常微分方程與運動穩(wěn)定性三篇

會計學(xué)1常微分方程與運動穩(wěn)定性三篇2第五章奇點第一節(jié)常點與奇點第二節(jié)一次奇點第三節(jié)非線性項對奇點的影響第1頁/共79頁3第一節(jié)

常點與奇點研究二維方程組(5.1)(5.2)點P(x0,y0）稱為(5.1)的奇點，若:反之,如X(x0,y0),Y(x0,y0)中至少有一個不等于零，則此點稱為(5.1)的常點。性質(zhì):過常點有唯一解，但奇點處解至少不唯一第2頁/共79頁4

由于任何奇點都可借助坐標平移而將它化為原點，因而總認為原點是（5.1）的奇點。在原點鄰域內(nèi)將X,Y展為泰勞級數(shù)，得：(5.3)X2，Y2

----所有二次項以上的全體.則此奇點稱為一次奇點,反之稱為高次奇點。(5.4)如果第二節(jié)一次奇點第3頁/共79頁5(5.5)研究以下線性系統(tǒng)特征方程是(5.6)其特征根為(5.8)(5.7)其中第4頁/共79頁6(5.9)通過非奇異線性變換，可將(5.5)化為：(1)q

<0,此時λ1,λ2異號

其解為設(shè)λ1>0，λ2<0,則其軌線在原點領(lǐng)域的分布情況如圖所示，這樣的奇點為鞍點。根據(jù)特征根的各種可能情況，對奇點進行分類：oxy圖5.1p16p17p30第5頁/共79頁7ox圖5.2yλ

1，λ

2為相異負實根若λ2<λ1<0，則積分曲線在原點與x軸相切，如圖示。反之，若λ1<λ2<0，則積分曲線在原點與y

軸相切。

——

奇點稱為穩(wěn)定結(jié)點對于q>0，p<0，p2－4q>0，λ1、λ2為相異正實根，積分曲線方向遠離原點。

——奇點為不穩(wěn)定結(jié)點p17p20p16第6頁/共79頁8

q>0，p>0，p2－4q<0，λ1,λ2為共軛復(fù)根且實部為負。令λ1,λ2＝－u+iv，其中u>0,v>0，將(5.5)化為：(5.10)x圖5.3yo再變換x=rcosθ,y=rsinθ(5.10)(5.11)其解為r=r0e-ut，θ=θ0+vt，相應(yīng)的軌線如圖

——奇點為穩(wěn)定焦點q>0,p<0,p2-4q<0:λ1,λ2為共軛復(fù)根但實部為正

——奇點為不穩(wěn)定焦點p17p16第7頁/共79頁9(a)

初等因子是簡單。(5.5)可化為：(5.12)（4）q>0,p>0,p2-4q=0,λ1λ2為一對負重根。這又可分為兩種情況；y圖(5.4)x0其軌線形狀如圖-----穩(wěn)定臨界結(jié)點.其解為

(b)初等因子是重的。(5.5)可化為：p17(5.13)p16第8頁/共79頁10

所有軌線在原點均與軸相切，如圖所示?！€(wěn)定退化結(jié)點yxoxoy圖5.5當當q>0,p<0,p2－4q=0:λ1,λ2

——

一對正重根

不穩(wěn)定臨界結(jié)點和退化結(jié)點p17第9頁/共79頁11(5)q>0,p＝0:λ1＝-λ2＝vi,為一對共軛純虛根將(5.5)化為：(5.14)其解為r=r0,θ=θ0+vt,其軌線如圖

