2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題及解析_第1頁
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2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:1-8小題,每題4分,共32分.以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.〔1〕曲線漸進(jìn)線的條數(shù)〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3〔2〕設(shè)函數(shù),其中為正整數(shù),那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔3〕設(shè),,那么數(shù)列有界是數(shù)列收斂的.〔A〕充分必要條件〔B〕充分非必要條件〔C〕必要非充分條件〔D〕非充分也非必要〔4〕設(shè),那么有〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕設(shè)函數(shù)為可微函數(shù),且對(duì)任意的都有,,那么使不等式成立的一個(gè)充分條件是〔A〕,〔B〕,〔C〕,〔D〕,〔6〕設(shè)區(qū)域由曲線,,圍成,那么〔A〕〔B〕2〔C〕〔D〕〔7〕設(shè),,,,其中為任意常數(shù),那么線性相關(guān)的向量組為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕設(shè)為3階矩陣,為3階可逆矩陣,且,,那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題:9-14小題,每題4分。請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。〔9〕設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù),那么____________〔10〕____________〔11〕設(shè),其中函數(shù)可微,那么____________〔12〕微分方程滿足條件的解為____________〔13〕曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是____________〔14〕設(shè)為3階矩陣,,為的伴隨矩陣,假設(shè)交換的第一行與第二行得到矩陣,那么____________三、解答題:15-23,共94分。請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上,解容許寫出文字說明、證明過程或者演算步驟?!?5〕〔此題總分值10分〕函數(shù),記〔Ⅰ〕求的值〔Ⅱ〕假設(shè)當(dāng)時(shí),是的同階無窮小,求。〔16〕〔此題總分值10分〕求的極值〔17〕〔此題總分值12分〕過點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,又切線與軸交于點(diǎn),區(qū)域由與線段及軸圍成,求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積?!?8〕〔此題總分值10分〕計(jì)算二重積分,其中區(qū)域?yàn)榍€與極軸圍成〔19〕〔此題總分值10分〕函數(shù)滿足方程及,〔Ⅰ〕求的表達(dá)式;〔Ⅱ〕求曲線的拐點(diǎn)。〔20〕〔此題總分值10分〕證明:?!?1〕〔此題總分值10分〕〔Ⅰ〕證明方程〔的整數(shù)〕,在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個(gè)實(shí)根;〔Ⅱ〕記〔Ⅰ〕中的實(shí)根為,證明存在,并求此極限?!?2〕〔此題總分值11分〕設(shè),〔Ⅰ〕求;〔Ⅱ〕當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí),線性方程組有無窮多解,并求其通解?!?3〕〔此題總分值11分〕,二次型的秩為2.〔Ⅰ〕求實(shí)數(shù)的值〔Ⅱ〕求利用正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)型。2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題:〔1〕【答案】C【分析】此題考查漸近線的概念與求法.【詳解】水平漸近線:因?yàn)?,所以該曲線只有一條水平漸近線;垂直漸近線:函數(shù)的定義域?yàn)?,又因?yàn)椋?,所以該曲線只有一條垂直漸近線;斜漸近線:因?yàn)?,所以該曲線沒有斜漸近線。故應(yīng)選(C).〔2〕【答案】A【分析】考查導(dǎo)數(shù)定義或求導(dǎo)公式。