上海民辦交大南洋中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

上海民辦交大南洋中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，若角A，B，C成公差大于0的等差數(shù)列，則cos2A＋cos2C的最大值為A．

B．

C．2

D．不存在參考答案：D∵角A，B，C成等差數(shù)列，∴A＋C＝2B，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°．cos2A＋cos2C＝＋＝1＋(cos2A＋cos2C)＝1＋[cos(240°－2C)＋cos2C]＝1＋cos(2C＋60°)．∵60°<C<120°，∴180°<2C＋60°<300°，∴<1＋cos(2C＋60°)<，即cos2A＋cos2C的最大值不存在故選D2.設(shè)是空間中不同的直線，是不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．，則

B．，則

C．，則

D．，則參考答案：D3.已知（其中為正數(shù)），若，則的最小值是

A．2

B．

C．

D．8參考答案：C4.已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，，，若，，則=(

)A. B. C. D.參考答案：A試題分析：∵，，∴，∴.考點(diǎn)：向量的運(yùn)算.5.設(shè)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為

A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B6.已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，則M∩N等于（）A．{x|x＞4} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出M中x的范圍確定出M，求出N中y的范圍確定出N，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由M中x2﹣3x﹣4＞0，即M={x|x＞4或x＜﹣1}，N={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，則M∩N={x|x＞4}，故選：A．7.在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且，，BC邊上的高為h，則h的最大值為（

）A. B.1 C. D.2參考答案：C【分析】先化簡已知得，再求出，再利用三角函數(shù)求h最大值得解.【詳解】因?yàn)?，所以所?所以所以,所以當(dāng)B=時(shí)，h取最大值.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形，考查三角函數(shù)和三角恒等變換，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8.設(shè)，把的圖象按向量平移后，圖象恰好為函數(shù)的圖象，則的值可以為

A．

B．

C．

D.參考答案：D9.已知、是兩個(gè)單位向量，那么下列命題中的真命題是（

）．A．

B．

C．

D．

參考答案：D10.若三棱錐的三視圖如右圖所示,則該三棱錐的體積為【

】.A.

B.

C.

D.參考答案：D由三視圖知：三棱錐的底面為直角三角形，兩直角邊分別為5和4，三棱錐的高為4，所以三棱錐的體積為。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若三角方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：12.在△ABC中，B（10，0），直線BC與圓Γ：x2+（y﹣5）2=25相切，切點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)．若△ABC的重心恰好為圓Γ的圓心，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．參考答案：（0，15）或（﹣8，﹣1）考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：直線與圓．分析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)A和C的坐標(biāo)，根據(jù)圓心Γ（0，5）到直線AB的距離等于半徑5求出AB的斜率k的值．再由斜率公式以及ΓD⊥BC，求出C的坐標(biāo)，再利用三角形的重心公式求得A的坐標(biāo)．解答：解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、C（x2，y2），則由題意可得ΓD⊥BC，且D（，）．故有圓心Γ（0，5）到直線AB的距離ΓD=r=5．設(shè)BC的方程為y﹣0=k（x﹣10），即kx﹣y﹣10k=0．則有=5，解得k=0或k=﹣．當(dāng)k=0時(shí)，有，當(dāng)k=﹣時(shí)，有．解得，或．再由三角形的重心公式可得，由此求得或，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，15）或（﹣8，﹣1），故答案為（0，15）或（﹣8，﹣1）．點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、三角形的重心公式，屬于中檔題．13.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于

．參考答案：314.如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體外接球的表面積為

．參考答案：15.已知的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________參考答案：16.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為___________.參考答案：3如圖4，畫出可行域，可知目標(biāo)函數(shù)的最大值是當(dāng)直線過時(shí)取得，即．17.方程的全體實(shí)數(shù)解組成的集合為______參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)（0,1），求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn)；參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）對a分兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn).【詳解】解：（Ⅰ）由，得所以，.所以由得.（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，令，則.由得，則①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即在上至多有一個(gè)零點(diǎn).所以函數(shù)在上至多有一個(gè)極值點(diǎn).②當(dāng)，即時(shí)，及隨的變化情況如下表：x+0-↗極大值↘

因?yàn)?，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即在上至多有一個(gè)零點(diǎn).所以函數(shù)在上至多有一個(gè)極值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上至多有一個(gè)極值點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.

在一個(gè)月內(nèi)分批購入每張價(jià)值為20元的書桌共36臺，每批都購入x臺（x是正整數(shù)），且每批均需付運(yùn)費(fèi)4元，儲存購入的書桌一個(gè)月所付的保管費(fèi)與每批購入書桌的總價(jià)值（不含運(yùn)費(fèi)）成正比，若每批購入4臺，則該月需用去運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)共52元，現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi).(1）求該月需用去的運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的總費(fèi)用(2）能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由.參考答案：20.幾何證明選講如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是AC的中點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E．

（I）求證：CD2=DE2=AE×EC;

（II）若CD的長等于⊙O的半徑，求∠ACD的大小．參考答案：略21.（本小題滿分12分）某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/t）分成六段：后得到如圖4的頻率分布直方圖．問：（1）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值.（2）若從車速在的車輛中任抽取2輛，求抽出的2輛車中車速在的車輛數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．參考答案：（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于（2分）設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為，則中位數(shù)的估計(jì)值為：，解得即中位數(shù)的估計(jì)值為

(5分)（2）從圖中可知，車速在的車輛數(shù)為：（輛），車速在的車輛數(shù)為：（輛）

(7分)∴，，，，的分布列為012

(10分)均值.

(12分)22.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（Ⅰ）若在處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）若，直線都不是曲線的切線，求的取值范圍；（Ⅲ）若，求在區(qū)間［0，1］上的最大值。參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)椤?分令，所以隨的變化情況如下表：+0-0+Z極大值］極小值Z

……4分所以

…………5分（由得出，或，在有單調(diào)性驗(yàn)證也可以（標(biāo)準(zhǔn)略））（Ⅱ）因?yàn)?/p>

……6分因?yàn)?，直線都不是曲線的切線，所以無實(shí)數(shù)解……7分只要的最小值大于所以

……8分（Ⅲ）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，對成立所以當(dāng)時(shí)，取得最大值

……9分當(dāng)時(shí)，在時(shí)