------奇點稱為中心圖5.6xoy第10頁/共79頁12奇點分類如下：

q<0,兩根異號―鞍點;

q>0,p>0,p2-4q>0,兩根相異負實根―穩(wěn)定結(jié)點;q>0,p>0,p2-4q=0,兩根為相等負實根―臨界結(jié)點或退化結(jié)點。q>0,p<0,p2-4q>0,兩根為相異正實根―不穩(wěn)定結(jié)點;q>0,p<0,p2-4q=0,兩根為相等正實根―臨界結(jié)點或退化結(jié)點;q>0,p<0,p2-4q0,兩根為共軛復(fù)根，實部為負―穩(wěn)定焦點;q>0,p<0,p2-4q<0,兩根為共軛復(fù)根，實部為正―不穩(wěn)定焦點。q>0,p＝0,兩根為共軛純虛根―中心.第11頁/共79頁13穩(wěn)定臨界結(jié)點或退化結(jié)點po圖5.7q不穩(wěn)定焦點穩(wěn)定焦點中心不穩(wěn)定臨界結(jié)點或退化結(jié)點不穩(wěn)定結(jié)點穩(wěn)定結(jié)點鞍點高次奇點高次奇點p2－4q=0匯源第12頁/共79頁14第三節(jié)非線性項對奇點的影響(A1)X2，Y2

----所有高于二次項的全體.研究以下非線性系統(tǒng)相應(yīng)的線性系統(tǒng)(A2)

則原點（零解）若是(A2)的鞍點,正常結(jié)點、焦點，也是(A1)的鞍點,正常結(jié)點、焦點（解的結(jié)構(gòu)相同），且穩(wěn)定性保持不變；但(A2)的臨界或退化結(jié)點，對(A1)來說其結(jié)構(gòu)可能發(fā)生變化。若滿足：(A3)第13頁/共79頁15定義2：設(shè)O(0,0)

為孤立奇點，若點列

An(rn,θn)，當n→∞時，rn→0,θn→θ0,且αn→0，αn為An點的方向場向量與向徑夾角的正切，稱θ=θ0為特征方向。

顯然，若θ=θ0為固定方向，則必為特征方向ArθO3.1奇點的性質(zhì)定義1：設(shè)L

為軌線,其上的點A(r,θ),當r→0時,θ→θ0（t→∞

），稱L沿固定方向進入奇點O(0,0).鞍點：0，/2,3/2，結(jié)點：0，/2,3/2，焦點：無退化結(jié)點：/2,3/2

或0，臨界結(jié)點：任意方向p7p8p9p10p11θ0第14頁/共79頁16定義3：軌線L與θ=θ0相交于P,若P點向徑與方向場夾角為:0<

αp<

,則為正側(cè)相交；

<

αp<2,則為負側(cè)相交。

/2

<

αp<3/2,則為正向相交；-/2

<

αp<

/2,則為負向相交。①②③④O①正側(cè)正向②正側(cè)負向③負側(cè)負向④負側(cè)正向第15頁/共79頁17定義4：O為奇點，扇形域由OA,AB與弧AB圍城，稱為正常區(qū)域，上滿足：除點O外沒有其他奇點,OA,AB為無切線段;任意點的向徑與方向場向量不垂直；最多包含一個特征方向,但OA,AB不是特征方向.結(jié)論：軌線L與OA(或OB)

相交只能是同側(cè)同向：即：0￣

或

￣2。因此有三類正常區(qū)域：OABOABOABIIIIII第16頁/共79頁18OABOABOAB結(jié)論：軌線L與OA(或OB)

相交只能是同側(cè)同向：即：0￣

或

￣2。因此有三類正常區(qū)域：IIIIII引理：若Δ為正常區(qū)域I

，從OA,AB與AB上出發(fā)的軌線都進入O（當t→∞時）;若Δ為正常區(qū)域II,AB上有一點或一段閉弧，從其上出發(fā)的軌線都進入O（當t→∞時）;若Δ為III,有兩種情況:(1)沒有軌線進入O;(2)POA或AB:

POA時,OP上出發(fā)的軌線都進入O;PAB時,QOAAP,從Q出發(fā)的軌線都進入O第17頁/共79頁19其中F2，G2是x,y二次以上的函數(shù),且滿足(A3)

。令x=rcosθ,y=rsinθ，運算可得:(A5)(A6)(A4)考慮結(jié)點為穩(wěn)定時，非奇異變換，將(A1)

