初中數(shù)學幾何模型匯總版

目錄TOC\o"1-3"\h\u310548字模型與飛鏢模型 224277角平分線四大模型 1122990截長補短輔助線模型 217916手拉手模型 2914034三垂直全等模型 3632079中考復習專題(將軍飲馬問題題型歸納) 4511656螞蟻行程 5125634中點四大模型 5928367半角模型 754547相似模型 8231161圓中的輔助線 10926572第十二章輔助圓 120幾何秘籍8字模型與飛鏢模型模型1：角的8字模型如圖所示，AC、BD相交于點O，連接AD、BC．結(jié)論：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．模型分析證法一：∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角，∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．證法二：∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．（1）因為這個圖形像數(shù)字8，所以我們往往把這個模型稱為8字模型．（2）8字模型往往在幾何綜合題目中推導角度時用到．模型實例觀察下列圖形，計算角度：（1）如圖①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；解法一：利用角的8字模型．如圖③，連接CD．∵∠BOC是△BOE的外角，∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC．∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．解法二：如圖④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E．∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．（2）如圖②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．（2）解法一：如圖⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可證：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．②，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如圖⑥，連接DE．∵∠AOE是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝360°．（四邊形內(nèi)角和為360°）練習：1．（1）如圖①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；解：如圖，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案為：180°解法二：（2）如圖②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝．解：由三角形的外角性質(zhì)，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°解法二：2．如圖，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝．解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，

∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°解法二：模型2：角的飛鏢模型如圖所示，有結(jié)論：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．模型分析解法一：如圖①，作射線AD．∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C解法二：如圖②，連接BC．∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.（1）因為這個圖形像飛鏢，所以我們往往把這個模型稱為飛鏢模型．（2）飛鏢模型在幾何綜合題目中推導角度時使用．模型實例如圖，在四邊形ABCD中，AM、CM分別平分∠DAB和∠DCB，AM與CM交于M，探究∠AMC與∠B、∠D間的數(shù)量關(guān)系．解答：利用角的飛鏢模型如圖所示，連接DM并延長．∵∠3是△AMD的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飛鏢模型）∵AM、CM分別平分∠DAB和∠DCB，∴，，∴，∴（四邊形內(nèi)角和360°），∴，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.練習：1．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115o.（飛鏢模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115o.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115o+115o=230o2．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D=.【答案】220°提示：如圖所示，連接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220o模型3邊的“8”字模型如圖所示，AC、BD相交于點O，連接AD、BC．結(jié)論AC+BD>AD+BC．模型分析∵OA+OD>AD①，OB+OC>BC②，由①+②得：OA+OD+OB+OC>BC+AD即：AC+BD>AD+BC.模型實例如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O。求證：(1)AB+BC+CD+AD>AC+BD；(2)AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.證明：(1)∵AB+BC>AC①，CD+AD>AC②，AB+AD>BD③，BC+CD>BD④由①+②+③+④得：2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+AD>AC+BD.(2)∵AD<OA+OD①，BC<OB+OC②，由①+②得：AD+BC<OA+OD+OB+OC．∴AD+BC<AC+BD.（邊的8字模型），同理可證：AB+CD<AC+BD.∴AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4邊的飛鏢模型如圖所示有結(jié)論：AB+AC>BD+CD.模型分析如圖，延長BD交AC于點E?！逜B+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC，DE+EC>CD，∴BE+EC>BD+CD.②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.模型實例如圖，點O為三角形內(nèi)部一點．求證：(1)2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC；(2)AB+BC+AC>AO+BO+CO.證明：(1)∵OA+OB>AB①，OB+OC>BC②，OC+OA>AC③由①+②+③得：2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC(2)如圖，延長BO交AC于點E，∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC.①∵BE+EC=BO+OE+EC，OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，②由①②可得：AB+AC>BO+CO.③（邊的飛鏢模型）同理可得：AB+BC>OA+OC.④，BC+AC>OA+OB.⑤由③+④+⑤得：2(AB+BC+AC)>2(AO+BO+CO).即AB+BC+AC>AO+BO+CO.1．如圖，在△ABC中，D、E在BC邊上，且BD=CE。求證：AB+AC>AD+AE.【答案】證法一：如圖①，將AC平移至BF，AD延長線與BF相交于點G，連接DF。由平移可得AC=BF，∵AC∥BF，∴∠ACE=∠BFD，∵BD=CE∴△AEC≌△FDB，∴DF=AE如圖，延長AD交BF于點G，∵AB+BF=AB+BG+GF.∵AB+BG>AG，∴AB+BF>AG+GF①，∵AG+GF=AD+DG+GF，∵DG+GF>DF，∴AG+GF>AD+DF②，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飛鏢模型）∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.∴AB+AC>AD+AE.證法二：如圖②，將AC平移至DF，連接BF，則AC=DF，∵AC∥DF，∴∠ACE=∠FDB.∵BD=CE，∴△AEC≌△FBD.∴BF=AE.∵OA+OD>AD①，OB+OF>BF②由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD.∴AB+DF>BF+AD.（8字模型）∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD.∴AB+AC>AD+AE.2．觀察圖形并探究下列各問題，寫出你所觀察得到的結(jié)論，并說明理由．(1)如圖①，△ABC中，P為邊BC一點，請比較BP+PC與AB+AC的大小，并說明理由．(2)如圖②，將(1)中的點P移至△ABC內(nèi)，請比較△BPC的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．(3)圖③將(2)中的點P變?yōu)閮蓚€點、，請比較四邊形的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由.【答案】（1）如圖①，BP+PC<AB+AC.理由：三角形兩邊之和大于第三邊。（或兩點之間線段最短）（2）△BPC的周長小于△ABC的周長。證明：如圖②，延長BP交AC于M。在△ABM中，BP+PM<AB+AM①在△PMC中，PC<PM+MC②，由①+②得：BP+PC<AB+AC.∴△BPC的周長小于△ABC的周長。（3）四邊形的周長小于△ABC的周長。證法一：如圖③，分別延長、交于M，由（2）知，BM+CM<AB+AC.又∵<，∴++<BM+CM<AB+AC.∴四邊形的周長小于△ABC的周長.證法二：如圖④，做直線分別交AB、AC于M、N。在△BM中，<BM+①在△AMN中，++<AM+AN②，在△中，<+NC③由①+②+③得：∴++<AB+AC.∴四邊形的周長小于△ABC的周長.角平分線四大模型模型1角平分線的點向兩邊作垂線如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B，則PB＝PA模型分析利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口模型實例（1）如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么點D到直線AB的距離是解答：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即點D到直線AB的距離是2.（2）如圖②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC證明：如圖，過點P作PD⊥AB于點D，PE⊥BC于點E，PF⊥AC于點F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4,∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分線的判定）練習如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC，求證：∠BAD＋∠BCD＝180°證明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延長線于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如圖，△ABC的外角∠ACD∠的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP相交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝.解答：如圖所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延長線于F，作PM⊥AC于M∵BP、CP分別是∠CBA和∠DCA的角平分線，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性質(zhì))∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠FAC的角平分線，∴∠CAP＝∠PAF＝50°模型2截取構(gòu)造對稱全等如圖，P是∠MON的平分線上的一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB＝OA,連接PB，則△OPB≌△OPA模型分析利用角平分線圖形的對稱性，在鐵的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等，利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧模型實例（1）如圖①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB＋PC與AB＋AC的大小，并說明理由解題：PB+PC＞AB+AC

