2022年北京通州區(qū)第二中學高三數(shù)學理期末試題含解析

2022年北京通州區(qū)第二中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知 （

） A．

B．－ C． D．－參考答案：B略2.已知,為平面向量,若與的夾角為,與的夾角為,則A.

B.

C.

D.參考答案：C3.函數(shù)在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D4.已知，，，則（

）A． B．

C．

D．參考答案：B5.若橢圓和雙曲線具有相同的焦點，離心率分別為，是兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（

）A.4

B.2

C.1

D.參考答案：B6.“對任意的實數(shù)x，不等式均成立”的充要條件是（

）Ａ．a(chǎn)>1

B．a(chǎn)≥1

C.a<1

D.a≤1

參考答案：A7.已知f(x)＝則下列函數(shù)的圖象錯誤的是()．

參考答案：D8.給出計算的值的一個程序框圖如圖，其中判斷框內(nèi)應填入的條件是（）A．i＞10B．i＜10C．i＞20D．i＜20參考答案：A考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)．專題：壓軸題；圖表型．分析：結(jié)合框圖得到i表示的實際意義，要求出所需要的和，只要循環(huán)10次即可，得到輸出結(jié)果時“i”的值，得到判斷框中的條件．解答：解：根據(jù)框圖，i﹣1表示加的項數(shù)當加到時，總共經(jīng)過了10次運算，則不能超過10次，i﹣1=10執(zhí)行“是”所以判斷框中的條件是“i＞10”故選A點評：本題考查求程序框圖中循環(huán)結(jié)構(gòu)中的判斷框中的條件：關鍵是判斷出有關字母的實際意義，要達到目的，需要對字母有什么限制．9.某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價x（單位：元）與每天的銷售量y（單位：個）的統(tǒng)計資料如下表所示：由上表可得回歸直線方程中的，據(jù)此模型預測零售價為15元時，每天的銷售量為A．51個

B．50個

C．49個

D．48個參考答案：C【知識點】變量的相關性與統(tǒng)計案例

I4解析：由題意知，代入回歸直線方程得，故選【思路點撥】由題意求出x的平均值再根據(jù)公式求出y的平均值，代入回歸方程可直接求出結(jié)果.10.劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最小值是_________________。參考答案：12.若存在實數(shù)滿足，則實數(shù)a的取值范圍是_____________.參考答案：13.設集合，，則

▲

（用集合表示）參考答案：略14.已知向量，的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影是________．參考答案：015.△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c.D是BC邊的中點，且，，，則△ABC面積為

．參考答案：16.已知點P（x，y）的坐標x，y滿足，則x2+y2﹣4x的最大值是

．參考答案：12考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值Z=x2+y2﹣4x的最大表示動點到定點（2，0）點的距離的平方有關，只需求出可行域內(nèi)的動點到該點的距離最大值即可．解答： 解：作出可行域，如圖：令z=x2+y2﹣4x=（x﹣2）2+y2﹣4，∵（x﹣2）2+y2所表示的幾何意義是動點到定點（2，0）的距離的平方，作出可行域：易知當為A點時取得目標函數(shù)的最大值，可知A點的坐標為（﹣2，0），代入目標函數(shù)中，可得zmax=12．故答案為：12．點評：本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標函數(shù)的最值，而是求可行域內(nèi)的點與原點之間的距離問題．17.cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于

．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】計算題．【分析】觀察題目中兩角75°和15°的互余關系，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式化簡前二項，反用二倍角公式化簡后一項即可．【解答】解：∵cos275°+cos215°=cos275°+sin275°=1，且cos75°cos15°=cos75°sin75°=sin150°=，∴cos275°+cos215°+cos75°cos15°=．故填：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的誘導公式，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)的圖象是由圖象經(jīng)過如下三個步驟變化得到的：①將的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的；②將①中圖象整體向左平移個單位；③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．（I）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（II）若，求的值．參考答案：解：（I）變換①得到函數(shù)圖象，

變換②得到函數(shù)圖象，

變換③得到函數(shù)圖象，

由，得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；

（II），

∵，∴，∴．

略19.（15分）已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）對于給定的閉區(qū)間，試證明在（0,1）上必存在實數(shù)，使時，在上是增函數(shù)；（3）當時，記，若對于任意的總存在時，使得成立，求的最小值.參考答案：解析:（1）解：……………2分

當

當

……………5分（2）證明：，對于給定的閉區(qū)間，因為上連續(xù)，故在上有最小值，設其為于是當時，上恒成立，即上是增函數(shù)………9分（3）由得,“若對于任意的總存在時，使得成立”等價于.下面求的最大值.當即令

……15分20.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的方程為，直線l的方程為（t為參數(shù)），直線l與曲線C的公共點為T．（Ⅰ）求點T的極坐標；（Ⅱ）過點T作直線，被曲線C截得的線段長為2，求直線的極坐標方程．參考答案：（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為．

………..2分將代入上式并整理得．解得．∴點的坐標為．

………..4分其極坐標為

………5分（Ⅱ）設直線的方程為．………..7分由（Ⅰ）得曲線是以為圓心的圓，且圓心到直線的距離為．則，．解得，或．直線的方程為，或．

………..9分其極坐標方程為．…………10分

21.（本小題滿分12分）如圖，是半徑為2，圓心角為的扇形，是扇形弧上的一動點.記，四邊形的面積為.（1）找出與的函數(shù)關系；（2）試探求當取何值時，最大，并求出這個最大值.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）當且僅當，即時，最大，且最大值為2.試題分析：（Ⅰ）由四邊形的面積等于三角形的面積之和即可得出與的函數(shù)關系；（Ⅱ）由（1）知，，然后運用兩角差的正弦公式即可得出，最后由正弦函數(shù)的圖像及其性質(zhì)即可得出取得最大值時的取值.考點：1、三角恒等變換；2、三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì).【思路點睛】本題主要考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，滲透著轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬中檔題.其解題的一般思路為：首先根據(jù)已知條件將四邊形的面積劃分為三角形的面積之和，進而得出與的函數(shù)關系；然后運用三角恒等變換和輔助角公式對其進行求解即可.22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，，，，.(1)求二面角的余弦值；(2)若點E在棱PA上，且平面PCD，求線段BE的長.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）推導出，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（2）由點在上，得，，求出，再由平面，可得，求出，得到的坐標，則答案