化為：1.結(jié)點情況p7dθ/dt=0θ

=0,/2,,3/2----特征方向第18頁/共79頁20oxy1,

2

–微小量；∵λ2<λ1

<0

r

0

dr/dt0.ε1ε2④①②③①,③--正常區(qū)域II;

②,④--正常區(qū)域I

結(jié)論：當1

→

0,①,③內(nèi)只有一對軌線當t→

∞時沿y軸方向趨于原點；其余軌線則均沿x方向趨于原點。原點為穩(wěn)定結(jié)點。p8總之，若線性奇點為結(jié)點，加上非線性項之后仍為結(jié)點，并且穩(wěn)定性保持不變。p8第19頁/共79頁21鞍點情況兩特征根均為實根：設(shè)λ1<0,λ2>0(A7)(A8)

④①②③xyI,III象限內(nèi)II,IV象限內(nèi)

=0,/2,,3/2

――

特征方向第20頁/共79頁22鞍點情況兩特征根均為實根：設(shè)λ1<0,λ2>0εε④①②③xyI,III象限內(nèi)II,IV象限內(nèi)θ

=0,/2,,3/2----特征方向①,③--正常區(qū)域II(t→∞)

②,④--正常區(qū)域II

(t→-∞)oxy結(jié)論：當ε→0,①,③內(nèi)只有一對軌線沿y軸趨于原點(當t→-∞時);②,④內(nèi)只有一對軌線沿x軸趨于原點(當t→∞時).原點為鞍點第21頁/共79頁23焦點與中心的情況焦點情況與結(jié)點、鞍點相似：線性部分為焦點時，加上非線性項仍為焦點且穩(wěn)定性不變;對于線性部分為中心的情況，加上非線性項后，可能依然為中心，但也可能變?yōu)椋ú唬┓€(wěn)定焦點;例：線性部分為中心x=rcosθ

y=rsinθ可見：中心穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點第22頁/共79頁24引理：系統(tǒng)(A1)的原點為中心的充分必要條件：存在與時間無關(guān)的正則積分：Fi–i

次齊次多項式

若滿足:X(-x,y)=X(x,y)Y(-x,y)=-Y(x,y)對于：(A8)(8)的軌線對稱于y軸若滿足:X(x,-y)=-X(x,y)Y(x,-y)=Y(x,y)(8)的軌線對稱于x軸yx(A1)第23頁/共79頁25能否給出判斷穩(wěn)定性的依據(jù)??---問題實質(zhì):如何確定奇點的性質(zhì)與（A9）系數(shù)之間的關(guān)系。(A9)Arnold

問題（1976年）對于方程組：齊按照線性部分特征根的不同情況進行討論.第24頁/共79頁26

分為以下幾個方面：

兩特征根為實根或共軛負根，此時奇點將為穩(wěn)定或不穩(wěn)定結(jié)點，焦點或不穩(wěn)定鞍點;兩特征根為一對純虛根，線性奇點為中心，加上高次項后，為中心或焦點;兩特征根一是零根，另一個正實根，奇點為不穩(wěn)定;兩特征根一是零根，另一個負實根，這是所謂Lyapunov第一臨界情況;兩特征根全為零根，又可分為兩種情況:

初等因子是簡單的，化為齊次方程研究;

初等因子是非簡單的，奇點為不穩(wěn)定。第25頁/共79頁27

第一節(jié)保守系統(tǒng)的基本性質(zhì)

第二節(jié)帶有參數(shù)的保守系統(tǒng)

第三節(jié)耗散系統(tǒng)

第四節(jié)軌線的作圖法第六章相平面法第26頁/共79頁28

第一節(jié)保守系統(tǒng)的基本性質(zhì)一、保守系統(tǒng)

----能量（機械能）保持守恒的系統(tǒng)。單自由度系統(tǒng)的運動微分方程：其積分曲線方程(軌線方向):(6.3)p32由(6.2.),系統(tǒng)的奇點為：y=0，f(x)=0(6.4)——系統(tǒng)奇點（若有的話）分布在x軸上第27頁/共79頁29由(6.3)，當f(x)=0,y≠0時，有＝0，即軌線切線水平。由（6.3）求得積分曲線的方程：h為常數(shù)----其力學(xué)意義為機械能守恒(6.5)在h

