2023年全國卷3文科數(shù)學(xué)試題及參考答案

2023年全國卷3文科數(shù)學(xué)試題及其參考答案第11頁〔共11頁〕絕密★啟用前試題類型：新課標Ⅲ2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)參考答案考前須知：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.答復(fù)選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答復(fù)非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1．集合，，那么()A．B．C．D．【答案】C【解析】，【考點】交集2．()A．B．C．D．【答案】D【解析】【考點】復(fù)數(shù)的運算3.中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出局部叫做榫頭，凹進局部叫做卯眼，圖中的木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.假設(shè)如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，那么咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()【答案】A【解析】注意咬合，通俗點說就是小長方體要完全嵌入大長方體中，嵌入后最多只能看到小長方體的一個面，而B答案能看見小長方體的上面和左面，C答案至少能看見小長方體的左面和前面，D答案本身就不對，外圍輪廓不可能有缺失【考點】三視圖4.假設(shè)，那么()A．B．C．D．【答案】B【解析】【考點】余弦的二倍角公式5.某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，那么不用現(xiàn)金支付的概率為()A．B．C．D．【答案】B【解析】【考點】互斥事件的概率6.函數(shù)的最小正周期為()A．B．C．D．【答案】C【解析】，(定義域并沒有影響到周期)【考點】切化弦、二倍角、三角函數(shù)周期7.以下函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的是A．B．C．D．【答案】B【解析】采用特殊值法，在取一點，那么點關(guān)于直線的對稱點為應(yīng)該在所求函數(shù)上，排除A，C，D【考點】函數(shù)關(guān)于直線對稱8．直線分別與軸、軸交于點兩點，點在圓上，那么面積的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】A【解析】，，可設(shè)，那么注：的范圍也可以這樣求：設(shè)圓心為，那么，故，而，【考點】點到直線距離、圓上的點到直線距離最值模型(圓的參數(shù)方程、三角函數(shù))9．的圖像大致為()【答案】D【解析】，排除A、B；，故函數(shù)在單增，排除C【考點】函數(shù)圖像辨識(按照奇偶性、特殊點函數(shù)值正負、趨勢、單調(diào)性(導(dǎo)數(shù))的順序來考慮)10.雙曲線的的離心率為，那么點到的漸近線的距離為A．B．2C．D．【答案】D【解析】漸近線為故【考點】雙曲線的離心率、漸近線之間的互相轉(zhuǎn)化11.的內(nèi)角的對邊分別為，假設(shè)的面積為，那么()A．B．C．D．【答案】C【解析】，而故，【考點】三角形面積公式、余弦定理12.設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，那么三棱錐的體積最大值為()A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，為球心，為等邊的重心，易知底面，當三點共線，即底面時，三棱錐的高最大，體積也最大.此時：，在等邊中，，在中，易知，，故【考點】外接球、椎體體積最值二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分13.向量，，.假設(shè)，那么【答案】【解析】，故【考點】向量平行的坐標運算14.某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其效勞的評價有較大差異，為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方式有簡單隨機抽樣，分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，那么最適合的抽樣方法是______.【答案】分層抽樣【解析】題干中說道“不同年齡段客戶對其效勞的評價有較大差異〞，所以應(yīng)該按照年齡進行分層抽樣【考點】抽樣方法的區(qū)別15.假設(shè)變量滿足約束條件，那么的最大值是_________.【答案】【解析】采用交點法：(1)(2)交點為，(2)(3)交點為，(1)(3)交點為分別代入目標函數(shù)得到，，，故最大值為3(為了嚴謹可以將最大值點代入方程(1)檢驗一下可行域的封閉性)此題也可以用正常的畫圖去做【考點】線性規(guī)劃16.函數(shù)，，那么【答案】【解析】令，那么，，而【考點】對數(shù)型函數(shù)的奇偶性三.解答題：共70分.解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟..第17~21題為必考題，每個試題考生必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17.(12分)等比數(shù)列中，.(1)求的通項公式；(2)記為的前項和.假設(shè)，求.【答案】(1)或；(2)【解析】(1)，，或(2)當時，，解得當時，，得無解綜上：【考點】等比數(shù)列通項公式與前項和公式18.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比擬兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式，根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)第二組生產(chǎn)方式效率更高；(2)見解析；(3)有；【解析】(1)第二組生產(chǎn)方式效率更高；從莖葉圖觀察可知，第二組數(shù)據(jù)集中在70min~80min之間，而第一組數(shù)據(jù)集中在80min~90min之間，故可估計第二組的數(shù)據(jù)平均值要小于第一組數(shù)據(jù)平均值，事實上同理，，故第二組生產(chǎn)方式效率更高(2)由莖葉圖可知，中位數(shù)，且列聯(lián)表為：超過不超過第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由(2)可知，故有的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異【考點】莖葉圖、均值及其意義、中位數(shù)、獨立性檢驗19．(12分)如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在的平面垂直，是上異于的點．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面？說明理由.【答案】(1)見解析；(2)為中點【解析】(1)(這邊只給出了證明的邏輯結(jié)構(gòu)，方便大家閱讀，考試還需要寫一些具體的內(nèi)容)(2)當為的中點時，平面.證明如下連接，交于點，易知為中點，取中點，連接，那么，又平面，平面，所以平面【考點】面面垂直的判定、線面垂直、存在性問題20.(12分)斜率為的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為.(1)證明：；(2)設(shè)為的右焦點，為上一點，且.證明.【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】(1)點差法：設(shè)，那么相減化簡可得：，(此公式可以作為點差法的二級結(jié)論在選填題中直接用)，，易知中點在橢圓內(nèi)，，代入可得或，又，，綜上聯(lián)立法：設(shè)直線方程為，且，聯(lián)立可得，，那么，，兩式相除可得，后續(xù)過程和點差法一樣(如果用算的話比擬麻煩)(2)，，即，，，由(1)得聯(lián)立前方程為，(橢圓的第二定義)(或者代入橢圓方程消掉同理，)而【考點】點差法、直線與橢圓聯(lián)立求解、向量的坐標運算、利用橢圓方程消21.(12分)函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：當時，.【答案】(1)；(2)見解析【解析】(1)因此曲線在點處的切線方程為：(2)當時，(利用不等式消參)令那么，，單調(diào)增，又，故當時，，單減；當時，，單增；故因此【考點】切線方程、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題計分.22.選修：坐標系與參數(shù)方程(10分)在平面直角坐標系中，的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點且傾斜角為的直線與交于兩點.(1)求的取值范圍；(2)求中點的軌跡的參數(shù)方程.【答案】(1)；(2)【解析】(1)當時，直線，符合題意；當時，設(shè)直線，由題意得，即，又，綜上，(2)可設(shè)直線參數(shù)方程為，代入圓的方程可得：即點的軌跡的參數(shù)方程為(也可以設(shè)直線的普通方程聯(lián)