2022湖南省永州市肖家村鎮(zhèn)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022湖南省永州市肖家村鎮(zhèn)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，，均為單位向量，且?=﹣，=x+y（x，y∈R），則x+y的最大值是（）A．2 B． C． D．1參考答案：A【考點】平面向量的綜合題；平面向量的基本定理及其意義．【分析】由題設(shè)知==x2+y2﹣xy=1，設(shè)x+y=t，y=t﹣x，得3x2﹣3tx+t2﹣1=0，由方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，知△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，由此能求出x+y的最大值．【解答】解：∵，，均為單位向量，且?=﹣，=x+y（x，y∈R），∴==x2+y2﹣xy=1，設(shè)x+y=t，y=t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1=0，∴3x2﹣3tx+t2﹣1=0，∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，∴△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，﹣3t2+12≥0，∴﹣2≤t≤2∴x+y的最大值為2．故選A．2.已知函數(shù)，則（

）A．1

B．－1

C．2019

D．參考答案：D解：函數(shù)，，．故選：D．

3.設(shè)集合，則

A.{0，1}

B.{-1，0，1}

C.{0，1，2}

D.{-1，0，1，2}參考答案：A因為，，所以，選A.4.已知函數(shù)f（x）=logax（0＜a＜1）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），A=f′（a），b=f（a+1）﹣f（a），C=f′（a+1），D=f（a+2）﹣f（a+1），則A，B，C，D中最大的數(shù)是(

) A．A B．B C．C D．D參考答案：A考點：導(dǎo)數(shù)的運算．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：設(shè)利用導(dǎo)數(shù)及直線斜率的求法得到A、B、C，D分別為對數(shù)函數(shù)的斜率，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可知大小，得到正確答案．解答： 解：函數(shù)f（x）=logax（0＜a＜1）是可導(dǎo)函數(shù)且為單調(diào)遞減函數(shù)，∵A，C分別表示函數(shù)在點a，a+1處切線的斜率，，，故B，D分別表示函數(shù)圖象上兩點（a，f（a）），（a+1，f（a+1））和兩點（a+1，f（a+1）），（a+2，f（a+2））連線的斜率，由函數(shù)圖象可知一定有A＞B＞C＞D，四個數(shù)中最大的是D，故選A．點評：本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點切線的斜率，掌握直線斜率的求法，是一道中檔題．5.若正數(shù)x、y滿足，則的最小值為A．2

B．3

C．4

D．6參考答案：答案:D6.已知集合，集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.今有甲、乙、丙、丁四人通過“拔河”進行“體力”較量。當(dāng)甲、乙兩人為一方，丙、丁兩人為另一方時，雙方勢均力敵；當(dāng)甲與丙對調(diào)以后，甲、丁一方輕而易舉地戰(zhàn)勝了乙、丙一方；而乙憑其一人之力便戰(zhàn)勝了甲、丙兩人的組合。那么，甲、乙、丙、丁四人的“體力”由強到弱的順序是A．丁、乙、甲、丙

B．乙、丁、甲、丙C．丁、乙、丙、甲

D．乙、丁、丙、甲參考答案：A8.設(shè)函數(shù)，g(x)=+b+c,如果函數(shù)g(x)有5個不同的零點,則(

)

A.b＜-2且c＞0

B.b＞-2且c＜0

C.b＜-2且c=0

D.b≥-2且c＞0參考答案：C9.函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)區(qū)間進行判斷．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x）．∴f（x）是奇函數(shù)，即f（x）圖象關(guān)于原點對稱．排除C，D．當(dāng)x∈（0，π）時，sinx＞0，∴f（x）＞0，排除B．故選：A．【點評】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，需要從奇偶性，特殊值，函數(shù)符號等處進行判斷．10.已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)點P，Q滿足，，，若，，則=(

)A. B. C. D.參考答案：A試題分析：∵，，∴，∴.考點：向量的運算.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執(zhí)行下面的程序框圖3，若p＝0.8，則輸出的n＝.參考答案：412.已知，且，則的最大值為

