G重積分的應(yīng)用

會(huì)計(jì)學(xué)1G重積分的應(yīng)用2第6節(jié)重積分的應(yīng)用一、立體體積二、曲面的面積

第21章本節(jié)內(nèi)容：三、物體的重心四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體的引力第1頁(yè)/共47頁(yè)31.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性

從積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn)

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便2.用重積分解決問(wèn)題的方法第2頁(yè)/共47頁(yè)4一、立體體積（補(bǔ)充）1.曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為3.占有空間有界域

的立體的體積為第3頁(yè)/共47頁(yè)5任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xoy

面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例1.求曲面第4頁(yè)/共47頁(yè)6例2.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積（如圖）.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為第5頁(yè)/共47頁(yè)7二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則第6頁(yè)/共47頁(yè)8故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即第7頁(yè)/共47頁(yè)9若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且若光滑曲面方程由參數(shù)方程給出，也有相應(yīng)的計(jì)算公式。參見(jiàn)P253—254。略。第8頁(yè)/共47頁(yè)10例3求圓錐在圓柱體內(nèi)那部分的面積。（P253例1）解：根據(jù)面積公式其中，D：,所求曲面方程為所以，第9頁(yè)/共47頁(yè)11例4.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.（補(bǔ)充）第10頁(yè)/共47頁(yè)12例5.計(jì)算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為球面面積元素為方法2利用直角坐標(biāo)方程.—練習(xí)

方法1利用球坐標(biāo)方程.注意：本例是P254例2

的特例。第11頁(yè)/共47頁(yè)13三、物體的重心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)為設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為即:采用“分割,近似代替,求近似和,取極限”可導(dǎo)出其重心第12頁(yè)/共47頁(yè)14將分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的重心坐標(biāo)就近似該物體的重心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)第13頁(yè)/共47頁(yè)15同理可得則得形心坐標(biāo)：第14頁(yè)/共47頁(yè)16若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A

為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對(duì)x

軸的

靜矩—對(duì)y

軸的

靜矩第15頁(yè)/共47頁(yè)17例6.求位于兩圓和的重心.（補(bǔ)充）

解:

利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片第16頁(yè)/共47頁(yè)18例7.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為

h

的均質(zhì)鋼液,解:利用對(duì)稱性可知重心在z

軸上，爐壁方程為因此故自重,求它的重心.（補(bǔ)充）若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為第17頁(yè)/共47頁(yè)19第18頁(yè)/共47頁(yè)20四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.第19頁(yè)/共47頁(yè)21類似可得:對(duì)x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第20頁(yè)/共47頁(yè)22如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.這里l為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，r(x,y)為D中點(diǎn)(x,y)到l的距離函數(shù)。第21頁(yè)/共47頁(yè)23例8.求半徑為R的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.（P257例5—另解）第22頁(yè)/共47頁(yè)24解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例9.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(補(bǔ))設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))第23頁(yè)/共47頁(yè)25

k為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有區(qū)域,A（ξ，η，ζ）點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為第24頁(yè)/共47頁(yè)26對(duì)xoy面上的平面薄片D,它對(duì)原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為第25頁(yè)/共47頁(yè)27例10.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解:由對(duì)稱性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.。第26頁(yè)/共47頁(yè)28例11.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

利用對(duì)稱性知引力分量點(diǎn)第27頁(yè)/共47頁(yè)29為球的質(zhì)量第28頁(yè)/共47頁(yè)30作業(yè)P259

2，3（1）,4（2）

5（1），6（1）第29頁(yè)/共47頁(yè)31(t

為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí),1.設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),問(wèn)高度為130cm

的雪堆全部融化需要多少小時(shí)?(2001考研)備用題第30頁(yè)/共47頁(yè)32提示:記雪堆體積為V,側(cè)面積為S,則(用極坐標(biāo))第31頁(yè)/共47頁(yè)33由題意知令得(小時(shí))因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時(shí)間為100小時(shí).第32頁(yè)/共47頁(yè)342.計(jì)算其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)第33頁(yè)/共47頁(yè)353.第34頁(yè)/共47頁(yè)36解4.第35頁(yè)/共47頁(yè)37第36頁(yè)/共47頁(yè)38解解方程組得兩曲面的交線為圓周平面上的投影域?yàn)?.在第37頁(yè)/共47頁(yè)39第38頁(yè)/共47頁(yè)406.

求均勻球殼解：利用對(duì)稱性為計(jì)算方便選擇：第39頁(yè)/共47頁(yè)417.設(shè)一圓柱體由柱面解：畫出圓柱體所占區(qū)域的圖形，注意到圓柱體是均勻的，且具有對(duì)稱性,計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在柱面坐標(biāo)中第40頁(yè)/共47頁(yè)42解8.第41頁(yè)/共4