高中數(shù)學(xué) 2.3.1向量數(shù)乘運(yùn)算 北師大必修4

2.3.1從速度倍數(shù)到數(shù)乘向量.復(fù)習(xí)1:向量的加法BA如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.bao.O.Ca+bbaABba+ba1.向量加法三角形法則:2.向量加法平行四邊形法則:特點(diǎn):首尾相接，首尾連特點(diǎn):共起點(diǎn)2023/1/17.復(fù)習(xí)2:向量的減法o.BAa-b如圖,已知向量a和向量b,作向量a-b.aba-bo.BAab特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減數(shù)2023/1/17.實(shí)際背景在物理中位移與速度的關(guān)系：s=vt，力與加速度的關(guān)系：f=ma.

其中位移、速度，力、加速度都是向量，而時(shí)間、質(zhì)量都是數(shù)量.講授新課思考題1:已知向量如何作出和OABCNMQP記:即:同理可得:思考題2:向量與向量有什么關(guān)系?向量與向量有什么關(guān)系?(1)向量的方向與的方向相同,向量的長(zhǎng)度是的3倍,即(2)向量的方向與的方向相反,向量的長(zhǎng)度是的3倍,即.定義:特別地，當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0(2)方向當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a方向相反；(1)長(zhǎng)度|λa|=|λ|·|a|

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作λa。它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：2023/1/17.練習(xí)2:結(jié)論:2a+2b2b(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比較。ab結(jié)論:2a+2b=2(a+b)a+b6a3(2a)a2(a+b)2a3(2a)=6a(2+4)a=2a+4a(1)根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比較。①λ(μa)=(λμ)a

運(yùn)算律:

設(shè)a、b為任意向量，λ、μ為任意實(shí)數(shù)，則有：②(λ+μ)a=λa+μa

③λ(a+b)=λa+λb2(a+b)2023/1/17.數(shù)乘向量的運(yùn)算律：結(jié)合律第一分配律第二分配律.練習(xí)3:解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=計(jì)算：(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(3a-2b+c)(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12a

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算。對(duì)于任意的向量a,b以及任意實(shí)數(shù)λ,μ,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b2023/1/17.思考:判定定理:當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b=μa;當(dāng)a與b反方向時(shí)，有b=-μa，所以始終有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa。1、如果b=λa,那么，向量a與b是否共線？2、如果非零向量a與b共線，那么是否有λ，使b=λa？

對(duì)于向量a(a≠0)、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa,那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量a與b共線。

若向量a與b共線，a≠0，且向量b的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且2023/1/17.判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa

，則向量b與非零向量a共線2)b

可以是零向量嗎?思考:1)a為什么要是非零向量?向量b與非零向量a共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.性質(zhì)定理：向量共線.例題1:AEDCB解：

=3AC

=3(AB+BC)∵AB+BC=AC=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC與AE共線如圖，已知AD=3AB、DE=3BC，試判斷AC與AE是否共線?變：若B、C分別是AD、AE的三等分點(diǎn)，證明：BC‖DE。2023/1/17.例題2:解：作圖如右OABC依圖猜想:A、B、C三點(diǎn)共線∴

A、B、C三點(diǎn)共線.abbb已知任意兩非零向量a、b，試作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ba∵AB=OB-OA∴

AC=2AB又

AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB與AC有公共點(diǎn)A，2023/1/17.

APBC例3ABC平面內(nèi)的三點(diǎn)，切A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在AB上，則存在實(shí)數(shù)λ，使得

PC=λPA+(1-λ)PB.小結(jié)回顧:

二、知識(shí)應(yīng)用：

1.證明向量共線；

2.證明三點(diǎn)共線:AB=λBCA,B,C三點(diǎn)共線；

3.證明兩直線平行:AB=λCDAB∥CDAB、CD不重合直線