–V(x)≥0

的x

區(qū)間內(nèi)才有積分曲線（6.6）（6.5）V’(x0)=f(x0)=0---系統(tǒng)奇點x0對應(yīng)勢能的極值其積分曲線方程(軌線方向):(6.3)第28頁/共79頁30在奇點x0鄰域內(nèi)將V(x)展開為泰勞級數(shù)(取到二次項):積分曲線方程（6.5）化為(6.8)(6.7)V?(x0)>0

V(x0)

—極小值(6.8)

—橢圓方程奇點x0

為中心；V?(x0)<0

V(x0)

—極大值(6.8)

—雙曲線方程，故奇點為鞍點;V?(x0)=0

V(x0)

—非極大極小拐點，此時,若V

(3)(x0)≠0,積分曲線可近似表示為p7第29頁/共79頁31圖6.1V(x),yxoV(x)(6.9)對應(yīng)中心鞍點型奇點:

一半中心，一半鞍點（高次奇點---線性部分的特征根出現(xiàn)零根）。將(6.2)中的f(x)也在這一點鄰域內(nèi)展開，得：第30頁/共79頁32在一般情況下,對于V(n)≠0,當n為偶數(shù)時V為極值，當n為奇數(shù)時V為拐點。積分曲線為較復(fù)雜的高次曲線，如圖(6.2)所示(y>0,x’>0;y<0,x’<0)V(x)oxV(x)圖6.2yp28第31頁/共79頁33方程中不含速度項，為保守系統(tǒng)(機械能守恒)；方程中含有速度項，而速度項前的系數(shù)為常數(shù)或定號函數(shù)，為非保守系統(tǒng)；方程中含有速度項,而速度項前的系數(shù)是變號函數(shù)，則不能確定是否保守系統(tǒng)。zxo圖6.3Mz=f(x)例：質(zhì)點M沿繞鉛直軸z以角速度ω旋轉(zhuǎn)的導(dǎo)軌z=f(x)滑動，由Lagrange

方程推得質(zhì)點運動方程(6.10)--速度項系數(shù)是變號函數(shù)。但是(6.10)有能量積分(6.11)m-質(zhì)量，h-常數(shù)。(6.10)為一保守系統(tǒng)。第32頁/共79頁34其運動微分方程一般為(6.12)（6.13）的奇點：(6.14)(6.13)第二節(jié)帶有參數(shù)的保守系統(tǒng)第33頁/共79頁35f(x,λ)=0,在平面內(nèi)為一曲線，如圖(6.4)xo圖6.4假定陰影區(qū):f(x,λ)<0

；其他區(qū)：f(x,λ)>0可看出，當參數(shù)λ增大時，奇點數(shù)目隨之變化。f(x,λ)>0λ第34頁/共79頁36如令(6.15)則得(6.13)的積分曲線方程為：(6.16)由于Vxx”(x,λ)

=fx’(x,),因而在奇點x處：Vxx”(x,)

>0

(fx’(x,)>0)時，V-極小中心；Vxx”(x,)<0

(fx’(x,)<

0)時，V-極大鞍點；Vxx”(x,)=0，但Vxx”’≠0時中心鞍點。與不含參數(shù)的保守系統(tǒng)相同第35頁/共79頁37xo圖6.4f(x,)>0λaa-中心(λ=λ1)

沿x增加方向看f(x,)的變化，判斷fx’(x,)的符號bb-中心;c-中心鞍點(

=2)cded-中心鞍點;e-中心(

=

3)hgff,h-中心;g-鞍點(

=

4)iji-中心;j-中心鞍點(

=

5)2<<3:中心,鞍點,中心

>5:中心2,3,5–分岔點(奇點數(shù)目變化)f(x,λ)<0第36頁/共79頁38OMZmgr圖6.5解:由質(zhì)點的動量距定理，可得小球的運動微分方程為例1.一質(zhì)量為m的小球，可沿一半徑為r的大環(huán)滑動，此大環(huán)以勻角速度繞鉛直軸而轉(zhuǎn)動。設(shè)小球與大環(huán)之間無摩擦，試研究小球的運動.(6.17)(6.18)第37頁/共79頁39曲線如圖(6.6):陰影區(qū)---f(φ,λ)<0;其余區(qū)域---f(φ,λ)>0。O1-1圖6.6p-平衡位置:=0,φ=(0,±),

