2023年全國高考新課標2卷理科數(shù)學試題(解析版)

高考真題高三數(shù)學第5頁共5頁2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課標2卷理科數(shù)學考前須知：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1．eq\f(1+2i,1-2i)=()A．-eq\f(4,5)-eq\f(3,5)i B．-eq\f(4,5)+eq\f(3,5)i C．-eq\f(3,5)-eq\f(4,5)i D．-eq\f(3,5)+eq\f(4,5)i解析：選D2．集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，那么A中元素的個數(shù)為()A．9 B．8 C．5 D．4解析：選A問題為確定圓面內(nèi)整點個數(shù)3．函數(shù)f(x)=eq\f(ex-e-x,x2)的圖像大致為()解析：選Bf(x)為奇函數(shù)，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=eq\f(e2-e-2,4)>1,應(yīng)選B4．向量a，b滿足|a|=1，a·b=-1，那么a·(2a-b)=()A．4 B．3 C．2 D．0解析：選Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，那么其漸近線方程為()A．y=±eq\r(2)xB．y=±eq\r(3)xC．y=±eq\f(\r(2),2)xD．y=±eq\f(\r(3),2)x解析：選Ae=eq\r(3)c2=3a2b=eq\r(2)a6．在ΔABC中，coseq\f(C,2)=eq\f(\r(5),5)，BC=1，AC=5，那么AB=()A．4eq\r(2)B．eq\r(30) C．eq\r(29)D．2eq\r(5)解析：選AcosC=2cos2eq\f(C,2)-1=-eq\f(3,5)AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=4eq\r(2)7．為計算S=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)+……+eq\f(1,99)-eq\f(1,100)，設(shè)計了右側(cè)的程序框圖，那么在空白框中應(yīng)填入()A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4解析：選B8．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜測是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和〞，如30=7+23．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,14)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,18)解析：選C不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，從中選2個其和為30的為7+23，11+19，13+17，共3種情形，所求概率為P=eq\f(3,C102)=eq\f(1,15)9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=eq\r(3)，那么異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(2),2)解析：選C建立空間坐標系，利用向量夾角公式可得。10．假設(shè)f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是減函數(shù)，那么a的最大值是()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4)D．π解析：選Af(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4)),依據(jù)f(x)=cosx與f(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4))的圖象關(guān)系知a的最大值為eq\f(π,4)。11．f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)．假設(shè)f(1)=2，那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A．-50B．0 C．2 D．50解析：選C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=212．F1，F(xiàn)2是橢圓C:eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a>b>0〕的左，右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，ΔPF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=1200，那么C的離心率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)解析：選DAP的方程為y=eq\f(\r(3),6)(x+a),∵ΔPF1F2為等腰三角形∴|F2P|=|F1F2|=2c,過P作PH⊥x軸，那么∠PF2H=600,∴|F2H|=c,|PH|=eq\r(3)c,∴P(2c,eq\r(3)c),代入AP方程得4c=a二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為__________．解析：y=2x14．假設(shè)x,y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\al\co2(x+2y-5≥0,,x-2y+3≥0,,x-5≤0,)),那么z=x+y的最大值為__________．解析：915．sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，那么sin(α+β)=__________．解析：-eq\f(1,2)兩式平方相加可得16．圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°，假設(shè)ΔSAB的面積為5eq\r(15)，那么該圓錐的側(cè)面積為__________．解析：設(shè)圓錐底面圓半徑為r,依題SA=eq\r(2)r,又SA，SB所成角的正弦值為eq\f(\r(15),8),那么eq\f(1,2)×2r2×eq\f(\r(15),8)=5eq\r(15)∴r2=40,S=π×r×eq\r(2)r=40eq\r(2)三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。〔一〕必考題：共60分。17．〔12分〕記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1=-7，S3=-15．〔1〕求{an}的通項公式；〔2〕求Sn，并求Sn的最小值．解：〔1〕設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通項公式為an=2n-9.〔2〕由〔1〕得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為?16.18．〔12分〕下列圖是某地區(qū)2000年至2023年環(huán)境根底設(shè)施投資額y〔單位：億元〕的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2023年的數(shù)據(jù)〔時間變量t的值依次為1,2,…,17〕建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))=-30.4+13.5t；根據(jù)2023年至2023年的數(shù)據(jù)〔時間變量t的值依次為1,2,…,7〕建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))=99+17.5t．〔1〕分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值；〔2〕你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．