高中數(shù)學(xué) 1．1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 新人教A選修12

人教A版高中數(shù)學(xué)選修1－2多思、創(chuàng)新、融合.回歸分析的基本思想.通過對必修的學(xué)習(xí)，我們知道，變量之間存在關(guān)系時(shí)，有兩種關(guān)系：確定性關(guān)系非確定性關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是非常明確的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系卻是一種變化的，通過《數(shù)學(xué)3》的學(xué)習(xí)我們知道，回歸分析(regressionanalysis)是相關(guān)關(guān)系的一種分析方法，它是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析一般步驟為：.散點(diǎn)圖求回歸方程利用回歸方程預(yù)報(bào)下面我們通過實(shí)際案例。進(jìn)一步學(xué)習(xí)回歸分析的基本思想及其應(yīng)用.例1.從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生。其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表所示：編號12345678身高／cm165165157170175165155170體重／kg4857505464614359求根據(jù)一名大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名172cm的女大學(xué)生的體重。.解利用前面的知識我們首先作身高x和體重y的散點(diǎn)圖：.從圖可以看出，樣本點(diǎn)的分布有比較好的線性關(guān)系，因此可以用線性回歸來刻畫它們之間的關(guān)系.會(huì)求它們的方程嗎?事實(shí)上,從散點(diǎn)圖可以看出,樣本點(diǎn)并不是分布在這條直線上,而是分布在它的兩邊,所以嚴(yán)格來說：y=bx+a不是真正的表示它們之間的關(guān)系，這時(shí)我們把身高和體重的關(guān)系做一下調(diào)整來模擬回歸關(guān)系：Y=bx+a+e其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差如何產(chǎn)生的？.身高X(cm)體重y(kg)飲食習(xí)慣運(yùn)動(dòng)習(xí)慣質(zhì)量誤差.線性回歸模型y=bx+a+e與我們了的一次函數(shù)模型不同之處在于多了一個(gè)隨機(jī)誤差e，y的值有它們一起決定解釋變量x預(yù)報(bào)變量y隨機(jī)誤差e如何估計(jì)a，b，e？.1.a，b的估計(jì)：a,b的估計(jì)和最小二乘法估計(jì)一樣其中稱為樣本的中心.2.e的估計(jì)y=0.849x-85.712通過《數(shù)學(xué)3》的學(xué)習(xí)我們知道，它們之間是正相關(guān)的，我們用它們的相關(guān)系數(shù)r來衡量它們之間的相關(guān)性的強(qiáng)弱.在上面的例子中我們假設(shè)體重與身高沒有關(guān)系即：體重都為：則，她們身高－體重的散點(diǎn)圖應(yīng)該在一條水平直線上：.事實(shí)上，并非如此，它們和45.5之間存在差別，這時(shí)我們就引入隨機(jī)誤差，利用隨機(jī)誤差和解釋變量共同來預(yù)報(bào)變量y把所有的這種效應(yīng)利用總體偏差平方和合并成一個(gè)數(shù)總體偏差平方和解釋變量隨機(jī)誤差？？.我們現(xiàn)在要弄清楚這個(gè)總的效應(yīng)中，有多少來自解釋變量，有多少來自隨機(jī)誤差，即：哪一個(gè)效應(yīng)起決定性作用？怎樣去刻畫每個(gè)效應(yīng)呢？根據(jù)我們在《數(shù)學(xué)3》總的知識，我們知道：每個(gè)點(diǎn)與回歸方程的差異我們可以用來表示，記作：(殘差(residual))它剛好可以表示隨機(jī)誤差的效應(yīng)。為什么說可以用殘差來.為了回歸的準(zhǔn)確和計(jì)算的方便我們引入殘差平方和(residualsumofsquares)它代表隨機(jī)誤差的效應(yīng)求出了隨機(jī)誤差的效應(yīng)后，我們就比較容易得到解釋變量的效應(yīng)了。同學(xué)們知道怎樣求嗎？解釋變量的效應(yīng)＝總體偏差平方和－殘差平方和回歸平方和(regressionsunofsquares).你會(huì)計(jì)算上面的總體偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和嗎？354128.361225.639.有了這些評估效應(yīng)的方法，我們就可以利用它們來刻畫總體效應(yīng)，事實(shí)上，為了將我們的計(jì)算簡化，我們又引入相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果：殘差平方和總體偏差平方和顯然，當(dāng)R2的值越大，說明殘差所占的比例越小，回歸效果約好；反之,回歸效果越差。一般的，當(dāng)R2越接近于1,說明解釋變量和預(yù)報(bào)變量之間的相關(guān)性越強(qiáng),如果同一個(gè)問題,采用不同的回歸方法分析,我們可以通過選擇R2大的來作為回歸模型.一般方法：1.利用散點(diǎn)圖觀察兩個(gè)變量是否線性相關(guān)2.利用殘差來判斷模型擬合的效果(殘差分析)利用殘差圖來分析數(shù)據(jù)，對可疑數(shù)據(jù)(殘差較大的數(shù)據(jù))進(jìn)行重新調(diào)查，有錯(cuò)誤就更正，然后重新利用回歸模型擬合，如果沒有錯(cuò)誤，則需要找其他原因。.殘差圖：編號12345678身高／cm165165157170175165155170體重／kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382問題數(shù)據(jù)越窄越好.說明1.回歸方程只適合對所研究總體的估計(jì)2.回歸方程是對數(shù)據(jù)的模擬，數(shù)據(jù)的改變，可能會(huì)導(dǎo)致回歸方程的變化3.不同的回歸樣本數(shù)據(jù)，有不同的回歸方程，也適合不同的回歸總體，4.回歸方程是預(yù)報(bào)變量的平均值，而不是精確值5.回歸的好壞可以由相關(guān)指數(shù)來評價(jià).建立回歸方程的一般步驟：1.確定變量2.制作散點(diǎn)圖，觀察是否相關(guān)3.確定回歸方程的類型(線性回歸、指數(shù)回歸、對數(shù)回歸等)4.利用公式確定回歸參數(shù)5.利用殘差分析回歸是否合理或模型是否合適.例2一只紅蛉蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)，請建立y與x建德回歸方程溫度x／℃21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325解1.制作散點(diǎn)圖.2.觀察模擬樣本點(diǎn)不能直接利用線性回歸,根據(jù)我們的函數(shù)知識,它應(yīng)該是一個(gè)指數(shù)模型:y=c1ec2x其中c1c2為參數(shù)或二次函數(shù)模型,根據(jù)對數(shù)回歸知識我們知道:令z=lny將其變換到樣本點(diǎn)的分布直線z=a+bxx21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784z=0272x-3.843會(huì)求著條直線嗎?則:y=e0.272x-3.843.2.我們認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某二次函數(shù)y=c3x2+c4附近，c3c4為參數(shù)，則，令t＝x2則：y=c5t+c6其中c5c6為參數(shù)t44152962572984110241225y711212466115325y=0.367t-202.54不適合利用線性回歸為什么這樣說？.4.殘差分析：X21232527293235合計(jì)(殘差平方和)R2Y711212466115329e(1)0.518-0.1671.760-9.1498.889-14.15332.9281450.6730.98e(2)47.69319.397