BoseEinstein凝聚熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理汪志誠

會(huì)計(jì)學(xué)1BoseEinstein凝聚熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理汪志誠滿足經(jīng)典極限條件的玻色和費(fèi)米系統(tǒng)知識(shí)回顧:第七章第1頁/共37頁Chap.8玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)§8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式拋棄粒子軌道的概念（1）微觀粒子的能量和動(dòng)量是不連續(xù)的（2）微觀全同粒子不可分辨（3）微觀粒子的行為要滿足不確定關(guān)系（4）費(fèi)米子受泡利不相容原理的限制知識(shí)回顧:§8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式第2頁/共37頁Bose系統(tǒng)Fermi系統(tǒng)知識(shí)回顧:§8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式第3頁/共37頁知識(shí)回顧：§8.2弱簡并理想玻色和費(fèi)米氣體Chap.8玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)Chap.7中的經(jīng)典極限條件（非簡并條件）：所謂“弱簡并條件”即氣體的很大很小，但不可忽略！第4頁/共37頁知識(shí)回顧：§8.2弱簡并理想玻色和費(fèi)米氣體Bose氣體Fermi氣體Boltzmann氣體弱簡并條件下的系統(tǒng)內(nèi)能的差異（1）第一項(xiàng)是根據(jù)Boltzmann分布得到的內(nèi)能（2）第二項(xiàng)是量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的附加內(nèi)能，

弱簡并的情況下附加內(nèi)能很??；Fermi氣體附加內(nèi)能為正—等效的排斥作用Bose氣體附加內(nèi)能為負(fù)---等效的吸引作用第5頁/共37頁新課：§8.3Bose–Einstein凝聚§8.3Bose-Einstein凝聚上節(jié)討論了弱簡并的Bose(Fermi)氣體的性質(zhì)，初步看到了由微觀粒子的全同性帶來的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)對(duì)系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的影響。Bose-Einsteincondensation本節(jié)我們會(huì)看到，當(dāng)理想Bose氣體的nλ3等于或大于2.612的臨界值時(shí)將出現(xiàn)獨(dú)特的Bose-Einstein凝聚現(xiàn)象。Bose-Einstein凝聚現(xiàn)象是Einstein于1925年首先從理論上預(yù)言的.弱簡并的情況下，很小，效應(yīng)很弱第6頁/共37頁一、理想Bose氣體的化學(xué)勢和臨界溫度Tc二.

Bose–Einstein凝聚三.T<Tc時(shí)，理想Bose氣體的內(nèi)能和熱容量四.Bose凝聚條件新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第7頁/共37頁研究對(duì)象：N個(gè)全同、近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)；溫度為T、體積為V；粒子的自旋為零。由Bose分布：……（8.3.1）式1.理想Bose氣體的化學(xué)勢μ

是負(fù)值新課：§8.3Bose–Einstein凝聚一、理想Bose氣體的化學(xué)勢第8頁/共37頁顯然對(duì)所有的能級(jí)對(duì)所有的能級(jí)最低能級(jí)……（8.3.1）式如果取最低能級(jí)為能量的零點(diǎn)，則：新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第9頁/共37頁2.根據(jù)Bose系統(tǒng)的粒子數(shù)可以確定化學(xué)勢μ(亦即α)化學(xué)勢μ

為溫度T

、粒子數(shù)密度n的函數(shù)μ(T,n),與溫度無關(guān)n=constant時(shí)Tμ|μ|ε0=0，μ<0新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第10頁/共37頁如果用積分代替求和n=constant時(shí)Tμε0=0，μ<0極限討論：化學(xué)勢μ

隨著溫度T的降低而升高當(dāng)降到某一臨界溫度Tc時(shí)，μ—>-0Tc=?新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第11頁/共37頁3.臨界溫度Tc的確定μ—>-0時(shí)，令x=ε/kTcTc=?新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第12頁/共37頁附錄C-15Tc=?新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第13頁/共37頁Tc=?新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第14頁/共37頁一、理想Bose氣體的化學(xué)勢和臨界溫度Tc二.

Bose–Einstein凝聚三.T<Tc時(shí)，理想Bose氣體的內(nèi)能和熱容量四.Bose凝聚條件新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第15頁/共37頁1.分析：溫度低于Tc時(shí)會(huì)有什么現(xiàn)象？T=Tc,取ε0=0,μ<0即任何溫度下μ<0T=Tc時(shí),μ—>-0T繼續(xù)降低，至T<Tc時(shí)，若(8.3.5)成立，須μ>0??T<Tc時(shí),若仍然μ—>-0,則?新課：§8.3Bose–Einstein凝聚二.

