高中數(shù)學(xué)2.3.3直線與圓的位置關(guān)系一 新人教B必修2

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系

.一．直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種：如圖所示.（1）直線與圓相交：有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）直線與圓相切：有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）直線與圓相離：沒有公共點(diǎn)..二．直線與圓的位置關(guān)系的判定如果直線l和圓C的方程分別為：Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0.則直線與圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法：（1）代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系：如果直線l和圓C有公共點(diǎn)，由于公共點(diǎn)同時(shí)在直線l和圓C上，所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程的公共解；.反之如果這兩個(gè)方程有公共解，那么，以公共解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線l和圓C的公共點(diǎn).由l和C的方程聯(lián)立方程組可以用消元法將方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x（或y）的一元二次方程，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（△>0），則直線與圓相交；.若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（△=0），則直線與圓相切；若方程無(wú)實(shí)數(shù)根（△<0），則直線與圓相離.（2）幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系：如果直線l和圓C的方程分別為：Ax+By+C=0，(x－a)2+(y－b)2=r2..可以用圓心C(a，b)到直線的距離d=與圓C的半徑r的大小關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系。若d<r時(shí)，直線l和圓C相交；若d=r時(shí)，直線l和圓C相切；若d>r時(shí)，直線l和圓C相離..例1．已知圓的方程是x2+y2=2，直線方程是y=x+b，當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)？只有一個(gè)公共點(diǎn)？沒有公共點(diǎn)？解法1：所求曲線公共點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí)，方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解？有兩組相同的實(shí)數(shù)解？無(wú)實(shí)數(shù)解的問題。.②代入①，整理得2x2+2bx+b2－2=0，③方程③的判別式△=(2b)2－4×2(b－2)=－4(b+2)(b－2)，當(dāng)－2<b<2時(shí)，△>0，方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，因此直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b=2或b=－2時(shí)，△=0，方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，因此直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b<－2或b>2時(shí)，△<0，方程組沒有實(shí)數(shù)解，因此直線與圓沒有公共點(diǎn)；.解法2：圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn)的問題，可以轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí)，圓心到直線的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問題。圓的半徑r=，圓心(0，0)到直線y=x+b的距離為，當(dāng)d<r時(shí)，即－2<b<2時(shí)，圓與直線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；.當(dāng)d=r時(shí)，即b=2或b=－2時(shí)，圓與直線相切，直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d>r時(shí)，即b<－2或b>2時(shí)，圓與直線相離，直線與圓沒有公共點(diǎn)。.例2．已知圓的方程是x2+y2=r2，求過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程。解：如果x0≠0且y0≠0，則直線OM的方程為y=，從而過M點(diǎn)的圓的切線的斜率為，因此所求的圓的切線方程為.化簡(jiǎn)得x0x+y0y=x02+y02.因?yàn)辄c(diǎn)(x0，y0)在圓上，所以x02+y02=r2.所以過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.如果x0=0，或y0=0，我們?nèi)菀昨?yàn)證，過點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程也可以表示為x0x+y0y=r2的形式。因此，所求的切線方程為x0x+y0y=r2..三.圓的切線的求法：直線與圓相切，切線的求法：（1）當(dāng)點(diǎn)(x0，y0)在圓x2+y2=r2上時(shí)，切線方程為x0x+y0y=r2；（2）若點(diǎn)(x0，y0)在圓(x－a)2+(y－b)2=r2上時(shí)，切線方程為

(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2；.（3）斜率為k且與圓x2+y2=r2相切的切線方程為；斜率為k且與圓(x－a)2+(y－b)2=r2相切的切線方程的求法：先設(shè)切線方程為y=kx+m，然后變成一般式kx－y+m=0，利用圓心到切線的距離等于半徑來列出方程求m；.（4）點(diǎn)(x0，y0)在圓外面，則切線方程為y－y0=k(x－x0)，再變成一般式，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線距離等于半徑，解出k.

注意若此方程只有一個(gè)實(shí)根，則還有一條斜率不存在的直線，務(wù)必要補(bǔ)上.四．直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式平面幾何法求弦長(zhǎng)公式：如圖所示，直線l與圓相交于兩點(diǎn)A、B，線段AB的長(zhǎng)即為直線l與圓相交的弦長(zhǎng).設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為AB，則有即AB=.例3．直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5，5)，且和圓C：x2+y2=25相交，截得弦長(zhǎng)為4，求l的方程.解：設(shè)|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長(zhǎng)|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|=5，|AH|=|AB|=2，所以|OH|=.即解得k=，或k=2，所以直線l的方程為x－2y+5=0，或2x－y－5=0.|OH|=.練習(xí)題：1．直線x+y=m與圓x2+y2=m(m>0)相切，則m=（）（A）（B）（C）（D）2D.2．曲線與直線y=k(x－2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）（A）（B）（C）（D）D.3．圓心為(1，－2)、半徑為2的圓在x軸上截得的弦長(zhǎng)為（

）（A）8（B）6（C）6（D）4A.4．直線x+y=1被圓x2+y2－2x－2y－7=0所截得線段的中點(diǎn)是（

）（A）（B）(0，0)（C）（D）A.5．以點(diǎn)P(－4，3)為圓心的圓與直線2x+y－5=0相離，則圓P的半徑r的取值范圍是（

）（A）(0，2)（B）(0，)（C）(0，2)（D）(0，10)C.6．已知曲線5x2－y2+5=0與直線2x－y+m=0無(wú)交點(diǎn)，則m的取值范圍是

.－1<m<17．由點(diǎn)P(1，－2)向圓x2+y2+2x－2y－2=0引