D87方向?qū)?shù)與梯

會計學(xué)1D87方向?qū)?shù)與梯定理:則函數(shù)在該點沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點P

可微,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故第1頁/共20頁機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對于二元函數(shù)為,)的方向?qū)?shù)為特別:?當(dāng)l與x軸同向?當(dāng)l與x軸反向向角第2頁/共20頁例1.求函數(shù)

在點

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

向量

l

的方向余弦為第3頁/共20頁例2.

求函數(shù)在點P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點P

的切向量為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共20頁例3.設(shè)是曲面在點P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點P處沿求函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共20頁二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共20頁1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點P

處的梯度記作(gradient),在點處的梯度機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義第7頁/共20頁函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為函數(shù)f

的等值線

.則L*上點P處的法向量為同樣,對應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時,其上點P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.第8頁/共20頁3.梯度的基本運算公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共20頁例4.證:試證機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束處矢徑r的模,第10頁/共20頁三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(數(shù)性函數(shù))場向量場(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(勢)如:溫度場,電位場等如:力場,速度場等(向量場)注意:

任意一個向量場不一定是梯度場.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共20頁例5.已知位于坐標(biāo)原點的點電荷q

在任意點試證證:利用例4的結(jié)果這說明場強(qiáng):處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共20頁內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共20頁2.梯度?三元函數(shù)在點處的梯度為?二元函數(shù)在點處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在??可微機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束梯度在方向l

上的投影.第14頁/共20頁思考與練習(xí)

設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)在點M(1,1,1)處沿曲線在該點切線方向的方向?qū)?shù);(2)求函數(shù)在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共20頁曲線(1)在點解答提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)M(1,1,1)處切線的方向向量第16頁/共20頁機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共20頁備用題

1.函數(shù)在點處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對稱性機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共20頁指向B(3,－2