Bose–Einstein凝聚第16頁/共37頁產(chǎn)生這一矛盾的根源：求和到積分的轉(zhuǎn)化過程中，忽略掉了ε=0的能級(jí)上的粒子數(shù)。

T>Tc時(shí)，ε=0的能級(jí)上的粒子數(shù)與總粒子數(shù)相比很小，可以忽略；

T<Tc時(shí)，ε=0的能級(jí)上的粒子數(shù)將是一個(gè)很大的數(shù)值，不可忽略！新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第17頁/共37頁因此T<Tc時(shí),仍然保持μ—>-0

n0(T)是溫度為T時(shí)ε=0的能級(jí)上的粒子數(shù)密度第二項(xiàng)是處于激發(fā)能級(jí)ε>0上的粒子數(shù)密度nε>0第二項(xiàng)已取極限μ—>-0新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第18頁/共37頁2.T<Tc時(shí)，n0(T)與溫度的關(guān)系新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第19頁/共37頁

Tc以下，n0與n有相同的量級(jí)！新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第20頁/共37頁T<Tc時(shí),μ—>-0,<n

0>與N可比

新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第21頁/共37頁3.

Bose–Einstein凝聚絕對(duì)零度下，粒子盡可能地占據(jù)能量最低的狀態(tài)。對(duì)于Bose子，一個(gè)量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)不受限制，因此，絕對(duì)零度下玻色子將全部處在ε=0的最低能態(tài)。

T<Tc時(shí)，就有宏觀量級(jí)的粒子在能級(jí)ε=0凝聚，這一現(xiàn)象稱為Bose-Einstein凝聚，簡稱Bose凝聚。E=0;P動(dòng)量=0;S=0;p壓強(qiáng)=0(證明)Tc:凝聚溫度凝聚在ε0的粒子集合稱為Bose凝聚體新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第22頁/共37頁一、理想Bose氣體的化學(xué)勢和臨界溫度Tc二.

Bose–Einstein凝聚三.T<Tc時(shí)，理想Bose氣體的內(nèi)能和熱容量四.Bose凝聚條件新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第23頁/共37頁1.內(nèi)能：所有能級(jí)ε>0上的粒子能量的統(tǒng)計(jì)平均值新課：§8.3Bose–Einstein凝聚三.T<Tc時(shí)，理想Bose氣體的內(nèi)能和熱容量第24頁/共37頁新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第25頁/共37頁T<Tc時(shí)T<Tc時(shí),Cv～T3/2T=Tc時(shí),Cv有極大值高溫時(shí)應(yīng)趨于經(jīng)典值3Nk/2Cv隨溫度變化的詳細(xì)計(jì)算結(jié)果:T=Tc處Cv連續(xù)，Cv對(duì)T的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第26頁/共37頁2.理論發(fā)展過程新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第27頁/共37頁新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第28頁/共37頁一、理想Bose氣體的化學(xué)勢和臨界溫度Tc二.

Bose–Einstein凝聚三.T<Tc時(shí)，理想Bose氣體的內(nèi)能和熱容量四.Bose凝聚條件新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第29頁/共37頁，故可通過降溫或增加氣體粒子數(shù)密度的方法來實(shí)現(xiàn)Bose凝聚實(shí)現(xiàn)Bose凝聚的條件：新課：§8.3Bose–Einstein凝聚四.Bose凝聚條件第30頁/共37頁新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第31頁/共37頁新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第32頁/共37頁一、理想Bose氣體的化學(xué)勢和臨界溫度Tc二.

Bose–Einstein凝聚三.T<Tc時(shí)，理想Bose氣體的內(nèi)能和熱容量四.Bose凝聚條件§8.3Bose–Einstein凝聚小結(jié)T<Tc時(shí)，就有宏觀量級(jí)的粒子在能級(jí)ε=0凝聚，這一現(xiàn)象稱為Bose-Einstein凝聚，簡稱Bose凝聚。Bose凝聚體的E=0;P動(dòng)量=0;S=0;P壓強(qiáng)=0

T<Tc時(shí)：第33頁/共37頁例題一：

已知He原子液體的摩爾體積Vm＝27.6升/mol，原子量m＝6.65×1027kg。求其臨界溫度Tc。關(guān)鍵是求n:最后得Tc＝3.13Kn=N/Vm=6.02×1023/27.6×10-3新課：§8.3Bose–Einstein凝聚第34頁/共37頁例題二：

試證明在熱力學(xué)極限下，一維理想氣體不存在玻色凝聚現(xiàn)象。證明：

為簡單，設(shè)玻色氣體自旋為零，且化學(xué)勢μ<0ε-ε+dε之間的量子態(tài)數(shù)為：