出FC根據(jù)勾股定理計算得到答案【詳解】解：在Rt△ABC中AC＝∵Rt△ACB≌Rt△EFA∴AF＝BC＝6EF＝A解析：【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BC＝6，EF＝AC＝8，求出，根據(jù)勾股定理FC計算，得到答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，AC＝，∵Rt△ACB≌Rt△EFA，∴AF＝BC＝6，EF＝AC＝8，∴FC＝AC﹣AF＝2，∴CE＝，故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．17．13【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑只需將長方體展開然后利用兩點之間線段最短及勾股定理求解即可【詳解】解：展開圖如圖所示：由題意在中AD=12cmBD=5cm螞蟻爬行的最短路徑長為：故答案為1解析：13【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，只需將長方體展開，然后利用兩點之間線段最短及勾股定理求解即可．【詳解】解：展開圖如圖所示：由題意，在中，AD=12cm，BD=5cm，螞蟻爬行的最短路徑長為：，故答案為13．【點睛】本題主要考查最短路徑問題，熟練掌握求最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵．18．200【分析】根據(jù)勾股定理可知兩直角邊的平方和與斜邊平方相同進而得出答案【詳解】∵在中斜邊∴∴200故答案為：200【點睛】本題考查勾股定理解題關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)題干中解析：200【分析】根據(jù)勾股定理，可知兩直角邊的平方和與斜邊平方相同，進而得出答案．【詳解】∵在∴中，斜邊∴200故答案為：200．【點睛】本題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理，發(fā)現(xiàn)題干中．19．﹣1或5【分析】根據(jù)點M（24）與點N（x4）之間的距離是3可以得到|2-x|=3從而可以求得x的值【詳解】解：∵點M（24）與點N（x4）之間的距離是3∴|2﹣x|＝3解得x＝﹣1或x＝5故答案為解析：﹣1或5【分析】根據(jù)點M（2，4）與點N（x，4）之間的距離是3，可以得到|2-x|=3，從而可以求得x的值．【詳解】解：∵點M（2，4）與點N（x，4）之間的距離是3，∴|2﹣x|＝3，解得，x＝﹣1或x＝5，故答案為﹣1或5．【點睛】本題考查兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．20．【分析】由勾股定理求出AB再由勾股定理求出DE即可得出CD的長【詳解】解：連接ABAD如圖所示：∵AD＝AB＝∴DE＝∴CD＝故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理由勾股定理求出ABDE是解題的關(guān)鍵解析：【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的長．【詳解】解：連接AB，AD，如圖所示：∵AD＝AB＝∴DE＝，，∴CD＝．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．．【分析】連接AC，勾股定理計算AC=，應(yīng)用勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，計算兩個直角三角形的面積差即可．【詳解】解：連接AC∵∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理，得AC==5，在△ABC中，∴，△ABC是直角三角形，∴==24．【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，得到△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．同時考查了直角三角形的面積公式．22．5米【分析】利用勾股定理計算即可.【詳解】由題意知：AB=米，AC=5.5米，∵∠ABC=90°，∴=4.5米，答：棍子和地面接觸點【點睛】到小樹底部的距離是4.5米.此題考查勾股定理的實際應(yīng)用，根據(jù)實際問題構(gòu)建直角三角形利用勾股定理來解決問題是解題的關(guān)鍵.23．見解析【分析】連接AM得到三個直角三角形，運用勾股定理分別表示出AD2、AM2、BM2進行代換就可以最后得到所要證明的結(jié)果．【詳解】證明：連接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M為BC中點，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【點睛】本題考查了勾股定理，三次運用勾股定理進行代換計算即可求出結(jié)果，另外準(zhǔn)確作出輔助線也是正確解出的重要因素．24．（1）31°；（2）3．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用互余得到∠BAC＝62°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠CAE＝∠CAB＝31°，然后根據(jù)互余可計算出∠AEC＝59°；（2）Rt△ABC中，利用勾股定理即可得到BC的長；設(shè)DE＝x，則EB＝BC﹣CE＝8﹣x，依據(jù)勾股定理可得，Rt△BDE中DE2+BD2＝BE2，再解方程即可得到DE的長．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠B＝28°，∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，∵△ACE沿著AE折疊以后C點正好落在點D處，∴∠CAE＝∠CAB＝×62°＝31°；（2）在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8，∵△ACE沿著AE折疊以后C點正好落在點D處，∴AD＝AC＝6，CE＝DE，∴BD＝AB﹣AD＝4，設(shè)DE＝x，則EB＝BC﹣CE＝8﹣x，∵Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．即DE的長為3．【點睛】本題考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，解題時常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．25．（1）①見解析；②；（2）最小值為，此時∠APC=90°【分析】（1）①根據(jù)SAS證明△AEF≌△CMF②證明△BCM即可；是等腰直角三角形，由勾股定理求解即可；（2）將△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFE，連接FP、CE，推薦，∠EAC=135°，作EH⊥CA交CA的延長線于H，求得EH=AH=2，CH=5，在Rt△EHC中，可得，由點、、、四點共線時，CPFEPA+PB+PC的最小值為CE，故可得結(jié)論．【詳解】（1