2022年遼寧省沈陽市鐵英中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年遼寧省沈陽市鐵英中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）是定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有f（x）=f（2﹣x）成立．若當(dāng)x≠1時，不等式（x﹣1）?f′（x）＜0成立，設(shè)a=f（0.5），，c=f（3），則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b參考答案：A【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】由題意可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，在（﹣∞，1）上是增函數(shù)．再由|3﹣1|＞|0.5﹣1|＞|﹣1|，故f（）＞f（0.5）＞f（3），由此得出結(jié)論．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．再由（x﹣1）?f′（x）＜0成立可得，當(dāng)x＞1，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；當(dāng)x＜1，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上是增函數(shù)．由于|3﹣1|＞|0.5﹣1|＞|﹣1|，故f（）＞f（0.5）＞f（3），即b＞a＞c，故選：A．2.如圖，半徑為R的圓形紙板上有一內(nèi)接正六邊形圖案，將一顆豆子隨機(jī)地扔到平放的紙板上，假設(shè)豆子不落在線上，則豆子落在正六邊形區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計．【分析】求出半徑為R的圓形紙板的面積與圓內(nèi)接正六邊形的面積，利用幾何概型求出對應(yīng)的概率．【解答】解：半徑為R的圓形紙板的面積為πR2，其圓內(nèi)接正六邊形的面積為：6××R2×sin60°=R2，故所求的概率為：P==．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了幾何概型的應(yīng)用問題，也考查了圓內(nèi)接正六邊形的面積的計算問題，是基礎(chǔ)題目．3.與，兩數(shù)的等比中項是（

）A．1

B．

C．

D．參考答案：C4.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A，B可以不相鄰），那么不同的排法共有（） A．24種 B． 60種 C． 90種 D． 120種參考答案：B略5.橢圓的離心率的最小值為

A.

B.

C.

D.參考答案：A方程表示橢圓，則：，據(jù)此可得：，很明顯，即該橢圓表示焦點(diǎn)位于軸的橢圓，其離心率為：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上可得：橢圓的離心率的最小值為本題選擇A選項.

6.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)位于（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限參考答案：B7.如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的取值范圍是

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略8.設(shè)集合，則集合（

）

A

B

C

D

參考答案：B9.函數(shù)f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．1＜a＜e B．1＜a＜eC．0＜a＜e D．e＜a＜e參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】原題意等價于方程ax=x3恰有兩個不同的解．分類討論結(jié)合函數(shù)思想求解當(dāng)0＜a＜1時，y=ax與y=x3的圖象只有一個交點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)a＞1時，y=ax與y=x3的圖象在x∈（﹣∞，0）上沒有交點(diǎn)，所以只考慮x＞0，于是可兩邊同取自然對數(shù)，得xlna=3lnx，即lna=，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，求解，利用導(dǎo)數(shù)求解即可．【解答】解：∵f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個不同的零點(diǎn)∴等價于方程ax=x3恰有兩個不同的解．當(dāng)0＜a＜1時，y=ax與y=x3的圖象只有一個交點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)a＞1時，y=ax與y=x3的圖象在x∈（﹣∞，0）上沒有交點(diǎn)，所以只考慮x＞0，于是可兩邊同取自然對數(shù)，得xlna=3lnx，即lna=，令g（x）=，則，當(dāng)x∈（0，e）時，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜1時，當(dāng)g（x）＜0，x∈（e，+∞）時，g（x）單減且g（x）＞0．∴要有兩個交點(diǎn)，0＜lna＜g（e）=，即1＜a＜．故選：A10.如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角D．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A．利用正方形的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)與判定即可得出；B．利用正方形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可得出；C．通過平移即可得出異面直線所成的角；D．利用線面垂直的判定與性質(zhì)、線面角的定義、等腰三角形的性質(zhì)即可得出．【解答】解：A．∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵SD∩DB=D．∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥DB．B．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC，又AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD．C．∵AB∥DC，∴∠SCD（為銳角）是AB與SC所成的角，∠SAB（為直角）是DC與SA所成的角；而∠SCD≠∠SAB．∴AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角不正確；D．由A可知：AC⊥平面SDB，∴∠ASO、∠SCO分別是SA與平面SBD所成的角、SC與平面SBD所成的角．由SA=SC，OA=OC，可得∠ASO=∠SCO，因此正確．綜上可知：只有C不正確．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓錐的表面積是，側(cè)面展開圖的圓心角是，則圓錐的體積是_______。參考答案：略12.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是_____參考答案：213.已知圓＝0與拋物線的準(zhǔn)線相切，則___參考答案：214.在ABC中，，，若（O是ABC的外心），則的值為

