山西省太原市晉源區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年度高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

山西省太原市晉源區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年度高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則此直線平行于平面內(nèi)的所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”．結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)锳．大前提錯(cuò)誤

B．推理形式錯(cuò)誤

C．小前提錯(cuò)誤

D．非以上錯(cuò)誤參考答案：A2.已知兩條相交直線、，平面，則與的位置關(guān)系是（

）．A．平面 B．平面C．平面 D．與平面相交，或平面參考答案：D根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系的可得：與平面相交或平面．故選．3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為2，則輸出的值為（

）.4.3.5.2參考答案：A4.在棱長(zhǎng)為的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.類(lèi)比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出空間下列結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行④垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行,則正確的結(jié)論是(

).A．①② B．②③ C．③④ D．①④參考答案：B6.在三棱錐中,底面，，，，，則點(diǎn)到平面的距離是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B7.在等比數(shù)列{an}中，若a1=1，公比q=2，則a12+a22+…+an2=（）A．（2n﹣1）2 B．（2n﹣1） C．4n﹣1 D．（4n﹣1）參考答案：D考點(diǎn)： 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．

專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 首先根據(jù)a1=1，公比q=2，求出數(shù)列an通項(xiàng)，再平方，觀察到是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求解．解答： 解：∵{an}是等比數(shù)列

a1=1，公比q=2∴an=2n﹣2n﹣1=2n﹣1∴an2=4n﹣1是等比數(shù)列設(shè)An=a12+a22+a32+…+an2由等比數(shù)列前n項(xiàng)和，q=4解得故選D．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查數(shù)列的求和問(wèn)題，其中應(yīng)用到由前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，這些都需要理解并記憶．8.給定下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為：①已知a，b，m∈R，若am2＜bm2，則a＜b；②“矩形的對(duì)角線相等”的逆命題；③“若xy＝0，則x，y中至少有一個(gè)為0”的否命題；④如果將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都加上同一個(gè)非玲常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差都改變．A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C①正確，此時(shí)m2＞0，②逆命題：“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”是假命題．③否命題：“若xy≠0，則都不為零”是真命題．④根據(jù)平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，平均數(shù)改變，方差不變；故不正確；故答案為：①③考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用9.命題甲：f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)遞增；命題乙：對(duì)任意x∈（a，b），有f'（x）＞0．則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】命題乙：對(duì)任意x∈（a，b），有f'（x）＞0，可得f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)遞增，即乙?甲．反之不成立，例如取f（x）=x3滿(mǎn)足f′（x）≥0因此．在（﹣2，3）內(nèi)單調(diào)遞增．【解答】解：命題乙：對(duì)任意x∈（a，b），有f'（x）＞0，可得f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)遞增，即乙?甲．反之不成立，例如取f（x）=x3滿(mǎn)足f′（x）≥0因此．在（﹣2，3）內(nèi)單調(diào)遞增．因此甲是乙的必要不充分條件．故選：B．10.與命題“若則”的否命題必定同真假的命題為（

）A．若則

B．若則C．若則D．若則參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，且，則c的值為_(kāi)_______．參考答案：12.下列命題中，真命題的是

.

①必然事件的概率等于l

②命題“若b＝3，則b2＝9”的逆命題

③對(duì)立事件一定是互斥事件

④命題“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”的逆否命題參考答案：13.兩等差數(shù)列和,前項(xiàng)和分別為,且則等于______________。參考答案：略14.把4個(gè)顏色各不相同的乒乓球隨機(jī)的放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子里．則恰好有一個(gè)盒子空的概率是

（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）參考答案：略15.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的實(shí)部是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A16..用五種不同的顏色給圖中的“五角星”的五個(gè)頂點(diǎn)染色，（每點(diǎn)染一色，有的顏色也可以不用）使每條線段上的兩個(gè)頂點(diǎn)皆不同色，則不同的染色方法有

種.參考答案：1020略17.若正數(shù)滿(mǎn)足,則的最大值是___________.參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分12分）袋中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球，m≥n≥2，這些紅球和白球除了顏色不同以外，其余都相同．從袋中同時(shí)取出2個(gè)球．

