D正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則

會(huì)計(jì)學(xué)1D正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則2/42定理1.3

(比較審斂法I)設(shè)并且(1)若則(2)若則證:收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示兩個(gè)級(jí)數(shù)的部分和．是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),證明的基本思路與無(wú)窮積分的比較準(zhǔn)則I相同.由于(2)是(1)的逆否命題，因此只證明(1)即可.根據(jù)定理1.2,級(jí)數(shù)必收斂.第1頁(yè)/共37頁(yè)3/42注:根據(jù)性質(zhì)1.2,定理1.3中的條件“”因?yàn)楦淖兗?jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù)的斂散性．可以改為“”．第2頁(yè)/共37頁(yè)4/42推論設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2)若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),第3頁(yè)/共37頁(yè)5/42證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:

因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例1.第4頁(yè)/共37頁(yè)6/42定理1.4(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),注:un,vn均為無(wú)窮小時(shí),l

的值反映了它們不同階的比較.第5頁(yè)/共37頁(yè)7/42的斂散性.

～例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.

解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.

判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～第6頁(yè)/共37頁(yè)8/42例1.6討論下列級(jí)數(shù)的斂散性.

(1)(2)例1.7判別級(jí)數(shù)的斂散性．思路：找出另一個(gè)級(jí)數(shù)與之作比較．找出與級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的同階無(wú)窮小量，尋找另一個(gè)級(jí)數(shù)的關(guān)鍵，在于尋找同階，低階，高階無(wú)窮小量．就是找到比較的級(jí)數(shù)了.第7頁(yè)/共37頁(yè)9/42時(shí)的無(wú)窮小量.解:

顯然，該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)an是所以，它與例1.7判別級(jí)數(shù)的斂散性．為了分析它的階數(shù)，利用ln(1+x)在x=0處的二階Taylor公式：是同階無(wú)窮小而級(jí)數(shù)故原級(jí)數(shù)收斂．第8頁(yè)/共37頁(yè)10/42定理1.5(積分判別法）函數(shù)則級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分第9頁(yè)/共37頁(yè)11/42例1.8注:定理1.5中的無(wú)窮積分的積分區(qū)間可換成其中N是任意的正整數(shù).解第10頁(yè)/共37頁(yè)12/42例1.9

無(wú)論是比較準(zhǔn)則還是積分準(zhǔn)則,在使用的時(shí)候都必須借助解于斂散性已知的級(jí)數(shù)或反常積分,因此很不方便.下面兩種審斂準(zhǔn)則,卻是利用級(jí)數(shù)自身的條件來(lái)判斷級(jí)數(shù)斂散性的.第11頁(yè)/共37頁(yè)13/42定理1.6

比值審斂法(D’Ａlembert(達(dá)朗貝爾)判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知第12頁(yè)/共37頁(yè)14/42因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)當(dāng)說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.從而第13頁(yè)/共37頁(yè)15/42例5.討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理1.6可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;第14頁(yè)/共37頁(yè)16/42定理1.7

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)則級(jí)數(shù),且第15頁(yè)/共37頁(yè)17/42時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級(jí)數(shù)說(shuō)明:但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.檢比法與檢根法..第16頁(yè)/共37頁(yè)18/42例1.10用適當(dāng)方法判定下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.解

(1)用檢比法.由于故該級(jí)數(shù)收斂.(2)用檢根法.由于故該級(jí)數(shù)發(fā)散.第17頁(yè)/共37頁(yè)19/42(3)用比較準(zhǔn)則II.由于(4)比較準(zhǔn)則I.由于注:級(jí)數(shù)斂散性的審斂準(zhǔn)則共有5個(gè),都是充分條件.還有級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義,收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)等,做題時(shí)要靈活運(yùn)用.一種方法不行就換其它方法.第18頁(yè)/共37頁(yè)20/421.3

變號(hào)級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足第19頁(yè)/共37頁(yè)21/42證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S,且故第20頁(yè)/共37頁(yè)22/42收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂第21頁(yè)/共37頁(yè)23/42例1.11研究級(jí)數(shù)解

顯然該級(jí)數(shù)滿足Leibniz準(zhǔn)則的條件,因此,當(dāng)p>0下面證明,交錯(cuò)級(jí)數(shù)易見(jiàn)上式右端的前n項(xiàng)之和就是級(jí)數(shù)的斂散性.時(shí)收斂,特別地,當(dāng)p=1時(shí),級(jí)數(shù)也是收斂的.的和為ln2,并估計(jì)用部分和近似代替級(jí)數(shù)和時(shí)所產(chǎn)生的余項(xiàng)誤差.的部分和并且第22頁(yè)/共37頁(yè)24/42Leibniz判別法是判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件,故級(jí)數(shù)的和很多的交錯(cuò)級(jí)數(shù)和變號(hào)級(jí)數(shù)不能用此法判別.下面的絕對(duì)收斂準(zhǔn)則是更常用的一種判別法.第23頁(yè)/共37頁(yè)25/42絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:對(duì)任意的級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂

.則稱原級(jí)第24頁(yè)/共37頁(yè)26/42定理1.9

若級(jí)數(shù)證:

因?yàn)楦鶕?jù)級(jí)數(shù)的Cauchy收斂原理，收斂.收斂,收斂,則級(jí)數(shù)也收斂．若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則必收斂.第25頁(yè)/共37頁(yè)27/42例7.

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.第26頁(yè)/共37頁(yè)28/42(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.小結(jié)第27頁(yè)/共37頁(yè)29/42例1.12

討論級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂,是否絕對(duì)收斂?證:(1)而收斂,第28頁(yè)/共37頁(yè)30/42其和分別為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理1.10

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)重排后仍絕對(duì)收斂,而且和不變.(P275定理)(證明見(jiàn)P275～P277)定理1.11.

(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法)則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和為(P277定理)說(shuō)明:絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)有類似有限項(xiàng)和的性質(zhì),

但條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).第29頁(yè)/共37頁(yè)31/42THEEND第30頁(yè)/共37頁(yè)32/42內(nèi)容小結(jié)2.判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限第31頁(yè)/共37頁(yè)33/423.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂第32頁(yè)/共37頁(yè)34/42思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.第33頁(yè)/共37頁(yè)35/42備用題1.

判別級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.不是p–級(jí)數(shù)(2)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.第34頁(yè)/共37頁(yè)36/42

作業(yè)

P2661(1),(3),(5);

2(2),(3),(4);

*3(1),(2);