初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽多邊形

多邊形在同一平面內(nèi)，由一些線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。如果延長(zhǎng)多邊形的任一條邊，整個(gè)多邊形都在這條延長(zhǎng)邊的一側(cè)，那么這樣的多邊形就叫做凸多邊形。下面所說(shuō)的多邊形均指凸多邊形。它的重要性質(zhì)是：幾邊形的內(nèi)角和是認(rèn)-即葩，由于這個(gè)結(jié)論與邊數(shù)有關(guān)，所以這不是對(duì)多邊形的最本質(zhì)的刻劃。更加本質(zhì)的是它的推論：任意多邊形的外角和等于360°o多邊形中通過(guò)連結(jié)對(duì)角線(xiàn)中把多邊形就分割為若干個(gè)三角形，這就把研究多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究三角形的問(wèn)題，這是一種重要的研究思路，請(qǐng)讀者在下面的解題過(guò)程中認(rèn)真體會(huì)這種思路。例1已知多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。思路設(shè)多邊數(shù)的邊數(shù)為n然后通過(guò)已知條件列出n的方程，再求出n值。解設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n根據(jù)題意得(?-2)180°=3x360°解之得n=8答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8說(shuō)明本題通過(guò)設(shè)邊數(shù)為n,然后依題意列出n的方程，再求出n值。這是運(yùn)用方程的思想解幾何題。這種思想方法今后還會(huì)經(jīng)常用到。例2一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于144"，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。思路1利用多邊形的內(nèi)角和定理。解法1設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n根據(jù)題意得解之得n=10思路2利用多邊形的外角和定理。解法2因?yàn)檫@個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于144°，所以每個(gè)外角都等于180°-144°=36°，而多邊形的外角和是360°，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是360°+殮=10.說(shuō)明當(dāng)你們學(xué)習(xí)了解法1和解法2后，你們心里產(chǎn)生了怎樣的想法呢？顯然，解法1比較傳統(tǒng)，解法2則標(biāo)新立異，這就啟發(fā)我們解題時(shí)選擇恰當(dāng)?shù)某霭l(fā)點(diǎn)是多么重要。例3一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角之外的所有內(nèi)角和等于2000°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。思路利用多邊形的內(nèi)角和定理。解設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為X,根據(jù)題意有(n-2)180D=2000°+x■x=(n-2)180°-2000°'V0°<x<180°

又二0口C(總-2)180°-2000°<180°解之得又由n是正整數(shù)得n=14Ax=(14-2)180°-2000°=160°說(shuō)明在解題中要重視對(duì)題目隱含條件的發(fā)掘和利用。如本題中的x取值范圍是0°<^<180°。n是正整數(shù)等。例4求證：n邊形的內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角。思路1用反證法.證法1假設(shè)n邊形至少有4個(gè)銳角，取出4個(gè)銳角之后剩下的角記為國(guó)，A2比-4，則有2)180°<4+&+???+&,+4x90°得A+&+…+&_4>(?-4)-180°那么國(guó)，堆…，&一4中至少有一個(gè)大于而這與A，舄…，&_4中的每一個(gè)都小于180矛盾。所以，n邊形的內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角。思路2轉(zhuǎn)化為證明它的等價(jià)命題：n邊形的外角中，最多有3個(gè)鈍角。證法2因?yàn)閚邊形的外角和是360°，所以這n個(gè)外角中最多有3個(gè)鈍角。(若有4個(gè)或4個(gè)以上角是鈍角，則外角和就大于這與n邊形的外角和定理矛盾)。這3個(gè)是鈍角的外角的對(duì)應(yīng)內(nèi)角就是銳角。所以，n邊形的內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角。說(shuō)明當(dāng)要證明的是有關(guān)：“最多”、“至少”等問(wèn)題時(shí)，常常用反證法證明。通過(guò)證法1、2的比較后，我們就應(yīng)認(rèn)清“多邊形的外角和定理”是對(duì)多邊形的本質(zhì)刻劃。例5如圖2-9-1,求+XU+遲+的度數(shù)。

