emuchnet最基礎(chǔ)最全張量分析

會計學1emuchnet最基礎(chǔ)最全張量分析一、求和約定和啞指標

§A-1指標符號A張量分析約定求和指標與所用的字母無關(guān)指標重復只能一次指標范圍用拉丁字母表示3維，希臘字母表2維第1頁/共84頁§A-1指標符號代表27項的和式一、求和約定和啞指標

雙重求和第2頁/共84頁二、自由指標

筒寫為

j——啞指標i——自由指標，在每一項中只出現(xiàn)一次，一個公式中必須相同§A-1指標符號第3頁/共84頁三、Kronecker-符號和置換符號(Ricci符號)Kronecker-符號定義§A-1指標符號第4頁/共84頁三、Kronecker-符號和置換符號(Ricci符號)Kronecker-符號定義§A-1指標符號第5頁/共84頁直角坐標系的基矢量

第6頁/共84頁三、Kronecker-符號和置換符號(Ricci符號)Ricci符號定義§A-1指標符號偶次置換奇次置換第7頁/共84頁三、Kronecker-符號和置換符號(Ricci符號)Ricci符號定義§A-1指標符號第8頁/共84頁第9頁/共84頁第10頁/共84頁Kronecker-和Ricci符號的關(guān)系第11頁/共84頁§A-2矢量的基本運算

在三維空間中,任意矢量都可以表示為三個基矢量的線性組合

ai為矢量a在基矢量ei下的分解系數(shù),也稱矢量的分量

一、矢量點積

A張量分析第12頁/共84頁§A-2矢量的基本運算

一、矢量點積

二、矢量叉積

A張量分析第13頁/共84頁§A-2矢量的基本運算

二、矢量叉積

A張量分析證明第14頁/共84頁§A-2矢量的基本運算

二、矢量叉積

A張量分析第15頁/共84頁三、矢量的混合積

§A-2矢量的基本運算

Ricci符號A張量分析第16頁/共84頁四、矢量的并乘(并矢)

§A-2矢量的基本運算

A張量分析并乘第17頁/共84頁§A-3

坐標變換與張量的定義

A張量分析第18頁/共84頁坐標變換式§A-3

坐標變換與張量的定義

A張量分析第19頁/共84頁互逆、正交矩陣基矢量變換式任意向量變換式A張量分析§A-3

坐標變換與張量的定義

坐標變換系數(shù)第20頁/共84頁張量的定義——在坐標系變換時,滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量

張量的階——自由指標的數(shù)目不變性記法

A張量分析§A-3

坐標變換與張量的定義

第21頁/共84頁一、加(減)法

二、矢量與張量的點積(點乘)

左點乘

A張量分析§A-3

坐標變換與張量的定義

矢量與張量點乘的結(jié)果仍為張量,新張量b比原張量T的階數(shù)降低一階

第22頁/共84頁§A-4

張量的代數(shù)運算

右點乘

對稱張量兩者才相等A張量分析第23頁/共84頁三、矢量與張量的叉積

§A-4

張量的代數(shù)運算

左叉乘

A張量分析矢量與張量叉乘的結(jié)果仍為張量,新張量與原張量同階

第24頁/共84頁右叉乘

三、矢量與張量的叉積

§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析第25頁/共84頁四、兩個張量的點積

§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析兩個張量點積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減

2

兩個二階張量點積的結(jié)果為一個新的二階張量,這相當于矩陣相乘

第26頁/共84頁五、張量的雙點積

§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析兩個張量點積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減4

第27頁/共84頁六、張量的雙叉乘§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析第28頁/共84頁七、張量的縮并§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析在張量的不變性記法中,將某兩個基矢量點乘,其結(jié)果是一個較原張量低二階的新張量,這種運算稱為縮并

第29頁/共84頁八、指標置換§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析若對該張量的分量中任意兩個指標交換次序,得到一個與原張量同階的新張量

第30頁/共84頁九、對稱化和反對稱化§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析若張量的任意兩個指標經(jīng)置換后所得的張量與原張量相同,則稱該張量關(guān)于這兩個指標為對稱,若與原張量相差一符號,則稱該張量關(guān)于這兩個指標為反稱。有6個獨立分量

有3個獨立分量

第31頁/共84頁九、對稱化和反對稱化§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析

對稱化：對已知張量的N個指標進行N!次不同的置換,并取所得的N!個新張量的算術(shù)平均值的運算。其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標為對稱。將指標放在圓括弧內(nèi)表示對稱化運算。第32頁/共84頁九、對稱化和反對稱化§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析

反稱化:

對已知張量的N個指標進行N!次不同的置換,并將其中指標經(jīng)過奇次置換的新張量取反號,再求算術(shù)平均值,這種運算稱張量的反稱化,其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標為反稱。將指標放在方括弧內(nèi)表示反稱運算。

