上海樹人中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

上海樹人中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)f(x)=2x2-lnx在其定義域的一個子區(qū)間(k-1,k+1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A.

(,+￥)

B.(-￥,)

C.

(,)

D.

[1,)參考答案：2.函數(shù)f（x）=ex﹣4x的遞減區(qū)間為（）A．（0，ln4） B．（0，4） C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．【解答】解：f′（x）=ex﹣4，令f′（x）＜0，解得：x＜ln4，故函數(shù)在（﹣∞，ln4）遞減；故選：C．3.設(shè)集合，，則等于（

）A．(－1,0) B．(－1,1) C．(0,1)

D．(1,3)參考答案：C4.命題“，”的否定為（

）A.， B.，C.， D.，參考答案：C全稱性命題的否定是特稱性命題，所以選C.5.已知,若,使得,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A6.在△ABC中，，則等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A7.200輛汽車通過某一段公路時，時速的頻率分布直方圖如右圖所示，則時速在[50，70)的汽車大約有（）.Ａ．60輛

B．80輛

Ｃ．70輛

Ｄ．140輛參考答案：D8.與橢圓C:共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.

B.

C.

D.參考答案：A9.若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，則（

）A. B. C.12 D.24參考答案：D【分析】由，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，求出，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出．【詳解】解：數(shù)列是等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，，所以，所以．所以，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10.已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為，則到另一焦點(diǎn)距離為（

）A

B

C

D

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)在區(qū)間[1，4]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．參考答案：12.

一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一個球的球面上，且過同一個頂點(diǎn)的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積是

；參考答案：14π13.觀察下列式子

,

……,可猜想：當(dāng)時,有________________________________參考答案：(n∈N*)略14.下列命題中，正確命題的個數(shù)是（）①命題“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”．②雙曲線﹣=1（a＞0，a＞0）中，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，點(diǎn)B（0，b）且=0，則此雙曲線的離心率為．③在△ABC中，若角A、B、C的對邊為a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，則a、c、b成等比數(shù)列．④已知，是夾角為120°的單位向量，則向量λ+與﹣2垂直的充要條件是λ=．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】綜合題．【分析】①利用命題的否定，即可判斷其真假；②利用雙曲線的離心率的性質(zhì)可判斷其正誤，③將cosB=﹣cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin2B，再利用正弦定理可判斷③的正誤；④利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量垂直的性質(zhì)可判斷其正誤．【解答】解：①命題“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x0∈R，使得+1≥0”，故①錯誤；②，依題意，F(xiàn)（c，0），A（﹣a，0），∵點(diǎn)B（0，b），∴=（a，b），=（c，﹣b），∵?=0，∴ac﹣b2=0，而b2=c2﹣a2，∴c2﹣ac﹣a2=0，兩端同除以a2得：e2﹣e﹣1=0，解得e=或e=（舍去），故②正確；③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，∴cosB=﹣cos（A+C），∴原式化為：cos2B﹣cos（A+C）+cos（A﹣C）=1，∴cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1﹣cos2B，∵cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC，1﹣cos2B=2sin2B，∴sinAsinC=sin2B，由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比數(shù)列錯誤；④，∵，是夾角為120°的單位向量，∴（λ+）⊥（﹣2）?（λ+）?（﹣2）=0?λ﹣2+（1﹣2λ）?=0?λ﹣2+（1﹣2λ）×1×1×（﹣）=0?2λ﹣2﹣=0，∴λ=．故④正確；綜上所述，正確命題的個數(shù)是2個．故選B．【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查命題的否定，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查余弦定理與正弦定理的綜合應(yīng)用，考查雙曲線的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，屬于難題．15.曲線在點(diǎn)處的切線與軸、直線所圍成三角形的面積為，則

．參考答案：略16.設(shè)關(guān)于的不等式的解集中整數(shù)的個數(shù)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和=____________.參考答案：17.若復(fù)數(shù)z=1﹣2i（i是虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)記為F，則z?F=_________．參考答案：5略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查500位老人，結(jié)果如下：

男女合計需要403070不需要160270430合計200300500（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？附：P（K2≥k）0.500.0100.001k3.8416.63510.828．參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（1）用頻率估計概率，從而得到需要志愿者提供幫助的老年人的比例的估計值；（2）由公式計算k的值，從而查表即可．【解答】解：（1）需要志愿者提供幫助的老年人的比例估計為=14%；（2）由代入得，k=≈9.967＞6.635；查表得P（K2≥6.635）=0.01；故有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)．19.設(shè)數(shù)列滿足:,,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(Ⅱ)已知數(shù)列是等差數(shù)列,且,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,所以(2),所以公差

所以,

故

①

②

由①-②得:

略20.如圖，在圓錐PO中，已知，⊙O的直徑AB=2，點(diǎn)C在底面圓周上，且，D為AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：OD∥平面PBC；（Ⅱ）證明：平面PAC⊥平面POD；（Ⅲ）求二面角A-PC-O的正弦值.參考答案：證明：（Ⅰ）∵D為AC的中點(diǎn)，O為⊙O的圓心,則∥,

…………2分∵平面，平面，…………4分∴∥平面?！?分證明：（Ⅱ）∵，是的中點(diǎn)，∴.又底面⊙底面⊙，∴，…………7分∵,平面，∴平面,

…………9分∵平面,∴平面平面；…………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面平面，在平面中，過作于，則平面。過作,垂足為,連結(jié)，則由三垂線定理得,∴是二面角的平面角.…………12分在中，,在△中,可求得,∴在△中,,∴.即二面角的正弦值為．…………15分

（其他解法，如或建空間直角坐標(biāo)系，用空間向量解題，按步酌情給分.）21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系取相同的長度單位。曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求l的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)M是曲線C上任一點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線l距離的最大值.參考答案：（1）；;（2）【分析】（1）消參數(shù)得的普通方程，根據(jù)得的直角坐標(biāo)方程（2）根據(jù)直線與圓位置關(guān)系得最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即?）因?yàn)閳A心到直線距離為，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及直線與圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.22.已知A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)C、D和x軸上一點(diǎn)P，滿足.(1)設(shè)△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S1、S2、S3、S4，求證：S1S3=S2S4；(2)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，求x0的取值范圍.參考答案：(1)由知：，即，所以，故C、D、P三點(diǎn)共線，且C、D在P點(diǎn)的兩側(cè)，所以，即S1S3=S2S4；(2)由(Ⅰ)知，C、D、P三點(diǎn)共線，且C、D在P點(diǎn)的兩側(cè)，且C、D異于A、B的兩點(diǎn)，故－2<x0<2，且直線CD不平行于x軸，可設(shè)直線CD的方程為：x=my+