2022年北京牛堡屯學校高三數(shù)學理期末試卷含解析

2022年北京牛堡屯學校高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖甲所示的莖葉圖為高三某班60名學生某次數(shù)學模擬考試的成績，算法框圖圖乙中輸入的ai為莖葉圖的學生成績，則輸出的m，n，k分別是（）A．m=18，n=31，k=11 B．m=18，n=33，k=9C．m=20，n=30，k=9 D．m=20，n=29，k=11參考答案：B【考點】EF：程序框圖；BA：莖葉圖．【分析】模擬程序的運行，可得算法的功能，結(jié)合莖葉圖即可得解．【解答】解：依據(jù)程序框圖，可知，m表示數(shù)學成績ai＜90的學生人數(shù)，則m=18；n表示數(shù)學成績90≤ai≤120的學生人數(shù)，則n=33；k表示數(shù)學成績ai＞120的學生人數(shù)，則k=9，故選：B．【點評】本題借助莖葉圖考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2.曲線y=x（3lnx+1）在點（1，1）處的切線方程為

．參考答案：y=4x﹣3【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，再求切線的方程．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)，可得y′=3lnx+4，當x=1時，y′=4，∴曲線y=x（3lnx+1）在點（1，1）處的切線方程為y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案為：y=4x﹣3．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查點斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．3.若把一個函數(shù)少的圖象按平移后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D4.若的圖象過點，則=

(A)-1

(B)0

(C)2

(D)1參考答案：D5.某多面體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此多面體的體積是

（

）

A．

B．cm3 C．

cm3 D．

cm3參考答案：D略6.設(shè)等比數(shù)列的前項和為．則“”是“”的（

）（A）充分而不必要條件

（B）必要而不充分條件（C）充要條件

（D）既不充分又不必要條件參考答案：C，若，則，所以。若，則，所以，即“”是“”的充要條件，選C.7.下圖是一個算法的程序框圖，當輸入值為10時，則其輸出的結(jié)果是（

）A．

B．2

C．

D．4參考答案：D8.已知{an}是等差數(shù)列，a10=10，其前10項和S10=70，則其公差d=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，解方程即可．【解答】解：設(shè){an}的公差為d，首項為a1，由題意得，解得，故選D．9.偶函數(shù)滿足，且在時，，則關(guān)于的方程，在上解的個數(shù)是（

）A．1

B.2

C.3

D.4

參考答案：【知識點】函數(shù)的周期性；奇偶函數(shù)圖象的對稱性．B4【答案解析】解析：解：∵∴∴原函數(shù)的周期T=2又∵是偶函數(shù)，∴.又∵x∈[0，1]時，，函數(shù)的周期為2，∴原函數(shù)的對稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）．方程

根的個數(shù)，即為函數(shù)y1=f（x）的圖象（藍色部分）與的圖象（紅色部分）交點的個數(shù)．由以上條件，可畫出y1=f（x），的圖象：又因為當x=1時，y1＞y2，∴在（0，1）內(nèi)有一個交點．∴結(jié)合圖象可知，在[0，4]上y1=f（x），共有4個交點．∴在[0，4]上，原方程有4個根．

故選D．【思路點撥】根據(jù)已知條件推導(dǎo)函數(shù)f（x）的周期，再利用函數(shù)與方程思想把問題轉(zhuǎn)化，畫出函數(shù)的圖象，即可求解．10.已知一個棱長為2的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是A．8

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),求點（）落在∈[1，2]區(qū)域內(nèi)的概率是

．參考答案：12.空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴重污染．一環(huán)保人士當?shù)啬衬甑腁QI記錄數(shù)據(jù)中，隨機抽取10個，用莖葉圖記錄如圖．根據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計此地該年AQI大于100的天數(shù)約為為

．（該年為365天）參考答案：146【考點】莖葉圖．【分析】根據(jù)該樣本中AQI大于100的頻數(shù)求出頻率，由此估計該地全年AQI大于100的頻率與頻數(shù)．【解答】解：該樣本中AQI大于100的頻數(shù)是4，頻率為，由此估計該地全年AQI大于100的頻率為，估計此地該年AQI大于100的天數(shù)約為365×=146（天）．故答案為：146．13.若（2x﹣）n的展開式中所有二項式系數(shù)和為64，則n=；展開式中的常數(shù)項是

．參考答案：6；240【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值，再利用二項展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項．【解答】解：∵（2x﹣）n的展開式中所有二項式系數(shù)和為2n=64，則n=6；根據(jù)（2x﹣）n=（2x﹣）6的展開式的通項公式為Tr+1=?（﹣1）r?（2x）6﹣r?x﹣2r=?（﹣1）r?26﹣r?x6﹣3r，令6﹣3r=0，求得r=2，可得展開式中的常數(shù)項是?24=240，故答案為：6；240．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14.若x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為__________．參考答案：9作可行域，則直線z=x+y過點A(5,4)時取最大值9.

