上海市第八中學2021-2022學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

上海市第八中學2021-2022學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（x）是定義在R上的減函數(shù)，其導函數(shù)f′（x）滿足+x＜1，則下列結論正確的是（）A．對于任意x∈R，f（x）＜0 B．對于任意x∈R，f（x）＞0C．當且僅當x∈（﹣∞，1），f（x）＜0 D．當且僅當x∈（1，+∞），f（x）＞0參考答案：B【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由題意可得[（x﹣1）f（x）]′＞0，結合函數(shù)的單調(diào)性，從而可判斷當x＞1時，f（x）＞0，結合f（x）為減函數(shù)可得結論．【解答】解：∵+x＜1，f（x）是定義在R上的減函數(shù)，f′（x）＜0，∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，∴函數(shù)y=（x﹣1）f（x）在R上單調(diào)遞增，而x=1時，y=0，則x＜1時，y＜0，當x∈（1，+∞）時，x﹣1＞0，故f（x）＞0，又f（x）是定義在R上的減函數(shù)，∴x≤1時，f（x）＞0也成立，∴f（x）＞0對任意x∈R成立，故選：B．2.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0，2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝(

)．A．－2

B．2

C．－98D．98參考答案：A3.如圖所示是某多面體的三視圖，圖中小方格單位長度為1，則該多面體的側(cè)面最大面積為（

）

A． B．

C． D．2參考答案：B由三視圖可知多面體是棱長為2的正方體中的三棱錐，故，，，，，∴，，，∴該多面體的側(cè)面最大面積為．故選B．4.已知函數(shù)（，），，，若的最小值為，且的圖象關于點對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A.，

B.，C.，

D.，參考答案：B由題設知的周期，所以，又的圖象關于點對稱，從而，即,因為，所以.故.再由，得，故選B.點睛：已知函數(shù)的性質(zhì)求解析式：(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.5.設等比數(shù)列的前n項和為，若則A．31

B．32

C．63

D．64參考答案：C略6.根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A.1033 B.1053C.1073 D.1093參考答案：D試題分析：設，兩邊取對數(shù)，，所以，即最接近，故選D.

【名師點睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題以實際問題的形式給出，但本質(zhì)就是對數(shù)的運算關系，以及指數(shù)與對數(shù)運算的關系，難點是令，并想到兩邊同時取對數(shù)進行求解，對數(shù)運算公式包含，，.7.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像

（

）

A．向右平移個單位長度

B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度

D．向左平移個單位長度參考答案：D8.已知集合，則集合等于（

）A. B. C. D.參考答案：C略9.設a,b,c是三條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面.已知α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,則下列四個命題中不一定成立的是 A.若a,b相交,則a,b,c三線共點 B.若a,b平行,則a,b,c兩兩平行C.若a,b垂直,則a,b,c兩兩垂直 D.若α⊥γ,β⊥γ,則a⊥γ參考答案：C 本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等,意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力.解題時,對選項逐個驗證,可以借助線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理等.空間中點、線、面的位置關系是客觀題的?？碱},借助幾何模型,強化空間想象能力,完善邏輯推理,是解題成功的關鍵. 選項A顯然正確;對于選項B,三個平面兩兩相交,若a,b平行,則a,b,c兩兩平行;對于選項D,如圖,在平面α內(nèi)作直線m⊥b,在平面β內(nèi)作直線n⊥c,因為α⊥γ,β⊥γ,所以m⊥γ,n⊥γ,所以m∥n.又m?α,n?α,所以n∥α,又n?β,α∩β=a,所以n∥a.又n⊥γ,所以a⊥γ.故選C. 10.如右圖，一個直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那么，當小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（

）

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知全集集合則

▲

.參考答案：略12.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)滿足=1，且的導數(shù)在R上恒有<，則不等式的解集為

參考答案：∪13.已知函數(shù)f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．（i）當a=2時，滿足不等式f（x）＞0的x的取值范圍為