證明：在BA的延長線上取點E,使AE＝AB,連接PE，∵AD平分∠CAE

∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP與△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP≌△ACP（SAS），∴PE＝PC

∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如圖②所示，AD是△ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變，試比較PC－PB與AC－AB的大小，并說明理由解答：AC-AB>PC-PB證明:在△ABC中,在AC上取一點E,使AE=AB，∴AC-AE=AB-AC=BE

∵AD平分∠BAC，∴∠EAP=∠BAP，在△AEP和△ACP中

∴△AEP≌△ABP(SAS)，∴PE=PB，∵在△CPE中

CE>CP-PE，∴AC-AB>PC-PB練習已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分線，AC＝16,AD＝8,求線段BC的長解：如圖在BC邊上截取CE＝AC，連結(jié)DE，在△ACD和△ECD中∴△ACD≌△ECD(SAS)∴AD＝DE，∠A＝∠1，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，∵∠1＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴EBB＝ED，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝24在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC，求證：BC＝AB＋CD證明：在BC上截取BE＝BA，連結(jié)DE，∵BD平分∠ABC,BE＝AB,BD＝BD∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝EQ\F(1,2)(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°，∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD3.如圖所示，在△ABC中，∠A＝100°,∠ABC＝40°,BD是∠ABC的平分線，延長BD至E，使DE＝AD，求證：BC＝AB＋CE證明：在CB上取點F，使得BF＝AB,連結(jié)DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE,∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC∴∠ABD＝20°,則∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是∠MON的平分線上一點，AP丄OP于P點，延長AP交ON于點.B,則△AOB是等腰三角形.模型分析構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的"三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形.進而得到對應(yīng)邊.對應(yīng)角相等.這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來.模型實例如圖.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,C￡丄BD.垂足為E.求證：BD=2C￡.解答：如圖，延長CE、BA交于點F,∵CE丄BD于E,∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED.∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△ABD≌△ACF.∴BD=CF.∵BD平分∠ABC,∴∠CBE=∠FBE.又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴CE=EF.∴BD=2CE.練習1.如圖.在△ABC中.BE是角平分線.AD丄BE.垂足為D.求證：∠2=∠1+∠C.證明：延長AD交BC于F,∵AD⊥BE,∴∠ADB=∠BDF=90°,∵∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD.∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.2.如圖.在△ABC中.∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分線,BE丄AD于點E.求證:.(2)證明:延長BE交AC于點F.∵AD為∠BAC的角平分線,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE,∴∠BAE=∠FAE,則△AEB≌△AEF，∴AB=AF,BE=EF,∠2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC.∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C 即∠1=∠C∴BF=FO=2BE.∴模型4角平分線+平行線模型分析有角平分線時.常過角平分線上一點作角的一邊的平行線.構(gòu)造等腰三角形.為證明結(jié)論提供更多的條件.體現(xiàn)了用平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系.模型實例解答下列問題：(1)如圖①.△ABC中，EF∥BC,點D在EF上,BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB.寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？(2)如圖②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG.DE//BC交AB于點E,交AC于點F，線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.(3)如圖③，BD、CD為外角∠CBM、∠BCN的平分線，DE//BC交AB延長線于點E.交AC延長線于點F,直接寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)關(guān)系？解答：(1)∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB.∴EB=ED.同理：DF=FC.∴EF=ED+DF=BE+CF.(2)圖②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC.∴DE=EB.同理可證：CF=DF∴EF=DE-DF=BE-CF.(3)EF=BE+CF.練習1.如圖.在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點E.過點E作MN∥BC交AB于M點.交AC于N點.若BM+CN=9，則線段MN的長為.解答：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB.∴∠MBE-∠MEB,∠NEO=∠ECN.∴BM=ME,EN=CN.∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.2.如圖.在△ABC中,AD平分∠BAC.點E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求證：EF=AC.證明：如圖，過點C作CM∥AB交AD的延長線于點M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4.∵DE=CD,∠5=∠6,∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM.∵AB//CM,∴∠2=∠4.∵∠1=∠2,∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如圖.梯形ABCD中,AD∥BC,點E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求證：AD=AB-BC.證明：延長AD、BE交于點F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F.∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.∵AE平分∠BAD∴BE=EF.∵∠DEF=∠CEB,∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.截長補短輔助線模型模型：截長補短如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在EF＝AB＋CD，可以考慮截長補短法.截長法：如圖②，在EF上截取EG＝AB，再證明GF＝CD即可.補短法：如圖③，延長AB至H點，使BH＝CD，再證明AH＝EF即可.模型分析截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長，指在長線端中截取一段等于已知的線段；補短，指將一條短線端延長，延長部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程.模型實例例1：如圖，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求證：AB＝AC＋CD.證法一，截長法：如圖①，在AB上取一點E，使AE＝AC，連接DE.∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ACD≌△AED，∴CD＝DE，∠C＝∠3.∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B，∴∠4＝∠B，∴DE＝BE，∴CD＝BE.∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋CD. 證法二，補短法：如圖②，延長AC到點E，使CE＝CD，連接DE.∵CE＝CD，∴∠4＝∠E.∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E.∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B.∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.又∵AE＝AC＋CE，∴∴AB＝AC＋CD.例2：如圖，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于點C，∠A＝∠GBD.求證：AO＋BO＝2CO.證明：在線段AO上取一點E，使CE＝AC，連接DE.∵CD＝CD，DC⊥OA，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠CED.∵∠A＝∠GBD，∴∠CED＝∠GBD，∴1800－∠CED＝1800－∠GBD，∴∠OED＝∠OBD.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD.∵OD＝OD，∴△OED≌△OBD，∴OB＝OE，∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO.跟蹤練習1.如圖，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分線，且AC＝AB＋BD.求∠ABC的度數(shù).【答案】證法一：補短延長AB到點E，使BE＝BD.在△BDE中，∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，∴∠ABC＝∠BDE＋∠E＝2∠E.又∵AC＝AB＋BD，∴AC＝AB＋BE，∴AC＝AE.∵AD是∠BAC的平分線，∠BAC＝600，∴∠EAD＝∠CAD＝600÷2＝300.∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴∠E＝∠C.∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABC＝2∠C.∵∠BAC＝600，∴∠ABC＋∠C＝1800－600＝1200，∴∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800.證法二：在AC上取一點F，使AF＝AB，連接DF.∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠FAD.∵AD＝AD，∴△BAD≌△FAD，∴∠B＝∠AFD，BD＝FD.∵AC＝AB＋BD，AC＝AF＋FC∴FD＝FC，∴∠FDC＝∠C.∵∠AFD＝∠FDC＋∠C，∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝1800，∴∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800.2.如圖，在△ABC中，∠ABC＝600，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB.求證：AC＝AE＋CD.【答案】如圖，在AC邊上取點F，使AE＝AF，連接OF.∵∠ABC＝600，∴∠BAC＋∠ACB＝1800－∠ABC＝1200.∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC＝∠OAB＝，∠OCA＝∠OCB＝，∴∠AOE＝∠COD＝∠OAC＋∠OCA＝＝600，∴∠AOC＝1800－∠AOE＝1200.∵AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF＝∠AOE＝600，∴∠COF＝∠AOC－∠AOF＝600，∴∠COF＝∠COD.∵CO＝CO，CE平分∠ACB，∴△COD≌△COF（ASA），∴CD＝CF.∵AC＝AF＋CF，∴AC＝AE＋CD，3.如圖，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分別平分∠ABC、∠DCB.求證：AB＋CD＝BC.【答案】證法一：截長如圖①，在BC上取一點F，使BF＝AB，連接EF.∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4.∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分別平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠DCB＝×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900.∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠6.∵CE＝CE，∠2＝∠DCE，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD.∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC證法二：補短如圖②，延長BA到點F，使BF＝BC，連接EF.∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF.∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分別平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠DCB＝×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠BEF＝∠BEC＝900，∴∠BEF＋∠BEC＝1800，∴C、E、F三點共線.∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD.∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD.∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD.4.如圖，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于點E.求證：AC－AB＝2BE.【答案】延長BE交AC于點M.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.∵BE⊥AE，∴BM＝2BE.∵∠ABC＝900，∠C＝300，∴∠BAC＝600.∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE.5.如圖，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于點D，CE⊥AD交AD于點F，交AB于點E.求證：AD＝2DF＋CE.【答案】在AD上取一點G，使AG＝CE，連接CG.∵CE⊥AD，∴∠AFC＝900，∠1＋∠ACF＝900.∵∠2＋∠ACF＝900，∴∠1＝∠2.∵AC＝BC，AG＝CE，∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝450，∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450.∵∠2＝∠1＝∠BAC＝22.50，∴∠4＝450－∠2＝22.50，∴∠4＝∠2＝22.50.又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF.∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF.6.如圖，五邊形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800.求證：AD平分∠CDE.【答案】如圖，延長CB到點F，使BF＝DE，連接AF、AC.∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠2＝∠E.∵AB＝AE，∠2＝∠E，BF＝DE，∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4，AF＝AD.∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即FC＝CD.又∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，∴∠F＝∠3.∵∠F＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD平分∠CDE.圖①圖②圖③手拉手模型圖①圖②圖③模型手拉手如圖，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝．結(jié)論：連接BD、CE，則有△BAD≌△CAE．模型分析如圖①，∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC．∵∠BAC＝∠DAE＝，∴∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，圖②、圖③同理可證．（1）這個圖形是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．（2）如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，所以把這個模型稱為手拉手模型．（3）手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)．模型實例例1如圖，△ADC與△EDG都為等腰直角三角形，連接AG、CE，相交于點H，問：（1）AG與CE是否相等？（2）AG與CE之間的夾角為多少度？解答：（1）AG＝CE．理由如下：∵∠ADG＝∠ADC＋∠CDG，∠CDE＝∠GDE＋∠CDG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDE．在△ADG和△CDE中，∴△ADE≌△CDE．∴AG＝CE．（2）∵△ADG≌△CDE，∴∠DAG＝∠DCE．∵∠COH＝∠AOD，∴∠CHA＝∠ADC＝90°．∴AG與CE之間的夾角是90°．例2如圖，在直線AB的同一側(cè)作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等邊三角形，連接AE、CD，二者交點為H．求證：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE＝DQ；（3）∠DHA＝60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）連接GF，GF∥AC；（7）連接HB，HB平分∠AHC．證明：（1）∠ABE＝120°，∠CBD＝120°，在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC．（2）∵△ABE≌△DBC，∴AE＝DC．