2022年度江蘇省常州市市第二高級中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

2022年度江蘇省常州市市第二高級中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則（

）A．1

B.

C.

D.參考答案：B略2.已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的值不可能是A.

B.

C.

D.參考答案：D3.設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），且滿足+x＜1，下面不等式正確的是(

)A．f（x2）＜f（x﹣1） B．（x﹣1）f（x）＜xf（x+1） C．f（x）＞x﹣1 D．f（x）＜0參考答案：D【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x﹣1）f（x），得到g（x）在R上單調(diào)遞減，根據(jù)g（1）=0，得到x＞1時：f（x）＜0，從而求出答案．【解答】解：∵f（x）定義在R上的增函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），∴f′（x）＞0，∵+x＜1，∴（x﹣1）f′（x）+f（x）＜0，設(shè)g（x）=（x﹣1）f（x），∴g′（x）=（x﹣1）f′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在R上單調(diào)遞減，∵g（1）=0，∴當x＞1時：g（x）=（x﹣1）f（x）＜g（1）=0，∴x＞1時：f（x）＜0，又f（x）是定義在R上的增函數(shù)，∴當x≤1時：必有f（x）＜0，綜上可知f（x）＜0，x∈R，故選：D．【點評】本題考查了導數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x﹣1）f（x），根據(jù)x＞1時得到f（x）＜0是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．4.已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關(guān)鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．5.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又是區(qū)間[－1，0]上的減函數(shù)的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D6.已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(?UB)等于()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1}

D．{x|－1≤x≤3}參考答案：D略7.若，，則的最小值為A．

B．

C．

D．7參考答案：D8.(2)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=y－2x的最小值為 (A)－7 (B)－4 (C)1 (D)2參考答案：A9.動點在圓上運動，它與定點B（3,0）連線的中點的軌跡方程式（

）ABCD參考答案：C10.已知sin（﹣α）﹣cosα=，則cos（2α+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：C【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】由條件利用兩角和差的正弦公式求得sin（α+）=﹣，再利用二倍角的余弦公式求得cos（2α+）的值．【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，則cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，AB是半圓O的直徑，P在AB的延長線上，PD與半圓O相切于點C，ADPD.若PC=4，PB=2，則CD=____________.參考答案：12.已知向量，滿足?=0，||=1．||=2，則|+|=．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】利用向量數(shù)量積運算性質(zhì)即可得答案．【解答】解：∵?=0，||=1．||=2，∴=1+4=5．∴|+|=．故答案為：．【點評】本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13.設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：∪[3，+∞）

【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】令y=3x﹣a=0，則x=log3a，令y=π（x﹣3a）（x﹣2a）=0，則x=2a，或x=3a，根據(jù)f（x）恰有2個零點，分類討論滿足條件的a值，可得答案．【解答】解：令y=3x﹣a=0，則x=log3a，令y=π（x﹣3a）（x﹣2a）=0，則x=2a，或x=3a，若a≤0時，則x=log3a無意義，此時函數(shù)無零點；若0＜a＜3，則x=log3a＜1必為函數(shù)的零點，此時若f（x）恰有2個零點，則，解得：a∈，若a≥3，則x=log3a≥1必不為函數(shù)的零點，2a≥1，3a≥1必為函數(shù)的零點，此時a∈[3，+∞），綜上可得實數(shù)a的取值范圍是：∪[3，+∞），故答案為：∪[3，+∞）14.在的展開式中，常數(shù)項為

．參考答案：﹣5【考點】二項式定理的應(yīng)用．【分析】的展開式中的通項公式：Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．的通項公式：Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．進而得出．【解答】解：的展開式中的通項公式：Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．∵的通項公式：Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．∴常數(shù)項=1﹣×+×1=﹣5．故答案為：﹣5．15.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？答曰：二千一百一十二尺．術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方×高），則由此可推得圓周率π的取值為

▲

.參考答案：3由題意圓柱體的體積（底面圓的周長的平方高），解得

16.已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為

。參考答案：5解析：設(shè)圓心到的距離分別為,則.四邊形的面積17.△ABC為等腰直角三角形，是△ABC內(nèi)的一點，且滿足，則的最小值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的短軸長為，離心率為，點，是上的動點，為的左焦點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點在軸的右側(cè)，以為底邊的等腰的頂點在軸上，求四邊形面積的最小值.參考答案：（Ⅰ）依題意得解得∴橢圓的方程是（Ⅱ）設(shè)設(shè)線段中點為∵∴中點，直線斜率為由是以為底邊的等腰三角形∴∴直線的垂直平分線方程為令得∵∴由∴四邊形面積當且僅當即時等號成立，四邊形面積的最小值為.19.設(shè)函數(shù)的圖象與直線相切于點，且點的橫坐標為．(I)求，的值；(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每個區(qū)間上的增減性．參考答案：解析：（Ⅰ）………3分由于的圖象與直線相切于點，點的橫坐標為，則．所以

………7分即解得，．………8分

（Ⅱ）由，，得，定義域為，令，解得或；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

令，解得．故函數(shù)在區(qū)間上分別單調(diào)遞增，在區(qū)間

上單調(diào)遞減．………14分20.如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點為，且平面.（I）證明：（II）若,求三棱柱的高.參考答案：（I）連結(jié)，則O為與的交點，因為側(cè)面為菱形，所以?，又平面，故?平面，由于平面，故

………6分（II）作OD⊥BC,垂足為D,連結(jié)AD,作OH⊥AD,垂足為H,由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以O(shè)H⊥BC.又OH⊥AD,所以O(shè)H⊥平面ABC.因為,所以△為等邊三角形,又BC=1,可得OD=，由于，所以，由OH·AD=OD·OA,且，得OH=又O為B1C的中點,所以點B1到平面ABC的距離為,故三棱柱ABC-A1B1C1的高為……….12分21.（本小題滿分12分）一個盒子中裝有5張卡片，每張卡片上寫有一個數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、4、5，現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片。(1)從盒中依次抽取兩次卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，求兩次取到的卡片的數(shù)字既不全是奇數(shù)，也不全是偶數(shù)的概率；(2)若從盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一張，求恰有兩次取到卡片的數(shù)字為偶數(shù)的概率；(3)從盒子中依次抽取卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，當抽到記有奇數(shù)的卡片即停止抽取，否則繼續(xù)抽取卡片，求抽取次數(shù)X的分布列和期望。參考答案：解：（Ⅰ）因為1,3,5是奇數(shù)，2、4是偶數(shù)，設(shè)事件A為“兩次取到的卡片的數(shù)字既不全是奇數(shù)，也不全是偶數(shù)”

-----------------------------------4分（Ⅱ）設(shè)表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一張，恰有兩次取到的卡片上數(shù)字為偶數(shù)”，由已知，每次取到的卡片上數(shù)字為偶數(shù)的概率為，

-----------------6分則．

---------------------------------8分（Ⅲ）依題意，的可能取值為．，，

，

所以的分布列為

．

------------12分

22.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（，1），且離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)M、N是橢圓C上的點，直線OM與ON（O為坐標原點）的斜率之積為﹣，若動點P滿足=+2，試探究，是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由橢圓經(jīng)過點（，1），且離心率為，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，由M，N都在橢圓=1上，設(shè)=﹣，得到點P是橢圓上的點，由此能求出F1，F(xiàn)2的坐標．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（，1），且離心率為，∴，解得a=2，b=，∴橢圓