此題既可以用導(dǎo)數(shù)定義求,也可求出導(dǎo)函數(shù)再代入點(diǎn)。【詳解】法一:由題設(shè)知而法二:因?yàn)樗?,故?yīng)選〔A〕〔3〕【答案】B【分析】此題考查數(shù)列的性質(zhì)和級(jí)數(shù)的性質(zhì)?!驹斀狻糠ㄒ唬撼浞中裕阂?yàn)?,所以?shù)列單調(diào)遞增,又因?yàn)閿?shù)列有界,所以數(shù)列收斂,從而。非必要性:令,那么數(shù)列收斂,而數(shù)列無界;故應(yīng)選〔B〕。法二:充分性:因?yàn)椋詳?shù)列單調(diào)遞增,又因?yàn)閿?shù)列有界,所以數(shù)列收斂,從而級(jí)數(shù)收斂,有級(jí)數(shù)收斂的必要條件可得非必要性:令,那么數(shù)列收斂,而數(shù)列無界;故應(yīng)選〔B〕?!?〕【答案】D【分析】考查定積分性質(zhì)、定積分換元積分法?!驹斀狻糠ㄒ?先比擬與大小由于〔因?yàn)闀r(shí),〕,所以;再比擬與的大小由于〔因?yàn)闀r(shí),〕,所以;最后比擬與的大小由于,所以;故應(yīng)選〔D〕。法二:;,因?yàn)闀r(shí),,所以,并且連續(xù),所以,因此;令,那么從而當(dāng)時(shí),顯然有,所以,,從而,又因?yàn)檫B續(xù),所以有,故。綜上,故應(yīng)選〔D〕?!?〕【答案】A【分析】此題考查偏導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)關(guān)系、單調(diào)的判定定理?!驹斀狻恳?yàn)?,假設(shè),那么;又因?yàn)?,假設(shè),那么,所以當(dāng),時(shí),,故應(yīng)選〔A〕〔6〕【答案】D【分析】二重積分的計(jì)算,首先應(yīng)畫出區(qū)域,觀察其是否具有某種對(duì)稱性,如具有對(duì)稱性,那么應(yīng)先考慮利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)二重積分,然后選擇適當(dāng)坐標(biāo)系化為二次積分計(jì)算?!驹斀狻糠ㄒ唬寒嫵龇e分區(qū)域的草圖如右圖所示。用曲線將劃分為如下圖顯然關(guān)于軸對(duì)稱,關(guān)于軸對(duì)稱,從而由對(duì)稱性可得:故應(yīng)選〔D〕〔7〕【答案】C【分析】考查向量組線性相關(guān)的判定.三個(gè)三維向量構(gòu)成的向量組既可以用行列式是否為零來判是否線性相關(guān),又可以利用矩陣的秩來討論。此題利用行列式判定快速、直接?!驹斀狻恳?yàn)椋?;;。由于為任意常?shù),所以線性相關(guān)。故應(yīng)選〔C〕。〔8〕【答案】B【分析】考查矩陣的運(yùn)算。將用表示,即,然后代入計(jì)算即可?!驹斀狻坑捎?,所以,那么,故故應(yīng)選〔B〕。二、填空題〔9〕【答案】1【分析】考查隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù),常用方法是用微商或隱函數(shù)求導(dǎo)法那么完成?!驹斀狻糠ㄒ唬簩⒋敕匠?,可得。方程兩端對(duì)導(dǎo)數(shù),得,所以,故;方程兩端再對(duì)求導(dǎo)數(shù),得,從而可以得到。法二:將代入方程,可得。方程兩端微分得:,從而,且又,從而?!?0〕【分析】考查定積分的概念及項(xiàng)和數(shù)列求極限?!驹斀狻俊?1〕【答案】0【分析】考查多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒敲椿蛭⒎滞瓿??!驹斀狻糠ㄒ唬河捎冢?,于是。法二:,從而,,故?!?2〕【答案】【分析】將變量當(dāng)做函數(shù),變量做自變量,那么方程為一階線性微分方程,用公式求出通解,代入初始條件即可?!驹斀狻糠匠炭烧頌椋瑢⒖醋鲆蜃兞?,為一階線性非齊次微分方程,通解,即。由,解得,所以所求特解為?!?3〕【答案】【分析】考查曲率的概念與計(jì)算。代入公式計(jì)算便可?!驹斀狻坑捎?,,所以可得,解得,此時(shí),故所求曲線上的點(diǎn)為。〔14〕【答案】【分析】考查伴隨矩陣的性質(zhì)與矩陣行列式的性質(zhì)與運(yùn)算?!驹斀狻坑捎?,,所以。三、解答題〔15〕【分析】〔Ⅰ〕求未定式的極限,主要考查等價(jià)無窮小代換、洛必達(dá)法那么或泰勒公式;〔Ⅱ〕考查無窮小比擬,可用無窮小比擬的定義寫出一個(gè)極限式,由極限的逆問題算出?!驹斀狻俊并瘛撤ㄒ唬悍ǘ骸并颉撤ㄒ唬河捎谟深}設(shè)〔非零常數(shù)〕,即〔非零常數(shù)〕所以要使上極限存在且非零,必有。法二:由于而,所以,綜上可知:,故〔16〕【分析】二元顯函數(shù)求極值,先求出所有駐點(diǎn),然后利用無條件極值的充分條件判定每一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn),是極大還是極小,并求出極值點(diǎn)的函數(shù)值?!