（3）△ABE≌△DBC，∴∠1＝∠2．∴∠DGH＝∠AGB．∴∠DHA＝∠4＝60°．（4）∵∠5＝180°－∠4－∠CBE＝60°，∴∠4＝∠5．∵△ABE≌△DBC，∴∠1＝∠2．又∵AB＝DB，∴△AGB≌△DFB（ASA）．（5）同（4）可證△EGB≌△CFB（ASA）．圖①（6）如圖①所示，連接GF圖①由（4）得，△AGB≌△DFB．∴BG＝BF．又∵∠5＝60°，∴△BGF是等邊三角形．∴∠3＝60°．∴∠3＝∠4．∴GF∥AC．（7）如圖②所示，過點B作BM⊥DC于M，過點B作BN⊥AE于點N．圖②∵△ABE≌△DBC圖②∴S△ABE＝S△DBC．∴×AE×BN＝×CD×BM．∵AE＝CD，∴BM＝BN．∵點B在∠AHC的平分線上．∴HB平分∠AHC．跟蹤練習：1．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．（1）求證：BE＝BF；（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF度數(shù)．答案：（1）證明：∠ABC＝90°．在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．∴BE＝BF．（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°．∴∠CAE＝30°．∴∠BAE＝45°－30°＝15°．∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°．∴∠ACF＝∠BCF＋∠BCA＝15°＋45°＝60°．2．如圖，△ABD與△BCE都為等邊三角形，連接AE與CD，延長AE交CD于點H．求證：（1）AE＝DC；（2）∠AHD＝60°；（3）連接HB，HB平分∠AHC．答案：（1）∵∠ABE＝∠ABD－∠EBD，∠DBC＝∠EBC－∠EBD，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠DBC．在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC．∴AE＝DC．（2）∵△ABE≌△DBC，∴∠EAB＝∠CDB．又∵∠OAB＋∠OBA＝∠ODH＋∠OHD，∴∠AHD＝∠ABD＝60°．（3）過B作AH、DC的垂線，垂足分別為點M、N．∵△ABE≌△DBC，∴S△ABE＝S△DBC．即AE·BM＝CD·BN．又∵AE＝CD，∴BM＝BN．∴HB平分∠AHC．3．在線段AE同側(cè)作等邊△ABC和等邊△CDE（∠ACE＜120°），點P與點M分別是線段BE和AD的中點．求證：△CPM是等邊三角形．答案：證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE．∴∠ACB＝∠ECD＝60°．∴∠BCE＝∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD．又∵點P與點M分別是線段BE和AD的中點，∴BP＝AM．在△BCP和△ACM中，∴△BCP≌△ACM．∴PC＝MC，∠BCP＝∠ACM．∴∠PCM＝∠ACB＝60°．∴△CPM是等邊三角形．4．將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖①方式放置，∠A＝90°，AD邊與AB邊重合，AB＝2AD＝4．將△ADE繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度（0°＜＜180°），BD的延長線交CE于P．（1）如圖②，求明：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如圖③，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當AD⊥BD時，求CP長．圖圖①圖②圖③答案：（1）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．∵∠DAB＝90°－∠CAD，∠CAE＝90°－∠CAD，∴∠DAB＝∠CAE．∴△ABD≌△ACE．∴BD＝CE．∴∠DBA＝∠ECA．∴∠CPB＝∠CAB．（8字模型）∴BD⊥CE．（2）由（1）得BP⊥CE．又∵AD⊥BD，∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四邊形ADPE為正方形．∴AD＝PE＝2．∴∠ADB＝90°，AD＝2，AB＝4，∴BD＝CE＝．∴CP＝CE－PE＝．三垂直全等模型模型三垂直全等模型如圖：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.結(jié)論：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖支離出來的一部分幾何圖形去求解.圖①和圖②就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖.三垂直圖形變形如下圖③、圖④，這也是由弦圖演變而來的.例1如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求證：AB＋CD＝BC.證明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，∴△ABE≌△ECD.∴AB＝EC，BE＝CD.∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.例2如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，則DE的長為多少？解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA.在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC.∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm.∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm.例3如圖，在平面直角坐標系中，等腰Rt△ABC有兩個頂點在坐標軸上，求第三個頂點的坐標.解答：（1）如圖③，過點B作BD⊥x軸于點D.∴∠BCD＋∠DBC＝90°.由等腰Rt△ABC可知，BC＝AC，∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACO＝90°.∴∠DBC＝∠ACO.在△BCD和△CAO中，∴△BCD≌△CAO.∴CD＝OA，BD＝OC.∵OA＝3，OC＝2.∴CD＝3，BD＝2.∴OD＝5.∴B（－5，2）.（2）如圖④，過點A作AD⊥y軸于點D.在△ACD和△CBO中，∴△ACD≌△CBO.∴CD＝OB，AD＝CO.∵B（－1，0），C（0，3）∴OB＝1，OC＝3.∴AD＝3，OD＝2.∴OD＝5.∴A（3，2）.跟蹤練習1．如圖，正方形ABCD，BE＝CF.求證：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF.∴AE＝BF.（2）∵△ABE≌△BCF.∴∠BAE＝∠CBF.∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF.2．直線l上有三個正方形a、b、c，若a、c的面積分別是5和11，則b的面積是_____.解答：∵a、b、c都是正方形，∴AC＝CD，∠ACD＝90°.∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DCE.在△ABC和△CBE中，∴△ACB≌△CDE.∴AB＝CE，BC＝DE.在Rt△ABC中，＝＋＝＋即＝＋＝5＋11＝16.3．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點P為BC上一動點（BP<CP），分別過B、C作BE⊥AP于E、CF⊥AP于F.（1）求證：EF＝CF－BE；（2）若P為BC延長線上一點，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論.解答：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°.∴∠FAC＋∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF.在△ABE和△CAF中，∴△ABE≌△CAF.∴AE＝CF，BE＝AF.∵EF＝AE－AF，∴EF＝CF－BE.（2）如圖，EF＝BE＋CF.理由：同（1）易證△ABE≌△CAF.∴AE＝CF，BE＝AF.∵EF＝AE＋AF，∴EF＝BE＋CF.4．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，設(shè)∠BCD＝α，以D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE.（1）當α＝45°時，求△EAD的面積；（2）當α＝45°時，求△EAD的面積；（3）當0°<α<90°，猜想△EAD的面積與α大小有無關(guān)系？若有關(guān)，寫出△EAD的面積S與α的關(guān)系式；若無關(guān)，請證明結(jié)論.解答：（1）1；（2）1；（3）過點D作DG⊥BC于點G，過點E作EF⊥AD交AD延長線于點F.∵AD∥BC，DG⊥BC，∴∠GDF＝90°.又∵∠EDC＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD和△EFD中，∴△DCG≌△DEF∴EF＝CG，∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∴BG＝AD＝2，∴CG＝1.∴＝AD·EF＝1.∴△EAD的面積與α大小無關(guān).5．向△ABC的外側(cè)作正方形ABDE、正方形ACFG，過A作AH⊥BC于H，AH的反向延長線與EG交于點P.求證：BC＝2AP.解答：過點G作GM⊥AP于點M，過點E作EN⊥AP交AP延長線于點N.∵四邊形ACFG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°.∴∠CAH＋∠GAM＝90°.又∵AH⊥BC，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.∴∠ACH＝∠GAM.在△ACH和△GAM中，∴△ACH≌△GAM∴CH＝AM，AH＝GM.同理可證△ABH≌△EAN∴BH＝AN，AH＝EN.∴EN＝GM.在△EPN和△GPM中，∴△EPN≌△GPM.∴NP＝MP，∴BC＝BH＋CH＝AN＋AM＝AP＋PN＋AP－PM＝2AP.中考復習專題(將軍飲馬問題題型歸納)一、求線段和最值

