2022年湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)縣第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)縣第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積（）A． B．1 C． D．2（1+）參考答案：A【考點(diǎn)】LD：斜二測(cè)法畫(huà)直觀圖．【分析】由題意求出直觀圖中OB的長(zhǎng)度，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，求出原圖形平行四邊形的高，即可求出原圖形的面積．【解答】解：由題意正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，所以O(shè)B=，對(duì)應(yīng)原圖形平行四邊形的高為：2，所以原圖形的面積為：1×2=2．故選A．2.已知，，若，那么與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是（

）參考答案：C3.下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是

（

）A.

B.

C.D.參考答案：D相等函數(shù)判斷要（1）定義域相同，（2）解析式相同。A、B、C都是定義域不同，D是相等函數(shù)，故選D。

4.已知向量=（2sinx，sinx），=（sinx，2cosx），函數(shù)f（x）=2?，若不等式f（x）≤m在[0，]上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值為（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的范圍，可得m的最小值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=2?=4sin2x+4sinxcosx=2﹣2cos2x+2sin2x=4sin（2x﹣）+2，在[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，∴4sin（2x﹣）∈[﹣2，4]，∴f（x）∈[0，6]．若不等式f（x）≤m在[0，]上有解，則m≥0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的能成立問(wèn)題，屬于中檔題．5.

的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.函數(shù)（其中，）的圖象如圖所示，為了得到圖象，則只需將的圖象

（

）

A.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位

B.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位C.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位

D.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：B略7.為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下：則，對(duì)x的線性回歸方程為(

)A.y=x-l

B.y=x+lC.

.

D.y=176參考答案：C8.集合則以下正確的是（

）

參考答案：D略9.在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對(duì)邊，且acosA=bcosB，則三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形參考答案：C【考點(diǎn)】GZ：三角形的形狀判斷．【分析】由條件利用正弦定理可得sin2A=sin2B，化簡(jiǎn)可得A=B，或A+B=，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，從而得出結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A+2B=π．∴A=B，或A+B=，即C=．故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故選C．10.若函數(shù)f(x)=x3－6bx+3b在(0，1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

（

）

A．(0，1)

B．(－∞，1)

C．(0，+∞)

D．(0，0.5)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某幾何體的三視圖及相應(yīng)尺寸（單位：）如圖所示，幾何體的體積為

，外接球的表面積是____________．參考答案：12.已知函數(shù)y=lg（﹣1）的定義域?yàn)锳，若對(duì)任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．參考答案：（0，）考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：運(yùn)用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，可得A=（0，1），對(duì)已知不等式兩邊除以x，運(yùn)用參數(shù)分離和乘1法，結(jié)合基本不等式可得不等式右邊+的最小值，再解m的不等式即可得到m的范圍．解答：解：由函數(shù)y=lg（﹣1）可得，﹣1＞0，解得0＜x＜1，即有A=（0，1），對(duì)任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，即有﹣m2﹣2m＞﹣，整理可得m2+2m＜+在（0，1）恒成立，由+=（+）（1﹣x+x）=+2++≥+2=．即有m2+2m＜，由于m＞0，解得0＜m＜，故答案為：（0，）．點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題13.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則

▲

；參考答案：14.一條弦的長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是

．參考答案：

15.函數(shù)的定義域是__________參考答案：略16.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=

。

參考答案：－1∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴對(duì)于定義域內(nèi)任意均有，∴，即，∴，故答案為－1.

17..如圖在△ABC中，已知，，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，，其中，且，若線段EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為_(kāi)___．參考答案：【分析】連接，由向量的數(shù)量積公式求出，利用三角形中線的性質(zhì)得出，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的加減的幾何意義得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得最小值.【詳解】連接，在等腰三角形中，，所以,因?yàn)槭侨切蔚闹芯€，所以，同理可得，由此可得，兩邊平方并化簡(jiǎn)得,由于，可得，代入上式并化簡(jiǎn)得，由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查二次函數(shù)最值的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析與解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)．（1）求證：平面BDE⊥平面PAC；（2）當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐P-BDE的體積．參考答案：（1）見(jiàn)證明；（2）【分析】（1）利用線面垂直判定定理得平面，可得；根據(jù)等腰三角形三線合一得，利用線面垂直判定定理和面面垂直判定定理可證得結(jié)論；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理可得，可知為中點(diǎn)，利用體積橋可知，利用三棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：，

平面又平面

，為線段的中點(diǎn)

平面

平面平面平面（2）平面，平面平面為中點(diǎn)

為中點(diǎn)三棱錐的體積為【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明、三棱錐體積的求解，涉及到線面垂直的判定和性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理、棱錐體積公式、體積橋方法的應(yīng)用，屬于?？碱}型.19.從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表，求：（1）甲被選中的概率；（2）丁沒(méi)被選中的概率.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定甲被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率（2）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定丁沒(méi)被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.【詳解】（1）從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6種基本事件，其中甲被選中包括甲乙，甲丙，甲丁三種基本事件，所以甲被選中的概率為.（2）丁沒(méi)被選中包括甲乙，甲丙，乙丙三種基本事件，所以丁沒(méi)被選中的概率為.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.20.（12分）用“五點(diǎn)法”作y=f（x）=sin（2x+）在區(qū)間的圖象，并敘述如何由y=f（x）變換得到y(tǒng)=sinx．參考答案：考點(diǎn)： 五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 分別令2x+=0、、π、、2π，可得x=﹣、、、、，由此得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)圖象上的關(guān)鍵的點(diǎn)，描出這五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)再連成平滑的曲線，即可得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．最后由函數(shù)圖象平移、伸縮的公式加以計(jì)算，可得由f（x）=sin（2x+）的圖象變換到y(tǒng)=sinx的方法．解答： 列出如下表格：2x+0π2πx﹣y020﹣20在直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)（﹣，0），（，1），（，0），（，﹣1），（，0）．連成平滑的曲線如圖所示，即為函數(shù)f（x）=sin（2x+）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，將f（x）=sin（2x+）的圖象先向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得函數(shù)y=sinx的圖象．點(diǎn)評(píng)： 本題給出正弦型三角函數(shù)，求它的單調(diào)區(qū)間并作出一個(gè)周期內(nèi)的圖象，著重考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象作法與函數(shù)圖象的變換公式等知識(shí)，屬于中檔題．21.（本大題12分）在正方體-中,E、F分別是、CD的中點(diǎn).（1）.證明:(2).求AE與所成的角;(3).設(shè)=2,求點(diǎn)F到平面的距離.參考答案：證明：（1）.正方體ABCD-A1B1C1D1,

,,

-------------------3分(2)取AB的中點(diǎn),并連接A1P,

易證,

可證;,即,所以AE與D1F所成的角為-------------------6分(3)取CC1中點(diǎn)Q,連接FQ,又作,又,所以FH即為F到平面FQD1A1的距離,-------------------10分解得:所以F點(diǎn)到平面A1ED1的距離為-------------------12分22.已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈R）．（1）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜x；（2）證明：當(dāng)k＜1時(shí)，存在x0＞0，使得對(duì)任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x∈（0，+∞），利用函數(shù)F（x）的單調(diào)性，只需求出F（x）值域即可；（2）構(gòu)造函數(shù)G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），利用其單調(diào)性，討論其值域情況即可．【解答】解：（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x∈（0，+∞），則有F′（x）=﹣1=﹣．…當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；…故