生活中的優(yōu)化問題舉例同步課時(shí)訓(xùn)練-高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2

1.4生活中的優(yōu)化問題舉例--高二數(shù)學(xué)人教A版2-2同步課時(shí)訓(xùn)練1.近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬元.由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P(單位：萬元與投入a(單位：萬元滿足，乙城市收益Q(單位：萬元與投入A(單位：萬元滿足，則投資這兩座城市收益的最大值為()A.26萬元 B.44萬元 C.48萬元 D.72萬元2.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬：將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑，已知三棱錐為鱉臑，且內(nèi)接于球O，球O的半徑，三棱錐的底面ABC為等腰直角三角形，平面ABC，則三棱錐的體積V的最大值為()A. B. C. D.3.某生產(chǎn)廠家的年利潤y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則該生產(chǎn)廠家獲取的最大年利潤為()A.300萬元 B.252萬元 C.200萬元 D.128萬元4.某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.已知銷售額函數(shù)是（x是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，a是常數(shù)），若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕()A.6萬斤 B.8萬斤 C.3萬斤 D.5萬斤5.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()A.13萬件 B.11萬件 C.9萬件 D.7萬件6.某廠生產(chǎn)x萬件某產(chǎn)品的總成本為C（x）萬元，且.已知產(chǎn)品單價(jià)（單位：元）的平方與x成反比，且生產(chǎn)100萬件這樣的產(chǎn)品時(shí)，單價(jià)為50元，則為使總利潤y（單位：萬元）最大，產(chǎn)量應(yīng)定為()A.23萬件 B.25萬件 C.50萬件 D.75萬件7.一家報(bào)刊銷售點(diǎn)從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份2元，賣出的價(jià)格是每份3元，賣不完的還可以以每份0.8元的價(jià)格退回報(bào)社.在一個(gè)月（以30天計(jì)算）內(nèi)有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，且每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同，要使銷售點(diǎn)每月所獲得的利潤最大，則每天應(yīng)該從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙()

A.215份 B.350份 C.400份 D.520份8.在外接球半徑為4的正三棱錐中，體積最大的正三棱錐的高等于()A. B. C. D.9.內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()A.R B.2R C. D.10.用長為30cm的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架（即12條棱長的總和為30cm），要求長方體的長與寬之比為，則該長方體的最大體積是()A.24 B.15 C.12 D.611.某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)與倉庫到車站的距離成正比.如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項(xiàng)費(fèi)用和分別為2萬元和8萬元,那么,要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站___________千米處.12.日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用也不斷增加.已知1t水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為，那么凈化到純凈度為90%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是___________元/t.13.已知正四棱錐內(nèi)接于半徑為1的球，則當(dāng)此正四棱錐的體積最大時(shí)，其高為________________.14.某小型玩具廠研發(fā)生產(chǎn)一種新型玩具，年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入3萬元，設(shè)該廠年內(nèi)共生產(chǎn)該新型玩具x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且滿足函數(shù)關(guān)系.

（1）寫出年利潤萬元關(guān)于該新型玩具年產(chǎn)量x千件的函數(shù)解析式.

（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在此新型玩具的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大利潤為多少？15.某知名保健品企業(yè)新研發(fā)了一種健康飲品.已知每天生產(chǎn)該種飲品不超過40千瓶，不低于1千瓶，經(jīng)檢測，在生產(chǎn)過程中該飲品的正品率P與日產(chǎn)量x（，單位：千瓶）間的關(guān)系為，每生產(chǎn)一瓶正品盈利4元，每出現(xiàn)一瓶次品虧損2元.（注：正品率=飲品的正品瓶數(shù)÷飲品總瓶數(shù)×100%）（1）將日利潤y（單位：元）表示成日產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）求該種飲品的最大日利潤.

答案以及解析1.答案：B解析：由題意可知：，設(shè)投資這兩座城市收益為y，則有，令，則有，該二次函數(shù)的對稱軸為，且開口向下，所以，故選：B2.答案：B解析：由題意，可將三棱錐還原為如圖所示的長方體，則長方體對角線，即為球O的直徑.不妨設(shè)，則，，，.令，.，y在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，三棱錐體積的最大值為，故選B.3.答案：C解析：由題意，函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，y有最大值，此時(shí)最大年利潤為200萬元.4.答案：A解析：設(shè)銷售的利潤為，則，即，當(dāng)時(shí)，，解得，故，則，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，利潤最大.5.答案：C解析：令導(dǎo)數(shù)，解得；令導(dǎo)數(shù)，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在處取得極大值，也是最大值，故選C.6.答案：B解析：設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元，，則，，，即，總利潤，，令，得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)產(chǎn)量定為25萬件時(shí)，總利潤最大.7.答案：C解析：設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)份報(bào)紙，每月所獲利潤為y元，具體情況如表.數(shù)量/份單價(jià)/元金額/元買進(jìn)2賣出3退回0.8由表可得.

因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，y取得最大值8700，即每天從報(bào)社買進(jìn)400份報(bào)紙時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤為8700元.故選C.8.答案：D解析：如圖，設(shè)正三棱錐的外接球的球心為O，連接AO并延長交底面BCD于E，則平面BCD，連接DE并延長交BC于F，則.設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，高為h，由題易得，則在直角三角形OED中，，即，整理得，，，.又∵正三棱錐的體積，，令，解得或（舍去），∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，V取得最大值.9.答案：C解析：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，體積為V，則，所以，所以，，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，圓錐體積最大.10.答案：B解析：設(shè)該長方體的寬是xm，則由題意知，其長是，高是，其中，則該長方體的體積，，由，得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即體積函數(shù)在處取得極大值，也是函數(shù)在定義域上的最大值，所以該長方體體積的最大值是15.11.答案：5解析：依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi),每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi),其中是倉庫到車站的距離.于是,由,得;由,得.因此兩項(xiàng)費(fèi)用之和為..令,得(舍去),且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時(shí),兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小.12.答案：40.15解析：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以凈化到純凈度?0%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是40.15元/t.13.答案：解析：由球的幾何性質(zhì)可設(shè)四棱錐的高為h，從而，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即體積最大.14.答案：(1).(2)當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該廠在此新型玩具的生產(chǎn)中所獲年利潤最大且最大利潤為38.6萬元.解析：(1)依題意，.

(2)由(1)得，令，得(舍去).

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，有.

即當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該廠在此新型玩具的生產(chǎn)中所獲年利潤最大且最大