南京航空航天大學 結構力學 課后習題答案 第3章

第三章能量原理（習題解答）3-1寫出下列彈性元件的應變能和余應變能的表達式。（a）等軸力桿；（b）彎曲梁；（c）純剪矩形板。解：（a）等軸力桿應變能余應變能其中為桿的長度，為桿的截面積，Δ為桿的變形量，為材料的彈性模量。（b）彎曲梁應變能余應變能（c）純剪矩形板應變能余應變能3-2求圖3-2所示桁架的應變能及應變余能，應力—應變之間的關系式為（a）（b）解：取節(jié)點2進行受力分析，如圖3-2a所示。根據平衡條件，有（1）（2）（3）（a）時（4）（5）聯立（1）、（2）、（3）、（4），得到桁架的應變能為聯立（1）、（2）、（3）、（5），得到桁架的余應變能為（b）時（6）聯立（1）、（2）、（4）、（6），得到桁架的應變能為聯立（1）、（2）、（5）、（6），得到桁架的應變能為3-3一種假想的材料遵循如下二維的應力—應變規(guī)律其中E、G和是材料常數。導出用這種材料做成的二維物體的應變能密度。解：應變能密度余應變能密度總應變能密度而所以應變能密度為3-4試用虛位移原理或最小位能原理確定題3-4圖所示平面桁架的節(jié)點o的位置和各桿內力。各桿材料相同，彈性常數為E。，，各桿截面積，，。解：設o點的位移為、，則各桿的變形量如下：o-1桿：o-2桿：o-3桿：系統(tǒng)位能令，則，，從而：解得由，得3-5試用最小位能原理導出承受均布載荷的彎曲等截面梁（圖3-5）的平衡方程式。解：由教科書例3-2知懸臂梁的邊界條件為：在在處，，處，剪力，彎矩又知（直法線假設）在處，彎矩所以，當時，又知所以在處，剪力所以，當時，由以上，如果則有受均布載荷懸臂梁的平衡方程為＝03-6試用最小余能原理求解圖3-6所示圓框的彎矩表達式，并給出彎矩圖。圓框的截面彎矩剛度為EJ、。解：根據圓框的對稱性可知，在圖3-6a的受力分析圖中，只有軸力和彎矩，而無剪力。取右半部分的一段進行受力分析如圖3-6a所示。根據平衡條件，可得到彎矩表達式余應變能外力余能故根據最小余能原理（1）（2）聯立（1）、（2）解得則圓框截面的彎矩為3-7試用瑞利—李茲法確定圖3-7所示梁的點處橫向撓度。解：梁兩端簡支，其位移邊界條件為，選取正弦函數為基函數，取前兩項，則梁的應變能為梁的外力勢能梁的總位能由最小位能原理因此當時3-8沿直平面內的正方形薄板，邊長為2a，四邊固定，只受重力作用，如圖3-8所示。設，試取位移分量的表達式為用瑞利—李茲法或伽遼金法求解。解：運用伽遼金法求解。本題中的四邊形薄板四邊固支，因此是一個平面應力問題。其基本方程為（1）當只取項和項時，位移分量的表達式為（2）因為，所以（1）式可簡化為（3）將，及（2）式代入（3）式，得即簡化為由此解得代入位移表達式，得由物理方程，得3-9用李茲法求解受均布載荷作用雙簡支梁的最大撓度和最大彎矩，撓度函數選下列兩種形式，比較其計算結果。（a）（b）解：雙簡支梁兩端的位移邊界條件是在處，彎矩的表達式為（a）時梁的總位能由最小位能原理有所以撓度函數的表達式最大撓度最大彎矩（b）時梁的總位能由最小位能原理有所以撓度函數的表達式最大撓度最大彎矩3-10用李茲法求解受均布載荷懸臂梁的撓度，撓度函數選下列各種形式，并比較兩種計算所得的最大撓度。（a）（b）解：懸臂梁的邊界條件是在x=0處，（a）時梁的總