當|

|>1時;

=0,φ=(0,±,±cos-1

),當||<1時。(6.19)令cosφ=sinφ=0第38頁/共79頁40相平面內(nèi)軌線的分布情況（φ：-π

π

）：ω1O-1p-A同宿軌道異宿軌道B中心鞍點|λ|<1第39頁/共79頁41此時共有三個鞍點(φ=0,±π)與兩個中心(φ=±cos-1λ);A,B分別為通過ω=0,φ=0與ω＝0，φ=±π

的分界線，其方程為(6.20)第40頁/共79頁42耗散系統(tǒng)屬于非保守系統(tǒng)，其運動微分方程通?？杀硎緸榈谌?jié)

耗散系統(tǒng)(6.21)滿足(6.22)當當將各項乘以得然后作對應(yīng)上下限的積分，得(6.23)第41頁/共79頁43這表明，系統(tǒng)的能量是時間的單減函數(shù)。(6.24)對(6.23)求導(dǎo)(6.21)(6.25)------由(6.22)知y=0時g(x,y)=0，因而耗散系統(tǒng)(6.25)的奇點分布，與和它對應(yīng)的保守系統(tǒng)的奇點分布相同，但奇點的性質(zhì)卻可能改變(中心變成焦、結(jié)點)。第42頁/共79頁44例2.考慮阻尼作用單擺的運動。耗散項：對應(yīng)的保守系統(tǒng)為共有三個平衡位置(中心，鞍點)：由于，故系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)。-焦點第43頁/共79頁45例3.研究系統(tǒng)(6.26)其中α>0,g(φ)在[-π,π]上連續(xù)，且為2π的周期函數(shù)，g(0)＝0，g(0)’≠0,當φ≠0時φg(

φ)>0

，g(π)=0。

顯然，這是較例2更為一般情況，此時系統(tǒng)由三個奇點:ω=0，φ=0，±π，而且φ＝0為穩(wěn)定焦點或結(jié)點，φ＝±π為鞍點。第44頁/共79頁46(1)等傾線法第四節(jié)軌線作圖法(6.27)(6.28)令(6.29)－－等傾線令k等于一系列不同的數(shù)值，得出一系列等傾線，在每一等傾線上畫出相應(yīng)的dy/dx的方向，然后用歐拉折線法便可大致描出軌線的圖形。第45頁/共79頁47例:令k1k2k3第46頁/共79頁48(2)Liénard作圖法適用于有以下形式的微分方程(6.34)(6.34)在相平面上積分曲線方程為(6.35)為了得到坐標為（x,y）的任意點A處積分曲線的切線方向，先在相平面上做出曲線(6.36)A(x,y)

B(-Ф(y),y)

CAE(

AC)第47頁/共79頁49直線CA的斜率為yxyxBODCA(x,y)E圖6.11它與(6.35)dy/dx的乘積等于-1,因而(6.35)積分曲線在A點的切線方向應(yīng)與CA垂直。A(x,y)

B(-Ф(y),y)

CAE(

AC)第48頁/共79頁50

例4

受有干摩擦力與線性恢復(fù)力的振動系統(tǒng)，其運動微分方程為為了應(yīng)用Liénard作圖法，需使x的系數(shù)等于1。為此，作變換，即可將上式化為:yxo然后，利用Liénard作圖法，可以證明它的積分曲線為一系列半圓所組成，這些半圓在x軸上相連接，其圓心為如圖所示。第49頁/共79頁51第七章

極限環(huán)

