《立體幾何中的向量方法》試卷（） 市賽一等獎

《立體幾何中的向量方法》試卷(45分鐘100分)一、選擇題(每小題6分，共36分)1.已知直線l1的方向向量是a=(2,4,x)，直線l2的方向向量是b=(2，y,2)，若|a|=6，且a·b=0，則x+y的值是()(A)-3或1(B)3或-1(C)-3(D)12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A13.(2022·湘潭模擬)已知直線AB、CD是異面直線，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，則異面直線AB與CD所成角的大小為()(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°4.(2022·金華模擬)正三棱柱ABC—A1B1C1的棱長都為2，E，F(xiàn)，G為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B(A)(B)(C)(D)5.(2022·晉城模擬)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=,則MN與平面BB1C(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能確定6.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿對角線BD將△ABD折起，使A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影O落在BC邊上，若二面角C－AB－D的大小為θ，則sinθ的值等于()(A)(B)(C)(D)二、填空題(每小題6分，共18分)7.(易錯題)已知兩平面的法向量分別為m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大小為_______.8.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D9.正四棱錐S－ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD，則直線BC與平面PAC所成的角是_______．三、解答題(每小題15分，共30分)10.(2022·株洲模擬)已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，邊長為2a，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).(1)求證：AF∥平面BCE；(2)求證：平面BCE⊥平面CDE；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.11.(預(yù)測題)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn).(1)證明：PF⊥FD；(2)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A-PD-F的平面角的余弦值.【探究創(chuàng)新】(16分)如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，△PAD為等邊三角形，又平面PAD⊥平面ABCD．(1)若在邊BC上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求a的取值范圍；(2)當(dāng)邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時，求二面角A－PD－Q的余弦值．答案解析1.【解析】選A.由題意知,得x=±4.由a·b=4+4y+2x=0得x=-2y-2,當(dāng)x=4時，y=-3,∴x+y=1；當(dāng)x=-4時，y=1,∴x+y=-3,綜上x+y=-3或1.2.【解題指南】合理建立坐標(biāo)系，分別求出選項(xiàng)中的線段對應(yīng)的向量，即可求得結(jié)果.【解析】選B.以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E(，，1)，∴=(，，1)，=(1，1，0)，=(-1，1，0)，=(0，1，-1)，=(0，0，-1)，顯然，∴，即CE⊥BD.3.【解析】選C.∵cos〈〉==∴異面直線AB與CD所成角為60°.4.【解析】選A.如圖，取A1B1的中點(diǎn)E1，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Exyz.則E(0,0,0),F(-1,0,1),B1(1,0,2),A1(-1,0,2),C1(0,,2),G().∴=(-2,0,-1),設(shè)平面GEF的一個法向量為n=(x,y,z),由，得，令x=1,則n=(1,,1),設(shè)B1F與平面GEF所成角為θ.5.【解題指南】建立坐標(biāo)系，判斷與平面BB1C【解析】選B.分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.∵A1M=AN=,∴M(),N().∴.又C1(0，0，0)，D1(0,a,0),∴=(0,a,0).∴.∴.∵是平面BB1C1且MN平面BB1C∴MN∥平面BB1C6.【解析】選A.由題意可求得BO=，OC=，AO=，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則C(,0,0)，B(,0,0)，A(0,0,)，D(,3,0)，=(4,3,0)，=()設(shè)m=(x，y，z)是平面ABD的一個法向量．則，取z=，x=7,y=.則.又=(0,3,0)是平面ABC的一個法向量．∴.sinθ.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法，其步驟是：①建系，②分別求構(gòu)成二面角的兩個半平面的法向量，③求法向量夾角的余弦值，④根據(jù)題意確定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法，該法就是首先利用二面角的定義，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】，∴,∴兩平面所成二面角的大小為或.答案：或【誤區(qū)警示】本題容易認(rèn)為兩平面所成角只有,而忽視.8.【解析】以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O(,,1)，設(shè)平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z)，由，得，令x=1，得n=(1,0,1)，又，∴O到平面ABC1D1的距離.答案:9.【解析】如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(-a,0,0)，P(0,,)，則=(2a,0,0)，=(-a,,)，=(a，a,0)，設(shè)平面PAC的一個法向量為n，可取n=(0,1,1)，則，∴=60°，∴直線BC與平面PAC所成的角為90°－60°=30°.答案：30°10.【解析】依題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0，0，0)，C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).∵F為CD的中點(diǎn)，∴F(a,a,0).(1)=(a,a,0)，=(a,a,a),=(2a,0,-a),∵AF平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵∴∴∴⊥平面CDE，又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.(3)設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x,y,z),由可得：ax+ay+az=0,2ax-az=0,取n=(1,-,2).又設(shè)BF和平面BCE所成的角為θ,由題圖可知，θ為銳角，則∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為11.【解析】(1)∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(1，0，0)，F(xiàn)(1，1，0)，D(0，2，0).不妨令P(0，0，t)，∵=(1，1，-t)，=(1，-1，0)∴·=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,即PF⊥FD.(2)存在.設(shè)平面PFD的一個法向量為n=(x,y,z),結(jié)合(1),由，得,令z=1,解得：x=y=.∴.設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,m),E(,0,0),則=(，0，m)，要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即,得，從而滿足的點(diǎn)G即為所求.(3)∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1，0，0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°,PA=1，結(jié)合(2)得平面PFD的法向量為n=()，∴由題意知二面角A-PD-F為銳二面角.故所求二面角A-PD-F的平面角的余弦值為.【探究創(chuàng)新】【解析】(1)取AD中點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD.建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,),D(,0,0)．設(shè)Q(t，2，0)，則．∵PQ⊥QD，∴．∴a=2(t+)，∵a>0,∴t>0,∴2(t+)≥8,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)t=2．故a的取值范圍為［8,+∞)．(2)由(