第33頁/共84頁十、商法則若在某坐標系中按某規(guī)律給出33=27個數(shù)A(ijk),且A(ijk)bk=Cij,其中bk

是與A(ijk)無關(guān)的任意矢量,

Cij是張量,那么,A(ijk)必為比Cij高一階的張量。

§A-4

張量的代數(shù)運算

A張量分析用于判定某些量的張量性！第34頁/共84頁§A-5

二階張量（仿射量）A張量分析B的作用如同一個算子,它使空間內(nèi)每一個向量變換為另一個向量,或者說B能把一個向量空間映射為另一向量空間。

第35頁/共84頁§A-5

二階張量（仿射量）A張量分析一、仿射量的轉(zhuǎn)置BT

對稱張量

反對稱張量

第36頁/共84頁§A-5

二階張量（仿射量）A張量分析一、仿射量的轉(zhuǎn)置BT

α和b為任意向量

第37頁/共84頁A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）一、仿射量的逆B-1

第38頁/共84頁A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）三、對稱仿射量的主向和主值

對于仿射量B,若存在三個相互垂直的方向i,j,k,其映象

B·i,B·j,B·k也相互垂直,則稱該三個方向為B的主向。對稱仿射量T必存在三個主向和三個相應(yīng)的主值。主值S滿足如下特征方程。第39頁/共84頁A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）三、對稱仿射量的主向和主值

第40頁/共84頁A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）三、對稱仿射量的主向和主值

第41頁/共84頁三、對稱仿射量的主向和主值

笛卡兒坐標

A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）第42頁/共84頁A張量分析§A-5

二階張量（仿射量）四、各向同性張量

各向同性張量——在坐標任意變換時,各分量保持不變的張量

零階張量(標量)總是各向同性的。一階張量(即矢量)總不是各向同性的。對于對稱二階張量T,如果其三個主值相等,即S1=S2=S3=λ,則是各向同性的。

第43頁/共84頁§A-5

二階張量（仿射量）四、各向同性張量

證明：(1)4個指標都相同的分量有3個第44頁/共84頁§A-5

二階張量（仿射量）四、各向同性張量

證明：(2)4個指標有3個相同的分量有24個以A1112

為例。如繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標變換系數(shù)為第45頁/共84頁要使新坐標的分量A1112

與原坐標中的分量A1112

相等，A1112

。必為零。第46頁/共84頁所以A1123=0。其它都為零。(3)4個指標中有2個相同的分量有36個以A1123

為例。坐標仍繞x2轉(zhuǎn)1800，坐標變換系數(shù)同上，則第47頁/共84頁將此三類分量用統(tǒng)一形式表示為：(3)4個指標中有2對指標重復的分量有18個?？煞譃?類，每6個分量相等。第48頁/共84頁在空間所論域內(nèi),每點定義的同階張量,構(gòu)成了張量場。一般張量場中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場因位置而變化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進入張量分析的領(lǐng)域。笛卡兒坐標系中的張量分析。

A-6張量分析第49頁/共84頁

一、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子)

設(shè)有標量場(x),

當位置點r(x)變到r(x+dx)時,的增量d

命為

梯度算子,矢量算子

A-6張量分析第50頁/共84頁

一、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子)

A-6張量分析1.標量場的梯度2.矢量場u的散度

第51頁/共84頁

一、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子)

A-6張量分析3.矢量的旋度

第52頁/共84頁二、張量場的微分

A-6張量分析1.張量A的梯度

左梯度

右梯度

張量的梯度為比原張量高一階的新張量第53頁/共84頁二、張量場的微分

A-6張量分析1.張量A的散度

左散度

右散度

張量的散度為比原張量低一階的新張量第54頁/共84頁二、張量場的微分

A-6張量分析3.張量A的旋度

左旋度

第55頁/共84頁二、張量場的微分

A-6張量分析3.張量A的旋度

右旋度

第56頁/共84頁三、散度定理

A-6張量分析高斯積分公式為

第57頁/共84頁三、散度定理

A-6張量分析高斯積分公式為——任意階張量第58頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量分析

一般討論的張量,都是在笛卡兒坐標系下進行的,在解決具體問題時,往往要求更復雜的坐標系。

一、曲線坐標在笛卡兒坐標系,空間任一點P的向徑是設(shè)在三維空間某連通區(qū)域,給定了笛氏坐標的三個連續(xù)可微的單值函數(shù)

反函數(shù)第59頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量分析

第60頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量分析

若函數(shù)不是線性函數(shù),則稱其為曲線坐標系

用于編排指標i’的次序第61頁/共84頁第62頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量分析

二、局部基矢量

在笛卡兒坐標系,空間任意向量(張量)都可以在基上分解。這種做法可進行兩種不同的解釋:(l)空間里只有一個固定在原點的基ei,先將向量(張量)平行移至原點,然后在這基上分解。(2)在定義區(qū)域內(nèi)每點都有一個與ei相同的基,即局部基,向量(張量)在本作用點的局部基上就地分解。

在曲線坐標系,如果只用一個固定基的做法,就會使曲線坐標的引人成為無的放矢。我們采用第二種做法,在空間每一點都建立局部基。

第63頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量分析

第64頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量分析

二、局部基矢量

取一點處坐標曲線的切向量

自然基

度量張量

第65頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量分析

二、局部基矢量

求圓柱坐標系的自然基gi

和度量張量gij

第66頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量分析

二、局部基矢量

求圓柱坐標系的自然基gi

和度量張量gij

第67頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量分析

二、局部基矢量

笛卡兒坐標系中關(guān)于張量的定義和張量的運算等,可以推廣到曲線坐標系,區(qū)別只在于這時的基矢量gi及變換系數(shù)i’i是空間點位置的函數(shù)。如張量A在曲線坐標系可以寫成

由于在曲線坐標系并非所有坐標都具有長度量綱,例如,圓柱坐標中的。因此,相對應(yīng)的自然基矢量就不是無量綱的單位矢量。具有一定物理意義的向量(張量)在這樣的基上的各分量并不具有物理量綱,從而給直接的物理解釋帶來不便。第68頁/共84頁A-7曲線坐標下的張量