第一節(jié)前言

第二節(jié)極限環(huán)的存在性

第三節(jié)極限環(huán)的唯一性

第四節(jié)極限環(huán)的穩(wěn)定性第五節(jié)判斷極限環(huán)不存在的定理第50頁/共79頁52第一節(jié)前言對于微分方程的積分曲線而言，它存在一條孤立的單閉曲線，而在其領(lǐng)域內(nèi)的其他積分曲線，均以螺旋線形式向該閉曲線無限逼近，則這條閉曲線稱為極限環(huán)。力學(xué)意義：孤立周期解例1(7.1)極坐標形式(7.2)第51頁/共79頁53由此可見，r=0即x=y=0是一個奇點;而r=1即x2+y2=1是一個周期解.而其它積分曲線都是螺線，即：當t→∞時θ→∞.對于r>1，有：故r單調(diào)減少而趨于1;xyO因而閉曲線x2+y2=1是穩(wěn)定的極限環(huán)(7.2)故r單調(diào)增加而趨于1,對于r<1有:第52頁/共79頁54例2(7.3)其積分曲線形狀見圖;

單閉曲線x2+y2=1是不穩(wěn)定極限環(huán)。(7.4)xyO第53頁/共79頁55

對于yOx其積分曲線形狀見圖。單閉曲線是半穩(wěn)定極限環(huán)(即一側(cè)不穩(wěn)定另一側(cè)不穩(wěn)定)解的穩(wěn)定性（Liapunov）軌道穩(wěn)定性

？未擾擾動t0t1第54頁/共79頁56圖7.4環(huán)域定理設(shè)在x-y平面上有兩個單閉曲線C1及C2在C1內(nèi)部。并滿足下面兩個條件(圖7.4)：(1)C1上之點的矢量場由C1的外部指向內(nèi)部,C2上之點的矢量場由C2的內(nèi)部指向外部;(2)C1及C2所圍成的環(huán)行區(qū)域內(nèi)無奇點;則在該環(huán)域內(nèi)至少存在一個穩(wěn)定極限環(huán)C:

C1CC2第二節(jié)極限環(huán)的存在性

（Poincaré-Bendixson環(huán)域定理）C1一個C:穩(wěn)定;二個C:一個穩(wěn)定，一個半穩(wěn)定；三個C:中間穩(wěn)，兩邊半穩(wěn)；或中間不穩(wěn)，兩邊半穩(wěn)第55頁/共79頁57(7.7)

以vanderPol方程為例說明環(huán)域定理的應(yīng)用。方程的形式為令則上式可化為：(7.8)(7.9)再令x=y1,y=-x1,(7.8)第56頁/共79頁58或去掉下標將上式寫為(7.10)(7.11)可見，它與(6.35)完全相同，所以其軌線方向可以用Liénard作圖法求出。先在相平面上做出曲線:x=-

(y)第57頁/共79頁59為應(yīng)用環(huán)域定理證明vanderPol方程存在穩(wěn)定的極限環(huán),先做環(huán)域的內(nèi)境界線Γ2:由此得：如果取r2充分小,可使y2<3,從而有這表明(7.10)的軌線均由Γ2的內(nèi)部穿向外,如圖(7.5)所示。dr2dt>0第58頁/共79頁60xy圖7.5下頁下下頁第59頁/共79頁61環(huán)域的外境界線Γ2的構(gòu)造：畫曲線為極值點上頁為中心的圓?。篈1B1

,C1D1-----B1C1，B2C2則為二水平直線段為中心的圓?。篈2B2

,C2D2畫以3.現(xiàn)證明，當中的y充分大時，這樣作出的Γ2可使只證明一個不等式(Γ2--原點對稱):第60頁/共79頁62C2D2圓弧半徑當y充分大時----只要|y|足夠大，總可以滿足用Liénard作圖法容易得出，在Γ1上的軌線均是自外部指向內(nèi)部。又(7.10)只有唯一的奇點－－原點，因而Γ2，Γ2構(gòu)成的環(huán)域內(nèi)無奇點：vdP方程在該環(huán)域內(nèi)至少存在一個穩(wěn)定極限環(huán)。上頁第61頁/共79頁63―――考慮Lienard方程第三節(jié)極限環(huán)的唯一性定理1.