圖2-9-1思路要想方設(shè)法把這些要求的角集中在一個(gè)或幾個(gè)多邊形中。解連結(jié)AFTAD圖2-9-1思路要想方設(shè)法把這些要求的角集中在一個(gè)或幾個(gè)多邊形中。解連結(jié)AFTAD和CF交于0Z.Z1+Z2=又在四邊形ABEF中，有ZFAB+ZB+ZE+ZEFA=360°AFAB=Z1+Z3ZSFA=Z2+ZA:.AF'AB+AEFA=Z3+Z4+ZC+ZZ)即ZBAD+ZB+ZC+ZD+ZE+ZCFS=360°例6如圖2-9-2，試求+Z.B+Z.C+Z-D+Z-E+/-F+Z-H的度數(shù)。思路連結(jié)CH,利用五邊形CDEFH求所求角的度數(shù)。解連結(jié)HC.■.■ZA+Z5=Z1+Z2.在五邊形CDEFH中，有ZHCD+ZD+ZE+ZF+ZFHC=540°?ZHCD=Z2+^DCB^FHC=Z1=ZAHF,:.ZHCD+ZFHC=ZA+Z2+ZDCB+ZAHF=ZA+ZB+ZDCB+ZAHF.:.ZA+ZB+ZDCB+ZD+ZE+ZF+ZAHF=540°說(shuō)明這類(lèi)題解決的關(guān)鍵在于通過(guò)連結(jié)輔助線(xiàn)，巧妙的把所求的角放入若干個(gè)多邊形中，借助于多邊形的內(nèi)角和來(lái)解決問(wèn)題。例7如圖，ZB=14。，ZC=15。，ZF=16。,并且AA+AD+AE+AG=^-45°.試求k的值。BCBC思路利用題設(shè)條件求出ZA+Z^+Z^+ZC?的具體值，然后求出K的值。解/="+"=14°+16°=30°,=Z1+ZC=3O°+15°=45°.■:ZA+ZS=ZEOD,ZD+ZG=ZAOG,：.^A+ZD+ZE+ZG=AEOD+ZAOG=ZEOD+ZDOC=-ZBOC=lS0°-45°=135°..?.m好,例8己知一個(gè)凸十一邊形由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形無(wú)重疊，無(wú)間隙拼成，求該凸十一邊形的各內(nèi)角的大小。思路設(shè)凸十一邊形的內(nèi)角中有90M20M5QO的個(gè)數(shù)分別為X,y,z,s.列出它們滿(mǎn)足的關(guān)系式，并求出x，y，z，s的值。解設(shè)此凸十一邊形的各個(gè)內(nèi)角中有x個(gè)眇,y個(gè)90：z個(gè)s個(gè)15尸由題意由①得s=ll-x-y-z代②入化簡(jiǎn)得3x+2y+z=1因?yàn)橥遹衛(wèi)均為非負(fù)整數(shù),所以疋=，=Of=1故￡=10.則這個(gè)凸十一邊形有一個(gè)角是，有十個(gè)內(nèi)角都是15?？诰毩?xí)A級(jí)填空題TOC\o"1-5"\h\z一個(gè)n邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則n=.一個(gè)凸n邊形的外角中，最多有一個(gè)鈍角。已知凸n邊形的n個(gè)內(nèi)角與某一個(gè)外角之和為1350°，則n=,如圖2-9-4,求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE的度數(shù)。B級(jí)5.一個(gè)六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是120°，，連續(xù)四邊的長(zhǎng)度依次是1,3,3,2,則這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)是.一個(gè)多邊形有三個(gè)內(nèi)角為鈍角,這樣的多邊形邊數(shù)的最大值是。在同一平面上畫(huà)兩個(gè)邊數(shù)各為口1衛(wèi)2的凸多邊形旳童旳。如果沒(méi)有任何線(xiàn)段重合，貝yppP2的交點(diǎn)數(shù)的最大值是。&在n邊形內(nèi)有m個(gè)點(diǎn)，以這n+m個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成k個(gè)互不重疊的三角形，求k的值。參考答案:填空題1.4。提示：〔口-2)■1刖=360°.=4.2.3。提示：因?yàn)閚邊形的外角和為，所以鈍角最多有3個(gè)。(若有4個(gè)成4個(gè)以上外角為鈍角，則外角和將大于，這與外角和定理矛盾)。3．9。提示：設(shè)這個(gè)外角為匚則(?-2)180°+^=1350\1350°-(?3-2)180°。又卩5c180°，0°<1350°-弦-2)180°<180°。解之得8.5<9.5。又由n是整數(shù)得n=9。4.。如圖，CDCDZ1=Z5+Z5，，+++=Zl+Z2+Z￡?=180°o15o提示：如圖，延長(zhǎng)BC、DE、AF交于G、H、M,由六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是12尸，得厶CHD、AFEM、AGBA、△GHM都是等邊三角形二GB=GA=AB=1,CH=DH=CD=3,■'，GH=l+3+3=7。進(jìn)而可求得EF=2,AF=4,周長(zhǎng)為1+3+3+2+2+4=15。6.6。提示：由已知知這三個(gè)是鈍角的內(nèi)角的相鄰?fù)饨鞘卿J角，又因?yàn)橥饨呛蜑楸彼裕饨侵杏嘞碌拟g角個(gè)數(shù)最多為3個(gè)，所以，多邊形邊數(shù)的最大值是6。7.2n。提示：首先，任一直線(xiàn)與凸多邊形的邊最多有兩個(gè)交點(diǎn)，否則至少有3個(gè)交點(diǎn)，必存在一個(gè)交點(diǎn)，其兩旁均有交點(diǎn)，延長(zhǎng)這一點(diǎn)所在的邊，則多邊形被這條延長(zhǎng)直線(xiàn)分成兩部分，與凸多邊