解：〔1〕利用模型①,該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值為eq\o(y,\s\up6(^))=-30.4+13.5×19=226.1(億元).利用模型②,該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值為eq\o(y,\s\up6(^))=99+17.5×9=256.5(億元).〔2〕利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.理由如下：〔ⅰ〕從折線圖可以看出,2000年至2023年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線eq\o(y,\s\up6(^))=-30.4+13.5t上下.這說明利用2000年至2023年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境根底設(shè)施投資額的變化趨勢.2023年相對2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額有明顯增加，2023年至2023年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2023年開始環(huán)境根底設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2023年至2023年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))=99+17.5t可以較好地描述2023年以后的環(huán)境根底設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.〔ⅱ〕從計算結(jié)果看,相對于2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比擬合理.說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.19．〔12分〕設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．〔1〕求l的方程；〔2〕求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．解：〔1〕由題意得F(1,0)，l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=k(x-1),y2=4x))得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0，故x1+x2=eq\f(2k2+4,k2).所以|AB|=x1+x2+2=eq\f(2k2+4,k2)+2=8，解得k=-1〔舍去〕，k=1.因此l的方程為y=x-1.〔2〕由〔1〕得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0,y0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0=-x0+5,(x0+1)2=\f((y0-x0+1)2,2)+16))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=3,y0=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=11,y0=-6))因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20．〔12分〕如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2eq\r(2)，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．〔1〕證明：PO⊥平面ABC；〔2〕假設(shè)點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為300，求PC與平面PAM所成角的正弦值．解：〔1〕因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)P⊥AC，且OP=2eq\r(3).連結(jié)OB.因為AB=BC=eq\f(\r(2),2)AC，所以ΔABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=eq\f(1,2)AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.〔2〕如圖，以O(shè)為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系.由得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2eq\r(3)),eq\o(AP,\s\up5(→))=(0,0,2eq\r(3))取平面PAC的法向量eq\o(OB,\s\up5(→))=(2,0,0).設(shè)M(a,2-a,0)(0<a≤2)，那么eq\o(AM,\s\up5(→))=(a,4-a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y+2eq\r(3)z=0,ax+(4-a)y=0))，可取n=(eq\r(3)(a-4),eq\r(3)a,-a)，所以cos<eq\o(OB,\s\up5(→)),n>=eq\f(2\r(3)(a-4),2\r(3(a-4)2+3a2+a2)).由得|cos<eq\o(OB,\s\up5(→)),n>|=eq\f(\r(3),2).∴eq\f(2\r(3)|(a-4)|,2\r(3(a-4)2+3a2+a2))==eq\f(\r(3),2)解得a=-4〔舍去〕，a=eq\f(4,3).所以n=(-eq\f(8\r(3),3),eq\f(4\r(3),3),-eq\f(4,3)).又eq\o(PC,\s\up5(→))=(0,2,-2eq\r(3))，所以cos<eq\o(PC,\s\up5(→)),n>=eq\f(\r(3),4).所以PC與平面PAN所成角的正弦值為eq\f(\r(3),4).21．〔12分〕函數(shù)f(x)=ex-ax2．〔1〕假設(shè)a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；〔2〕假設(shè)f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a．【解析】〔1〕當a=1時，f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0．設(shè)函數(shù)g(x)(x2+1)e-x-1，那么g′(x)=-(x-1)2e-x．當x≠1時，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減．而g(0)=0，故當x≥0時，g(x)≤0，即f(x)≥1．〔2〕設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x．f(x)在(0,+∞)只有一個零點當且僅當h(x)在(0,+∞)只有一個零點．〔i〕當a≤時，h(x)>0，h(x)沒有零點；〔ii〕當a>0時，h′(x)=ax(x-2)e-x．當x∈(0,2)時，h′(x)<0；當x∈(2,+∞)時，h′(x)>0．所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增．故h(2)=1-eq\f(4a,e2)是h(x)在[0,+∞)的最小值．①假設(shè)h(2)>0，即a<eq\f(e2,4)，h(x)在(0,+∞)沒有零點；②假設(shè)h(2)=0，即a=eq\f(e2,4)，h(x)在(0,+∞)只有一個零點；③假設(shè)h(2)<0，即a>eq\f(e2,4)，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一個零點，由〔1〕知，當x>0時，ex=x2，所以h(4a)=1-eq\f(16a3,(e2a)2)>1-eq\f(16a3,(2a)4)=1-eq\f(1,a)>0故h(x)在(2,4a)有一個零點，因此h(x)在(0,+∞)有兩個零點．綜上，f(x)在(0,+∞)只有一個零點時，a=eq\f(e2,4)．〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分。22．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]〔10分〕在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\