(一)兩定一動型

例1:如圖,AM⊥EF,BN⊥EF,垂足為M、N,MN=12m,AM=5m,BN=4m,P是EF上任意一點,則PA+PB的最小值是________m分析:這是最基本的將軍飲馬問題,A、B是定點,P是動點,屬于兩定一動將軍飲馬型,根據(jù)常見的“定點定線作對稱”,可作點A關(guān)于EF的對稱點A/,根據(jù)兩點之間,線段最短,連接A/B,此時A/P+PB即為A/B,最短.而要求A/B,則需要構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理解決

解答:作點A關(guān)于EF的對稱點A/,過點A作A/C⊥BN的延長線于C.易知A/M=AM=NC=5m,BC=9m,A/C=MN=12m,在Rt△A/BC中,A/B=15m,即PA+PB的最小值是15m

變式:如圖,在邊長為2的正三角形ABC中,E,F,G為各邊中點,P為線段EF上一動點,則△BPG周長的最小值為_________分析:考慮到BG為定值是1,則△BPG的周長最小轉(zhuǎn)化為求BP+PG的最小值,又是兩定一動的將軍飲馬型,考慮作點G關(guān)于EF的對稱點,這里有些同學可能看不出來到底是哪個點,我們不妨連接AG,則AG⊥BC,再連接EG,根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”,可得AE=EG,則點A就是點G關(guān)于EF的對稱點.最后計算周長時,別忘了加上BG的長度

解答:

連接AG,易知PG=PA,BP+PG=BP+PA,當B,P,A三點共線時,BP+PG=BA,此時最短,BA=2,BG=1,即△BPG周長最短為3

（二）、一定兩動型例2:如圖,在△ABC中,AB=AC=5,D為BC中點,AD=5,P為AD上任意一點,E為AC上任意一點,求PC+PE的最小值.

分析:這里的點C是定點，P、E是動點，屬于一定兩動的將軍飲馬模型,由于△ABC是等腰三角形，AD是BC中線，則AD垂直平分BC，點C關(guān)于AD的對稱點是點B，PC+PE=PB+PE，顯然當B、P、E三點共線時，BE更短。但此時還不是最短，根據(jù)“垂線段最短”只有當BE⊥AC時，BE最短，求BE時，用面積法即可.解答：作BE⊥AC交于點E,交AD于點P,易知AD⊥BC,BD=3,BC=6,

則AD·BC=BE·AC,

4×6=BE·5，BE=4.8

變式：如圖,BD平分∠ABC,E,F分別為線段BC,BD上的動點,AB=8,△ABC的周長為20,求EF+CF的最小值__________分析:這里的點C是定點,F,E是動點,屬于一定兩動的將軍飲馬模型,我們習慣于“定點定線作對稱”,但這題這樣做,會出現(xiàn)問題.因為點C的對稱點C/必然在AB上,但由于BC長度未知,BC/長度也未知,則C/相對的也是不確定點,因此我們這里可以嘗試作動點E關(guān)于BD的對稱點.

解答:如圖,作點E關(guān)于BD的對稱點E/,連接E/F,則EF=E/F+CF,當E/、F、C三點共線時,E'F+CF=E'C，此時較短.過點C作CE"⊥AB于E",當,E'與E"重合時,E"C最短,E"C為AB邊上的高,E"C=5.(三)、兩點兩動型例3:如圖,∠AOB=30°,0C=5,OD=12,點E,F分別是射線OA,OB上的動點,求CF+EF+DE的最小值.