（1）若取出是2個(gè)紅球的概率等于取出的是一紅一白的2個(gè)球的概率的整數(shù)倍，試證：m必為奇數(shù)；

（2）若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，試求m+n≤40的所有數(shù)組(m，n)．

參考答案：解：(1)設(shè)取出2個(gè)球是紅球的概率是取出的球是一紅一白2個(gè)球的概率的k倍(k為整數(shù))，

則有

(2分)∴＝kmn．

(4分)∵k∈Z，n∈Z，∴m=2kn+1為奇數(shù)．

(6分)(2)由題意,有，∴=mn,∴m2-m+n2-n-2mn=0即(m-n)2=m+n，

(8分)∴m≥n≥2，所以m+n≥4，∴2≤m-n≤<7，∴m-n的取值只可能是2，3，4，5，6，相應(yīng)的m+n的取值分別是4，9，16，25，36，即或或或或解得或或或或

(12分)

注意到m≥n≥2．

∴(m，n)的數(shù)組值為(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15)．

(14分)19.(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù)，且任意的（1）求、、的值；（2）試猜想的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.參考答案：

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n=1時(shí)，

∴猜想正確；……………7分

②假設(shè)當(dāng)

那么當(dāng)所以，當(dāng)時(shí)，猜想正確

由①②知，對(duì)，正確.……14分

略20.在數(shù)列，中，,,,（）.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）因?yàn)椋?，，即?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以.

，，，所以，當(dāng)時(shí)，，即.

（2）由

得，，

，，因?yàn)?，所?

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，隨的增大而增大，且，，；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，隨的增大而減小，且，，.綜上，.21.設(shè)函數(shù)，g（x）=2x2+4x+c．（1）試問(wèn)函數(shù)f（x）能否在x=﹣1時(shí)取得極值？說(shuō)明理由；（2）若a=﹣1，當(dāng)x∈[﹣3，4]時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】（1）利用反證法：根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，假設(shè)x=﹣1時(shí)f（x）取得極值，則把x=﹣1代入導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)值為0得到a的值，把a(bǔ)的值代入導(dǎo)函數(shù)中得到導(dǎo)函數(shù)在R上為增函數(shù)，沒(méi)有極值與在x=﹣1時(shí)f（x）取得極值矛盾，所以得到f（x）在x=﹣1時(shí)無(wú)極值；（2）把a(bǔ)=﹣1代入f（x）確定出f（x），然后令f（x）與g（x）相等，移項(xiàng)并合并得到c等于一個(gè)函數(shù)，設(shè)F（x）等于這個(gè)函數(shù)，G（x）等于c，求出F（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，利用x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到F（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到F（x）的極大值和極小值，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)F（x）與G（x）有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)F（x）的極大值和極小值寫(xiě)出c的取值范圍即可．【解答】解：（1）由題意f′（x）=x2﹣2ax﹣a，假設(shè)在x=﹣1時(shí)f（x）取得極值，則有f′（﹣1）=1+2a﹣a=0，∴a=﹣1，而此時(shí)，f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，無(wú)極值．這與f（x）在x=﹣1有極值矛盾，所以f（x）在x=﹣1處無(wú)極值；（2）令f（x）=g（x），則有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，設(shè)F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．列表如下：x﹣3（﹣3，﹣1）﹣1（﹣1，3）3（3，4）4f′（x）

+0﹣0+

f（x）﹣9↑↓﹣9↑﹣由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函數(shù)，在（﹣1，3）上是減函數(shù)．當(dāng)x=﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極大值；當(dāng)x=3時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．如果函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)F（x）與G（x）有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以或c=﹣9．22.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣2x，g（x）=．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），若函數(shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）法一：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在（0，+∞）上有解，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；法二：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上有解，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…，…令f′（x）=0得，列表如下：xf′（x）+0﹣f（x）↗極大值﹣ln2﹣1↘由表可知f（x）的極大值為，無(wú)極小值；…（Ⅱ）解法一：∵函數(shù)，∴，…∵函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴h'（x）＜0有解，…又∵函數(shù)h（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上有解，∴在（0，+∞）上有解，…即，又∵，…∴，∴a的取值范圍為（﹣1，+∞）．