驹斀狻坑捎冢夥匠探M:可得:或。所以函數(shù)全部駐點(diǎn)為、。又對(duì)駐點(diǎn),由于,,所以,且,從而為極大值;對(duì)駐點(diǎn),由于,,,所以,且,從而為極小值?!?7〕【分析】此題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用與定積分的幾何應(yīng)用。先根據(jù)題設(shè)求出切點(diǎn),進(jìn)而寫出切線方程求出點(diǎn)坐標(biāo),利用面積和旋轉(zhuǎn)體體積公式求出面積和體積?!驹斀狻吭O(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為,由于,由題意知曲線在點(diǎn)的切線過點(diǎn),從而,解得,故切點(diǎn)的坐標(biāo)是,所以切線方程為,即,易求得切線與軸交點(diǎn),從而區(qū)域的面積或繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積或〔18〕【分析】考查初等函數(shù)的二重積分,化為極坐標(biāo)系下的二次積分計(jì)算?!驹斀狻俊?9〕【分析】〔Ⅰ〕求出方程的通解代入方程確定任意常數(shù)即可,或方程兩端求導(dǎo)數(shù)與解出〔Ⅱ〕將〔Ⅰ〕中得到的函數(shù)表達(dá)式代入,然后利用常規(guī)方法求得拐點(diǎn)。【詳解】〔Ⅰ〕法一:的特征方程為,解得,所以;將代入,得,所以,,故。法二:方程兩端求導(dǎo)數(shù)得將上式代入,可得?!并颉秤捎冢瑥亩鴱亩x域內(nèi)為零或不存在點(diǎn)只有,而當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,,所以?dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,,所以又,所以是曲線的拐點(diǎn)?!?0〕【分析】證明函數(shù)不等式,由于不等式的形狀為,故用最大最小值法完成。【詳解】令,那么從而單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,從而是在區(qū)間內(nèi)的最小值,從而當(dāng)時(shí),恒有,即,亦即〔21〕【分析】〔Ⅰ〕用零點(diǎn)定理證明至少有一個(gè)實(shí)根,用單調(diào)性證明最多有一個(gè)實(shí)根;〔Ⅱ〕用單調(diào)有界準(zhǔn)那么證明?!驹斀狻俊并瘛沉?,所以函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),又因?yàn)?,,由零點(diǎn)定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根;又因?yàn)?,所以在單調(diào)增加,所以方程在內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根;綜上可得方程〔的整數(shù)〕,在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個(gè)實(shí)根?!并颉秤散瘛晨芍?,從而數(shù)列有下界,又因?yàn)?,,所以從而而所以,即?shù)列單減。由單調(diào)有界準(zhǔn)那么可知極限存在。由可知由于,所以,從而,記,那么,從而?!?2〕【分析】考查行列式的計(jì)算、線性方程組解的存在性定理?!并瘛嘲吹谝涣姓归_;〔Ⅱ〕對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等航變換化為階梯型求出,進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形求通解?!驹斀狻俊并瘛场并颉硨?duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,有因?yàn)榫€性方程組有無窮多解,所以,解得。將增廣矩陣進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形,有從而可知導(dǎo)出組的根底解系為,非齊次方程的特解為,所以通解為,其中為任意常數(shù)?!?3〕【分析】考查矩陣秩的概念與求法及其性質(zhì)、特征值與特征向量的求法。〔Ⅰ〕利用秩的性質(zhì)得到矩陣的秩為2,再利用初等行變換將化為階梯型即可求出;〔Ⅱ〕求出矩陣的特征值與全部線性無關(guān)的特征向量,將他們正交化、單位化可得到正交矩陣?!驹斀狻俊并瘛秤捎?,而二次型的秩為,即,故。對(duì)矩陣作初等行變換化為階梯型,有從而。此時(shí)

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