分析：這里的點C,點D是定點,F,E是動點,屬于兩定兩動的將軍飲馬模型,依舊可以用“定點定線作對稱來考慮.作點C關(guān)于OB的對稱點,點D關(guān)于OA的對稱點.解答:作點C關(guān)于OB的對稱點C′,點D關(guān)于0A的對稱點D′,連接C′D′.CF+EF+DE=C′F+EF+D′E,當C′,F,E,D′四點共線時,CF+EF+DE=C′D′最短.易知∠D'OC′=90°,OD′=12,OC′=5,C′D'=13,CF+EF+DE最小值為13.變式：如圖,斯諾克比賽桌面AB寬1.78m,白球E距AD邊0.22m,距CD邊1.4m,有一顆紅球F緊貼BC邊,且距離CD邊0.1m,若要使白球E經(jīng)過邊AD,DC,兩次反彈擊中紅球F,求白球E運動路線的總長度.

分析:本題中,點E和點F是定點,兩次反彈的點雖然未知,但我們可以根據(jù)前幾題的經(jīng)驗作出,即分別作點E關(guān)于AD邊的對稱點E',作點F關(guān)于CD邊的對稱點F',即可畫出白球E的運動路線,化歸為兩定兩動將軍飲馬型.

解答:作點E關(guān)于AD邊的對稱點E′,作點F關(guān)于CD邊的對稱點F′,連接E′F',交AD于點G,交CD于點H,則運動路線長為EG+GH+HF長度之和,即E′F′長,延長E′E交BC于N,交AD于M,易知E′M=EM=0.22m,E′N=1.78+0.22=2m,NF′=NC+CF'=1.4+0.1=1.5m,則Rt△E′NF′中,E′F′=2.5m,即白球運動路線的總長度為2.5m.

小結(jié):以上求線段和最值問題,幾乎都可以歸結(jié)為“兩定一動”、”一定兩動”、“兩定兩動”類的將軍飲馬型問題,基本方法還是“定點定線作對稱”,利用“兩點之間線段最短“垂線段最短"的2條重要性質(zhì),將線段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊,或者一邊上的高,借助勾股定理,或者面積法來求解.

當然,有時候,我們也需學會靈活變通,定點對稱行不通時,嘗試作動點對稱.

(二)求角度

例4：P為∠AOB內(nèi)一定點,M、N分別為射線OA、OB上一點,當△PMN周長最小時,∠MPN=80°.

(1)∠AOB=_________°

(2)求證:OP平分∠MPN分析:這又是一定兩動型將軍飲馬問題,我們應(yīng)該先將M,N的位置找到,再來思考∠AOB的度數(shù),顯然作點P關(guān)于OA的對稱點P′,關(guān)于OB的對稱點P”,連接P′P",其與OA交點即為M,與OB交點即為N,如下圖,易知∠DPC與∠AOB互補,則求出∠DPC的度數(shù)即可解答:(1)法1:如圖,∠1+∠2=100°,∠1=∠MP′P+∠3=2∠3,∠2=∠NP"P+∠4=2∠4,則∠3+∠4=50°,∠DPC=130°,∠AOB=50°再分析:考慮到第二小問要證明OP平分∠MPN,我們就連接OP,則要證∠5=∠6,顯然很困難,這時候,考慮到對稱性,我們再連接OP',OP",則∠5=∠7,∠6=∠8,問題迎刃而解.解答:(1)法2易知OP′=0P",∠7+∠8=∠5+∠6=80°,∠P′OP”=100°,由對稱性知,∠9=∠11,∠10=∠12,∠AOB=∠9+∠10=50°(2)由OP′=OP",∠P′OP"=100°知,∠7=∠8=40°∠5=∠6=40°,OP平分∠MPN變式:如圖,在五邊形ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC、DE上分別找一點M、N,使得△AMN的周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為_______分析:這又是典型的一定兩動型將軍飲馬問題,必然是作A點關(guān)于BC、DE的對稱點A/、A",連接A/A",與BC、DE的交點即為△AMN周長最小時M、N的位置.

解答:如圖

∵∠BAE=136°,

∴∠MA/A+∠NA"A=44°

由對稱性知,

∠MAA/=∠MA/A,

∠NAA"=∠NA"A

∠AMN+∠ANM=2∠MA/A+2∠NA"A=88°

本講思考題:

1.如圖所示,正方形ABCD的邊長為6,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為_____

2.如圖,在矩形ABCD中AB=4,AD=3.P為矩形ABCD內(nèi)一點,若矩形ABCD面積為△PAB面積的4倍,則點P到A,B兩點距離之和PA+PB的最小值為________螞蟻行程模型立體圖形展開的最短路徑模型分析上圖為無底的圓柱體側(cè)面展開圖，如圖螞蟻從點A沿圓柱表面爬行一周。到點B的最短路徑就是展開圖中AB′的長，。做此類題日的關(guān)鍵就是，正確展開立體圖形，利用“兩點之間線段最短”或“兩邊之和大于第三邊”準確找出最短路徑。模型實例例1．有一圓柱體油罐，已知油罐底面周長是12m，高AB是5m，要從點A處開始繞油罐一周建造房子，正好到達A點的正上方B處，問梯子最短有 多長？例2．如圖，一直圓錐的母線長為QA=8，底面圓的半徑，若一只小螞蟻從A點出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點，則螞蟻爬行的最短路線長是。例3．已知長方體的長、寬、高分別為30cm、20cm、10cm，一只螞蟻從A處出發(fā)到B處覓食，求它所走的最短路徑。（結(jié)果保留根號）跟蹤練習1．有一個圓錐體如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，若螞蟻欲沿側(cè)面爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離。2．如圖，圓錐體的高為8cm，底面周長為4cm，小螞蟻在圓柱表面爬行，從A點到B點，路線如圖，則最短路程為。3．桌上有一個圓柱形無蓋玻璃杯，高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口距離3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲22杯子外壁，當它正好在蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖，問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。4．已知O為圓錐頂點，OA、OB為圓錐的母線，C為OB的中點，一只小螞蟻從點C開始沿圓錐側(cè)面爬行到點A，另一只小螞蟻也從C點出發(fā)繞著圓錐側(cè)面爬行到點B，它們所爬行的最短路線的痕跡如圖所示，若沿OA剪開，則得到的圓錐側(cè)面展開圖為（）ABCD5．如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬行到點B，如果它運動的路徑是最短的，則最短距離為。6．如圖是一個邊長為6的正方體木箱，點Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只螞蟻從P點出發(fā)沿木箱表面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路線。7．如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm、3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物。請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點的最短路程是多少？中點四大模型模型1倍長中線或類中線（與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形模型分析如圖①，AD是△ABC的中線，延長AD至點E使DE＝AD，易證：△ADC≌△EDB（SAS）．如圖②，D是BC中點，延長FD至點E使DE＝FD，易證：△FDB≌△EDC（SAS）當遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對已知條件中的線段進行轉(zhuǎn)移．模型實例如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，AF＝EF，求證：AC＝BE．1．如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC邊上中線AD的范圍．解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝20，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：20－12＜AE＜20＋12，