(7.12)有唯一的穩(wěn)定極限環(huán)，若滿足：Lienard方程是指下形方程(7.12)g(-x)=-g(x),當x≠0時：xg(x)>0(2)

對一切x

，f及g連續(xù),且g滿足Lipschicz條件(3)

設(shè)當x→±∞時F→±∞;(4)

在x正半軸上F有唯一的零點x=a

(當0<x<a時，F(xiàn)(x)<0;x>a時F(x)單調(diào)增加)。第62頁/共79頁64(7.13)證：(1)引入變換,則(7.12)化為(2)首先證(7.13)對一切(x,y)滿足Lipschitz條件事實上,對|x|<A,|y|<A,由于f連續(xù),故有上界m。如此由中值定理得又由條件(2)知第63頁/共79頁65這里取k=m+n+1。上式表明(7.13)的確滿足Lipshitz

條件，因此它的解存在且唯一。

此外，由于y-F(x)=0與g(x)=0只有一個解x=0,y=0，故原點是(7.13)的唯一奇點。第64頁/共79頁66(3)令由條件(1)知：G(x)>0,因而取(7.14)則V是定正函數(shù)又(7.15)根據(jù)g,F的性質(zhì),可知當0<|x|<a時有-gF>0,

故原點不穩(wěn)定.第65頁/共79頁67

(4)(7.13)的積分曲線滿足方程(7.16)由此，在y軸上軌線具有平行于x軸的切線，而在曲線L：y=F(x)上，軌線具有平行于y軸的切線。(5)設(shè)軌線lb與曲線L相交于B點,以b表示B點的橫坐標。由于在0≤x≤b內(nèi)有:故當t減少時lb之值將增加而進入曲線L的上方，從而同時有第66頁/共79頁68xyADPBL:y=F(x)bQKMaCEO圖7.6第67頁/共79頁69這表明當t減少時x也減少。綜上所述可知當t減少時，由B出發(fā)之軌線lb必與y軸的正半軸相交，否則將在y軸附近出現(xiàn)無限大斜率：與在y軸軌線具有水平切線相矛盾。設(shè)上述交點為A。同理可證當t增加時lb必與y軸的負半軸相交設(shè)相交點為C(參看圖7.6)。(6)現(xiàn)證|OA|=|OC|是lb為閉軌的充要條件。事實上以(-x,-y)代(x,y)方程(7.13)不變,故其積分曲線對原點對稱。因此，如|OA|=|OC|，則lb必閉，反之，如lb為必軌但卻有|OA|≠|(zhì)OC|則由于積分曲線對原點對稱性，故必存在另一閉軌lb’，且lb’

與lb必相交，而這與(7.13)解的唯一性相矛盾。由此可見,如為閉軌,則必有|OA|=|OC|。第68頁/共79頁70此外，由(7.14)知因而條件|OA|=|OC|就與V(A)=V(C)等價。拘此可得結(jié)論如下：lb為閉軌的充要條件是V(A)=V(C)。

(7)

現(xiàn)研究沿(7.13)的軌線V的改變情況。由(7.15)知：(7.17)

因而有令:(7.18)第69頁/共79頁71則：如果則F及dy均小于零,因而有Ф(b)>0V(C)>V(A)因此lb不可能是閉的。下面研究的情況，如令由(7.17)知當dV=Fdy。當x<a時F>0與dy<0,因而Ф2(b)<0而當x>a時F>0與dy<0,因而Ф2(b)<0?，F(xiàn)進而研究當b改變時Ф(b)的變化情況。當b增大時AD上升而EC下降,因而對于同一的x值而言,其|y|之值將增大。第70頁/共79頁72又對于弧AD

而言，y-F(x)>0，故y增加時將使|y-F(x)|增加，對于弧AC

而言，y-F(x)<0，故y增加時也將使|y-F(x)|增加，又