D微分方程及其求解

會計學1D微分方程及其求解解的疊加原理第1頁/共33頁一、

為實數,設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得為m

次多項式.第2頁/共33頁(2)若是特征方程的單根,(3)若是特征方程的重根,即即(1)若不是特征方程的根,可設可設可設第3頁/共33頁上述結論可推廣到n階常系數非齊次線性微分方程(k是重根次數).綜上討論不是根是單根是重根特解形式設為第4頁/共33頁例1.的一個特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數,得于是所求特解為第5頁/共33頁例2.的通解.

解:本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為代入方程得第6頁/共33頁例2.的通解.

解:比較系數,得因此特解為所求通解為代入方程得第7頁/共33頁令的特解y*(一般為復根)求可以證明與分別是下列方程的解設第8頁/共33頁綜上討論(α±iβ)不是根特解形式設為(α±iβ)是根第9頁/共33頁解例3的一個特解

.有共軛復根特征方程本題不是特征根的特解令特解第10頁/共33頁解例3的一個特解

.將特解代入原方程得第11頁/共33頁例3的一個特解

.于是求得一個特解原方程得一個特解第12頁/共33頁解例4的通解

.對應齊次方程特征方程為特征根:對應齊次方程的通解：第13頁/共33頁解例4的通解

.齊次通解：特征方程是特征方程的根本題故設特解為考慮方程第14頁/共33頁解例4的通解

.代入方程整理得于是求得一個特解原方程通解為第15頁/共33頁一、一階微分方程求解

1.一階標準類型方程求解關鍵:

辨別方程類型,掌握求解步驟四個標準類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,*全微分方程小結第16頁/共33頁1.可降階的二階微分方程二、高階微分方程求解逐次積分解法:高階

yf(x)型的微分方程第17頁/共33頁

yf(x

y)型的微分方程解法:令化為x,p的一階微分方程.則

yf(y

y)型的微分方程解法:令化為y,p的一階微分方程.則第18頁/共33頁二階線性微分方程的通解的結構齊次方程的通解的結構如果函數y1(x)與y2(x)是方程

y+P(x)y+Q(x)y=0的兩個線性無關的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常數第19頁/共33頁2.二階常系數齊次線性微分方程:和它的導數只差常數代入①得稱②為微分方程①的特征方程,(r

為待定常數)①所以令①的解為②其根稱為特征根.因為r為常數時,函數(p,q為常數)第20頁/共33頁實根特征根通解以上結論可推廣到高階常系數線性微分方程方法步驟①寫出特征方程②求出特征根③按特征根的三種不同情況依下表寫出通解第21頁/共33頁3.二階線性微分方程的通解的結構設y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個特解

Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解

非齊次方程的通解的結構第22頁/共33頁微分方程ypyqyPm(x)ex

的待定特解不是根是單根是重根特解形式設為第23頁/共33頁(α±iβ)不是根特解形式設為(α±iβ)是根微分方程ypyqyeαxPm(x)cosβx或ypyqyeαxPm(x)sinβx的待定特解整合為第24頁/共33頁則是特解形式設為整合為的解是的解第25頁/共33頁思考題1.微分方程(λ>0)的特解形式為2.微分方程滿足條件y(0)=0的解2011年考研題第26頁/共33頁設的特解為設的特解為則所求特解為思考題3.寫出微分方程的待定特解的形式.解第27頁/共33頁則所求特解為練習題3.寫出微分方程的待定特解的形式.解特征根（重根）第28頁/共33頁4.設F(x)＝f(x)g(x),其中函數f(x),g(x)在(－∞,+∞)內滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(