∴4＜AD＜16，故AD的取值范圍為4＜AD＜16．2．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求證：AD2＝(AB2＋AC2)．證明：如圖，過點B作AC的平行線交ND的延長線于E，連ME．∵BD＝DC，∴ED＝DN．在△BED與△CND中，∵∴△BED≌△CND（SAS）．∴BE＝NC．∵∠MDN＝90°，∴MD為EN的中垂線．∴EM＝MN．∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2，∴△BEM為直角三角形，∠MBE＝90°．∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°．∴∠BAC＝90°．∴AD2＝(BC)2＝（AB2＋AC2）．模型2已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”．模型分析等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到角相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當看見等腰三角形的時候，就應(yīng)想到：“邊等、角等、三線合一”．模型實例如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M為BC的中點，MN⊥AC于點N，求MN的長度．解答：連接AM．∵AB＝AC＝5，BC＝6，點M為BC中點，∴AM⊥BC，BM＝CM＝BC＝3．∵AB＝5，∴AM＝．∵MN⊥AC，∴S△ANC＝MC·AM＝AC·MN．即：×3×4＝×5×MN．∴MN＝跟蹤練習1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求證：∠EDB＝∠FDC．證明：連結(jié)AD，∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△AED與Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）∴∠ADE＝∠ADF，∵∠ADB＋∠ADC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC．2．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F．（1）當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DF⊥AC于E時（如圖①），求證：S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；（2）當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖②和圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需要證明．解：（1）連接CD；如圖2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE＋S△BDF＝S△ABC；（2）不成立；S△DEF?S△CEF＝S△ABC；理由如下：連接CD，如圖3所示：同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五邊形DBFEC，＝S△CFE＋S△DBC，＝S△CFE＋S△ABC，∴S△DEF－S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是：S△DEF－S△CEF＝S△ABC．模型3已知三角形一邊的中點，可考慮中位線定理模型分析在三角形中，如果有中點，可構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DE∥BC，且DE＝BC來解題．中位線定理中既有線段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系，該模型可以解決角問題，線段之間的倍半、相等及平行問題．模型實例如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M，N．求證：∠BME＝∠CNE．解答如圖，連接BD，取BD的中點H，連接HE、HF．∵E、F分別是BC、AD的中點，∴FH＝AB，F(xiàn)H∥AB，HE＝DC，HE∥NC．又∵AB＝CD，∴HE＝HF．∴∠HFE＝∠HEF．∵FH∥MB，HE∥NC，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠FEH．∴∠BME＝∠CNE．練習：1.（1）如圖1，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分別為D，E，連接DE，求證：DE∥BC，DE=（AB+BC+AC）；（2）如圖2，BD，CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立？（3）如圖3，BD是△ABC的內(nèi)角平分線，CE是△ABC的外角平分線，其他條件不變，DE與BC還平行嗎？它與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中一種情況進行證明.1.解答（1）如圖①，分別延長AE，AD交BC于H，K.在△BAD和△BKD中，∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB.同理可證，AE=HE，AC=HC.∴DE=HK.又∵HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.∴DE=（AB+AC+BC）.（2）猜想結(jié)果：圖②結(jié)論為DE=（AB+AC-BC）證明：分別延長AE，AD交BC于H，K.在△BAD和△BKD中∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB同理可證，AE=HE，AC=HC.∴DE=HK.又∵HK=BK+CH-BC=AB+AC-BC∴DE=（AB+AC-BC）（3）圖③的結(jié)論為DE=（BC+AC-AB）證明：分別延長AE，AD交BC或延長線于H，K.在△BAD和△BKD中，∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB.同理可證，AE=HE，AC=HC.∴DE=KH.又∵HK=BH-BK=BC+CH-BK=BC+AC-AB∴DE=（BC+AC-AB）.2.問題一：如圖①，在四邊形ABCD中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，連接EF，分別交DC，AB于點M，N，判斷△OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論.問題二：如圖②，在△ABC中，AC>AB，D點在AC上，AB=CD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并證明.2.證明（1）等腰三角形（提示：取AC中點H，連接FH，EH，如圖①）（2）△AGD是直角三角形如圖②，連接BD，取BD的中點H，連接HF，HE.∵F是AD的中點，∴HF∥AB，HF=AB.∴∠1=∠3.同理，HE∥CD，HE=CD，∴∠2=∠EFC，∴AB=CD，∴HF=HE.∴∠1=∠2.∵∠EFC=60°，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.∴△AGF是等邊三角形.∴AF=FG.∴GF=FD.∴∠FGD=∠FDG=30°.∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形.模型4已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構(gòu)造斜邊中線模型分析在直角三角形中，當遇見斜邊中點時，經(jīng)常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即CD=AB，來證明線段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個等腰三角形：△ACD和△BCD，該模型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應(yīng)用.模型實例如圖，在△ABC中，BE，CF分別為AC，AB上的高，D為BC的中點，DM⊥EF于點M，求證：FM=EM.證明連接DE，DF.BE，CF分別為邊AC，AB上的高，D為BC的中點，DF=BC，DE=BC.DF=DE，即△DEF是等腰三角形.DM⊥EF，點M是EF的中點，即FM=EM.練習：1.如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點，AB=10，求DM的長度.1.解答取AB中點N，連接DN，MN.在Rt△ADB中，N是斜邊AB上的中點，∴DN=AB=BN=5.∴∠NDB=∠B.在△ABC中，M，N分別是BC，AB的中點，∴MN∥AC∴∠NMB=∠C，又∵∠NDB是△NDM的外角，∴∠NDB=∠NMD+∠DNM.即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM.又∵∠B=2∠C，∴∠DNM=∠C=∠NMD.∴DM=DN.∴DM=5.2.已知，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，連接DE，M為DE的中點，連接MB，MC，求證：MB=MC.2.證明延長BM交CE于G，∵△ABD和△ACE都是直角三角形，∴CE∥BD.∴∠BDM=∠GEM.又∵M是DE中點，即DM=EM，且∠BMD=∠GME，∴△BMD≌△GME.∴BM=MG.∴M是BG的中點，∴在Rt△CBG中，BM=CM.3.問題1：如圖①，三角形ABC中，點D是AB邊的中點，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn).AE、BF交于點M，連接DE，DF，若DE=kDF，則k的值為.問題2：如圖②，三角形ABC中，CB=CA，點D是AB邊的中點，點M在三角形ABC內(nèi)部，且∠MAC=∠MBC，過點M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接DE，DF，求證：DE=DF.問題3：如圖③，若將上面問題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.3.解答∵（1）AE⊥BC，BF⊥AC，∴△AEB和△AFB都是直角三角形，∵D是AB的中點，∴DE=AB，DF=AB.∴DE=DF.∵DE=KDF，∴k=1.（2）∵CB=CA，∴∠CBA=∠CAB.∵∠MAC=∠MBC，∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC，即∠ABM=∠BAM.∴AM=BM.∵ME⊥BC，MF⊥AC，∴∠MEB=∠MFA=90°.又∵∠MBE=∠MAF，∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE=AF.∵D是AB的中點，即BD=AD，又∵∠DBE=∠DAF，∴△DBE≌△DAF（SAS）∴DE=DF.（3）DE=DF.如圖，作AM的中點G，BM的中點H，連DG，F(xiàn)G，DH，EH.∵點D是邊AB的中點，∴DG∥BM，DG=BM.同理可得：DH∥AM，DH=AM.∵ME⊥BC于E，H是BM的中點.∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH.∴∠HBE=∠HEB.∴∠MHE=2∠HBE.又∵DG=BM，HE=BM，∴DG=HE.同理可得：DH=FG.∠MGF=2∠MAC.∵DG∥BM，DH∥GM，∴四邊形DHMG是平行四邊形.∴∠DGM=∠DHM.∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，∠MBC=∠MAC，∴∠MGF=∠MHE.∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.∴∠DGF=∠DHE.在△DHE與△FGD中∴△DHE≌△FGD（SAS）∴DE=DF.半角模型模型概述：過多邊形的某個頂點引兩條射線，使這兩條射線的夾角為該頂角的一半 思想方式：通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化基本模型：一、正方形含半角如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=45°，證明以下結(jié)論：⑴EF=BE+DF；⑵△CEF的周長是正方形邊長的2倍；⑶FA平分∠DFE，EA平分∠BEF；⑷【小結(jié)】變式訓練1-1如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD邊上的點,∠EAF=45°.(1)如圖(1)，試判斷EF，BE，DF間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖(2)，若AH⊥EF于點H，試判斷線段AH與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。變式訓練1-2探究：(1)如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF=45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：___；(2)如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點,且∠EAF=∠BAD”,則(1)問中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；(3)在(2)問中,若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),當點分別E.