.參考答案：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為。13.已知角的終邊上一點的坐標(biāo)為，則角的最小正值為___________．參考答案：14.已知sinx=x﹣+…，由sinx=0有無窮多個根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：，把這個式子的右邊展開，發(fā)現(xiàn)﹣x3的系統(tǒng)為，即，請由cosx=1﹣+…出現(xiàn)，類比上述思路與方法，可寫出類似的一個結(jié)論．參考答案：++…=【考點】類比推理．【分析】直接利用類比推理，即可得出結(jié)論．【解答】解：由cosx=0有無窮多個根：±π，±π，…，可得：cosx=（1﹣）（1﹣）…，把這個式子的右邊展開，發(fā)現(xiàn)x2的系數(shù)為++…=，即++…=．故答案為++…=．15.已知函數(shù)y=f（x）的圖象在點M（3，f（3））處的切線方程是y=x+，則f（3）+f′（3）的值為

．參考答案：2【考點】導(dǎo)數(shù)的運算；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】先將x=3代入切線方程可求出f（3），再由切點處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率可求出f'（3）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切點在切線上，所以f（3）=×3+=，切點處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率，所以f'（3）=，所以f（3）+f′（3）==2故答案為：2．【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于以該點為切點的切線的斜率．16.中,,是的中點,若,則___．_____.參考答案：略17.已知點F為橢圓的左焦點，直線與C相交于M，N兩點（其中M在第一象限），若，，則C的離心率的最大值是____．參考答案：【分析】設(shè)右焦點為,連接,由橢圓對稱性得四邊形為矩形，結(jié)合橢圓定義及勾股定理得a,c不等式求解即可【詳解】設(shè)右焦點為,連接,由橢圓對稱性知四邊形為平行四邊形，又=2c=，故為矩形，=，，即,∴又,故0<e≤故答案為【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓定義的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸思想，利用定義轉(zhuǎn)化為矩形是關(guān)鍵，是中檔題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A（），且點F（，0）為其右焦點.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l與橢圓C交于B，D兩點，滿足，且原點到直線l的距離為？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案：（1）設(shè)橢圓C的方程為，則左焦點為，在直角三角形中，可求，∴，故橢圓C的方程為．（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為，由原點到l的距離為得：．

聯(lián)立方程，得．則，，．

設(shè)，，則，解得．

當(dāng)斜率不存在時，l的方程為，易求得．綜上，不存在符合條件的直線．

19.（13分）誠信是立身之本，道德之基，某校學(xué)生會創(chuàng)設(shè)了“誠信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進誠信教育，并用“”表示每周“水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個周期）的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計：

第一周第二周第三周第四周第一個周期95%98%92%88%第二個周期94%94%83%80%第三個周期85%92%95%96%（1）計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)；（2）分別從表中每個周期的4個數(shù)據(jù)中隨機抽取1個數(shù)據(jù)，設(shè)隨機變量X表示取出的3個數(shù)據(jù)中“水站誠信度”超過91%的數(shù)據(jù)的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和期望；（3）已知學(xué)生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）利用平均數(shù)公式能求出表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)．（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（3）兩次活動效果均好，活動舉辦后，“水站誠信度”由88%→94%和80%到85%看出，后繼一周都有提升．【解答】解：（1）表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)：=×=91%．（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列為：X0123PEX==2．（3）兩次活動效果均好．理由：活動舉辦后，“水站誠信度”由88%→94%和80%到85%看出，后繼一周都有提升．【點評】本題考查平均數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．20.已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1＝，屬于特征值1的一個特征向量為α2＝．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．參考答案：解：由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1＝可得，＝6，即c＋d＝6；由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α2＝，可得＝，即3c－2d＝－2，解得即A＝，A的逆矩陣是．略21.（本小題滿分12分）某班同學(xué)利用寒假在三個小區(qū)進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，這兩族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例如下：

（1）從三個社區(qū)中各選一人，求恰好有2人是低碳族的概率；（2）在B小區(qū)中隨機選擇20戶，從中抽取的3戶中“非低碳族”數(shù)量為X，求X的分布列和期望EX.參考答案：解：（1）記這3人中恰好有2人是低碳族