；（ii）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸沒有交點，則實數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：，【考點】分段函數(shù)的應用．【分析】（i）化為分段函數(shù)，再解不等式即可，（ii）①）當a≥1②當0＜a＜1③當a≤0三種情況，畫出f（x）=|ax﹣1|與g（x）=（a﹣1）x的圖象，利用圖象確定有無交點．【解答】解：（i）當a=2時，f（x）=|2x﹣1|﹣x=，∵f（x）＞0，∴或，解得x＞1或x＜，故不等式f（x）＞0的x的取值范圍為（﹣∞，）∪（1，+∞）（ii）函數(shù)f（x）的圖象與x軸沒有交點，①當a≥1時，f（x）=|ax﹣1|與g（x）=（a﹣1）x的圖象：兩函數(shù)的圖象恒有交點，②當0＜a＜1時，f（x）=|ax﹣1|與g（x）=（a﹣1）x的圖象：要使兩個圖象無交點，斜率滿足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤a＜1③當a≤0時，f（x）=|ax﹣1|與g（x）=（a﹣1）x的圖象：兩函數(shù)的圖象恒有交點，綜上①②③知：≤a＜1故答案為：，14.如圖，的外接圓的切線與的延長線相交于點，的平分線與相交于點，若，，則______．參考答案：4略15.一個幾何體的三視圖為如圖所示的三個直角三角形，則該幾何體表面的直角三角形的個數(shù)為

個．參考答案：4【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可得：原幾何體為三棱錐P﹣ABC：PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAC．即可得出答案．【解答】解：由三視圖可得：原幾何體為三棱錐P﹣ABC：PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAC．因此表面4個三角形都為直角三角形．故答案為：4．16.從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取兩個數(shù)，欲使取到的一個數(shù)大于k，另一個數(shù)小于k(其中k?{5,6,7,8,9})的概率是，則k=

▲

．參考答案：717.設拋物線的焦點為，點在拋物線上，且滿足，若，則的值為

.參考答案：設，.因為拋物線x2=4y的焦點為，準線為，所以由，得，所以，x12=4y1=2.由得即因為x22=4y2，所以.解得或（舍）.注：若知拋物線的焦點弦的如下性質(zhì)：，可更快地求出結果。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值.參考答案：解：（I）因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以在上恒成立

?當時，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故符合題意

?當時，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以在上恒成立

令函數(shù)，其對稱軸為，因為，所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以因為，所以.綜上所述，a的取值范圍為

19.為積極響應國家“陽光體育運動”的號召，某學校在了解到學生的實際運動情況后，發(fā)起以“走出教室，走到操場，走到陽光”為口號的課外活動倡議。為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二基礎年級與高三三個年級學生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（已知高一年級共有1200名學生）（1）據(jù)圖估計該校學生每周平均體育運動時間，并估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)；（2）規(guī)定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優(yōu)秀”，否則為“非優(yōu)秀”，在樣本數(shù)據(jù)中，有30位高三學生的每周平均體育運動時間不少于6小時，請完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀”與年級有關”．

基礎年級高三合計優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

300

P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879

附：參考答案：（1）該校學生每周平均體育運動時間………3分樣本中高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù):

又樣本中高一的人數(shù)有120人，所以高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)為1200=300………6分（2）列聯(lián)表如下：

基礎年級高三合計優(yōu)秀10530135非優(yōu)秀10560165合計21090300………………8分假設該校學生的每周平均體育運動時間是否優(yōu)秀與年級無關，則又.所以有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀”與年級有關”．………12分20.點在橢圓上，求點到直線的最大距離和最小距離。參考答案：點在橢圓上，求點到直線的最大距離和最小距離。解：設，則,即，當時，；當時，。略21.某機床廠每月生產(chǎn)某種精密數(shù)控機床10件，已知生產(chǎn)一件合格品能盈利8萬元，生產(chǎn)一件次品將會虧損2萬元。假設該精密數(shù)控機床任何兩件之間合格與否相互沒有影響。相關部門統(tǒng)計了近二年每個月生產(chǎn)的合格品，以生產(chǎn)最穩(wěn)定的年份估算2010工廠生產(chǎn)該精密數(shù)控機床的合格率。合格品1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月2008787610856786620099878889781077參考數(shù)據(jù)：(1)試確定2010年生產(chǎn)精密數(shù)控機床的合格率；(2)若該工廠希望每月盈利額X不低于70萬元,求該工廠達到盈利目標的概率(將結果精確到0.01)；

(3)求該工廠每月盈利額X的數(shù)學期望.

參考答案：解：(1)2008年方差；2009年方差2010年生產(chǎn)精密數(shù)控機床的合格率為

(2)設X表示合格品的個數(shù)，則X～B(10,0.8)，X表示每月盈利額，則(3)由X～B(10,0.8)可知EX=8,因為所以(萬元)22.（本題滿分12分）已知，函數(shù)．（I）若，求函數(shù)的極值點；（II）若不等式恒成立，求的取值范圍．（為自然對數(shù)的底數(shù)）參考答案：（I