D75可降階高階微分方程

會(huì)計(jì)學(xué)1D75可降階高階微分方程例1.解:

第1頁(yè)/共22頁(yè)例2.質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)受力F

的作用沿Ox

軸作直線運(yùn)動(dòng),在開(kāi)始時(shí)刻隨著時(shí)間的增大,此力

F

均勻地減直到t=T時(shí)

F(T)=0.如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn),解:據(jù)題意有t=0

時(shí)設(shè)力F僅是時(shí)間t

的函數(shù):F=F(t).小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.初速度為0,且對(duì)方程兩邊積分,得第2頁(yè)/共22頁(yè)利用初始條件于是兩邊再積分得再利用故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為第3頁(yè)/共22頁(yè)型的微分方程

設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、第4頁(yè)/共22頁(yè)例3.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為第5頁(yè)/共22頁(yè)例4.繩索僅受重力作用而下垂,解:取坐標(biāo)系如圖.考察最低點(diǎn)A到(

:

密度,s:弧長(zhǎng))弧段重力大小按靜力平衡條件,有故有設(shè)有一均勻,柔軟的繩索,兩端固定,問(wèn)該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線?任意點(diǎn)M(x,y)弧段的受力情況:

A

點(diǎn)受水平張力HM

點(diǎn)受切向張力T兩式相除得第6頁(yè)/共22頁(yè)則得定解問(wèn)題:原方程化為兩端積分得則有兩端積分得故所求繩索的形狀為懸鏈線第7頁(yè)/共22頁(yè)三、型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解第8頁(yè)/共22頁(yè)例5.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:第9頁(yè)/共22頁(yè)M:地球質(zhì)量m:物體質(zhì)量例6.

靜止開(kāi)始落向地面,(不計(jì)空氣阻力).解:

如圖所示選取坐標(biāo)系.則有定解問(wèn)題:代入方程得積分得一個(gè)離地面很高的物體,受地球引力的作用由求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間第10頁(yè)/共22頁(yè)兩端積分得因此有注意“－”號(hào)第11頁(yè)/共22頁(yè)由于y=R

時(shí)由原方程可得因此落到地面(y=R)時(shí)的速度和所需時(shí)間分別為第12頁(yè)/共22頁(yè)說(shuō)明:

若此例改為如圖所示的坐標(biāo)系,解方程可得問(wèn):

此時(shí)開(kāi)方根號(hào)前應(yīng)取什么符號(hào)?說(shuō)明道理.則定解問(wèn)題為第13頁(yè)/共22頁(yè)例7.解初值問(wèn)題解:

令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得第14頁(yè)/共22頁(yè)為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x

軸圍成的三角形面例8.二階可導(dǎo),且上任一點(diǎn)P(x,y)

作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以解:于是在點(diǎn)P(x,y)處的切線傾角為

,滿足的方程.積記為第15頁(yè)/共22頁(yè)再利用y(0)=1得利用得兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為第16頁(yè)/共22頁(yè)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令第17頁(yè)/共22頁(yè)思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:

令或一般說(shuō),用前者方便些.均可.有時(shí)用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便.(2)遇到開(kāi)平方時(shí),要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).例6例7第18頁(yè)/共22頁(yè)

P3231(5),(7),(10);2(3),(6);3;

作業(yè)

第六節(jié)第19頁(yè)/共22頁(yè)速度大小為2v,方向指向A,提示:設(shè)t時(shí)刻

B位于(x,y),如圖所示,則有去分母后兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得又由于設(shè)物體

A

從點(diǎn)(0,1)出發(fā),以大小為常數(shù)v備用題的速度沿y軸正向運(yùn)動(dòng),物體B