F運動到BC、CD延長線上時,如圖3所示,其它條件不變,則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若變化，請給出結(jié)論并予以證明。二、等腰直角三角形含半角如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C作∠DCE=45°，交AB邊于D，E兩點。證明：⑴△ACE∽△BDC；⑵【小結(jié)】變式訓練2-1如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C作∠DCE=45°，交AB邊于D，E兩點。⑴若AD=6，AE=16，則BE=⑵若AB=12，DE=5，AD＜BE，則BE=⑶若，BD=5，則AE=變式訓練2-2在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N,D為△ABC外一點,且∠MDN=60°,∠BDC=120°，BD=DC.探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系。(1)如圖1,當點M、N邊AB、AC上,且DM=DN時,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是___;此時QL=___；(2)如圖2,點M、N邊AB、AC上,且當DM≠DN時,猜想(1)問的兩個結(jié)論還成立嗎?寫出你的猜想并加以證明；(3)如圖3,當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時,若AN=x,則Q=___(用x、L表示).變式訓練2-3(1)如圖1,點E.

F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點,∠EAF=45°，連接EF，則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD.連結(jié)BD,交AE、AF于點M、N,且MN、BM、DN滿足，請證明這個等量關(guān)系；(2)在△ABC中，AB=AC，點D.

E分別為BC邊上的兩點。①如圖2,當∠BAC=60°,∠DAE=30°時，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是___；②如圖3,當∠BAC=α,(0°<α<90°),∠DAE=α時,BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是___.[參考：】中考真題如圖,已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,點E.

F在AB上,∠ECF=45°.(1)求證：△ACF∽△BEC；(2)設(shè)△ABC的面積為S，求證：AF?BE=2S；(3)試判斷以線段AE