15.已知雙曲線的漸近線方程是，那么此雙曲線的離心率為

.參考答案：16.如圖，在四邊形中，，為的中點，且，則

.

參考答案：略17.已知函數(shù)f（x）＝則f（2＋log23）的值為_____.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是邊長為2的等邊三角形，PC=，M在PC上，且PA∥面MBD．（1）求證：M是PC的中點；（2）求多面體PABMD的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）連AC交BD于E，連ME．推導(dǎo)出PA∥ME，由此能證明M是PC的中點．（2）取AD中點O，連OC．則PO⊥AD，從而PO⊥面ABCD，由此能求出多面體PABMD的體積．【解答】證明：（1）連AC交BD于E，連ME．∵ABCD是矩形，∴E是AC中點．又PA∥面MBD，且ME是面PAC與面MDB的交線，∴PA∥ME，∴M是PC的中點．解：（2）取AD中點O，連OC．則PO⊥AD，由平面PAD⊥底面ABCD，得PO⊥面ABCD，∴，∴，∴，∴．19.（12分）設(shè)函數(shù).

(1)判斷函數(shù)奇偶性；（2）證明：的導(dǎo)數(shù)；

(3)求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值(結(jié)果用分式表示).參考答案：解析:（1）∵,,∴函數(shù)的定義域為實數(shù)R.

……1分又∵∴函數(shù)為奇函數(shù).

……4分（2）的導(dǎo)數(shù)．

……6分由于，故．（當且僅當時，等號成立）．

……8分(3)由（2）可知函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上也單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得最大值，最大值為……10分在處取得最大值，最大值為

……12分

20.（本小題滿分12分

）甲將經(jīng)營的某淘寶店以57.2萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)讓給了尚有40萬元無息貸款沒有償還的乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，逐步償還轉(zhuǎn)讓費（不計息），直到還清.已知：①這種消費品的進價每件14元；②該店月銷量Q（百件）與銷售單價P（元/件）的關(guān)系如圖所示的折線段；③該店每月需各種開支2000元.（I）寫出月銷量Q（百件）與銷售單價P（元/件）的關(guān)系，并求該店的月利潤L（元）關(guān)于銷售單價P（元/件）的函數(shù)關(guān)系式（該店的月利潤=月銷售利潤－該店每月支出，不包括轉(zhuǎn)讓費及貸款）；（II）當商品的價格為每件多少元時，該店的利潤最大？并求該店的月利潤的最大值；（III）若乙只依靠該店，最早可望在多少年后無債務(wù)？參考答案：（1） …………2分因此， …………4分即（略）.

（2）當； 當 因為元時，月利潤最大，為4050元.

…………8分

（3）設(shè)可在n年后脫貧（元債務(wù)），依題意有解得，即最早在20年后無債務(wù).

…………12分21.（理科加試）在極坐標系中，P是曲線ρ=12sinθ上的動點，Q是曲線上的動點，試求PQ的最大值．參考答案：考點：簡單曲線的極坐標方程．專題：計算題．分析：將ρ=12sinθ兩邊同乘以ρ后化成直角坐標方程，再將原極坐標方程中的三角函數(shù)利用差角公式展開后，兩邊同乘以ρ后化成直角坐標方程，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換，最后利用直角坐標方程進行求解．解答： 解：∵ρ=12sinθ∴ρ2=12ρsinθ∴x2+y2﹣12y=0即x2+（y﹣6）2=36又∵∴∴x2+y2﹣6x﹣6y=0∴∴PQmax=．點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即得．屬于基礎(chǔ)題．22.為了解某市的交通狀況，現(xiàn)對其6條道路進行評估，得分分別為：5,6,7,8,9,10.規(guī)定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表：評估的平均得分全市的總體交通狀況等級不合格合格優(yōu)秀

（Ⅰ）求本次評估的平均得分，并參照上表估計該市的總體交通狀況等級；（Ⅱ）用簡單隨機抽樣方法從這條道路中抽取條，它們的得分組成一個樣本，求該樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對值不超過的概率.參考答案：（Ⅰ）6條道路的平均得分為.-----------------3分

∴該市的總體交通狀況等級為合格.

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