。

參考答案：15.執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出S的值是

．參考答案：由程序框圖，得；；；；即S的值具有周期性，周期為3，則當(dāng)程序框圖結(jié)束時的結(jié)果為，即輸出S的值為.

16.觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72017的末兩位數(shù)字為．參考答案：49【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】通過計算出前幾項找出規(guī)律，進(jìn)而計算可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，得72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607，…發(fā)現(xiàn)：74k﹣2的末兩位數(shù)字是49，74k﹣1的末兩位數(shù)字是43，74k的末兩位數(shù)字是01，74k+1的末兩位數(shù)字是49，（k=1、2、3、4、…）∵2017=504×4+1，∴72017的末兩位數(shù)字為49，故答案為：49．17.一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為,則此球的表面積等于

．

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在正項數(shù)列{an}中，對于一切的n∈N*均有a≤an－an＋1成立，(1)證明：數(shù)列{an}中的任意一項都小于1；(2)歸納猜想an與的大小，并證明你的結(jié)論．參考答案：略19.

等比數(shù)列{an}中，已知．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和公式Sn；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足，求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn．參考答案：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得，解得，所以，………………4分 ．……6分（Ⅱ）因為，數(shù)列{bn}的前n項和為．………12分20.設(shè)命題，若同時為假命題，求x的取值集合。參考答案：同時為假命題，所以為真，為假。故略21.已知橢圓C：左焦點(diǎn)F，左頂點(diǎn)A，橢圓上一點(diǎn)B滿足軸，且點(diǎn)B在x軸下方，BA連線與左準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P任意引一直線與橢圓交于C，D，連結(jié)AD，BC交于點(diǎn)Q，若實數(shù)滿足：，.（1）求的值；（2）求證：點(diǎn)Q在一定直線上.參考答案：（1）因為，由軸，由對稱軸不妨設(shè)，則直線又左準(zhǔn)線，所以，又，所以同理：由，得：又，所以又，比較系數(shù)得：，所以（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，由，得，代入橢圓方程，得：，整理得：顯然，所以同理：由，得：，代入橢圓方程，得：同理可得：又由（1），所以整理得：即點(diǎn)在定直線上.

22.已知橢圓C1：的離心率為，焦距為，拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F是橢圓C1的頂點(diǎn)．（Ⅰ）求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）C1上不同于F的兩點(diǎn)P，Q滿足，且直線PQ與C2相切，求△FPQ的面積．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（I）設(shè)橢圓C1的焦距為2c，依題意有，，由此能求出橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；又拋物線C2：x2=2py（p＞0）開口向上，故F是橢圓C1的上頂點(diǎn)，由此能求出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．（II）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，聯(lián)立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出△FPQ的面積．【解答】解：（I）設(shè)橢圓C1的焦距為2c，依題意有，，解得，b=2，故橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…（3分）又拋物線C2：x2=2py（p＞0）開口向上，故F是橢圓C1的上頂點(diǎn)，∴F（0，2），∴p=4，故拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y．…（II）由題意得直線PQ的斜率存在．設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，∴，…（6分）即（*）聯(lián)立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依題意，x1，x2是方程（**）的兩根