成都理工大學(xué) 高數(shù)下重修 D對坐標(biāo)曲線積分

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會計學(xué)1成都理工大學(xué)高數(shù)下重修D(zhuǎn)對坐標(biāo)曲線積分一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用在xOy

平面內(nèi)從點A沿光滑曲線弧L

移動到點B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.第1頁/共19頁1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點在第2頁/共19頁3)“近似和”4)“取極限”(其中為n

個小弧段的最大長度)第3頁/共19頁2.定義.設(shè)

為xOy

平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作第4頁/共19頁若為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,第5頁/共19頁3.性質(zhì)(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!第6頁/共19頁二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有第7頁/共19頁特別是,如果L

的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有定理第8頁/共19頁例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點的一段.第9頁/共19頁例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則第10頁/共19頁例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第11頁/共19頁例4.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點由沿移動到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點所作的功.其中為第12頁/共19頁例5.求其中從

軸正向看為順時針方向.解:取的參數(shù)方程第13頁/共19頁三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系第14頁/共19頁類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是第15頁/共19頁例7.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周第16頁/共19頁2.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:第17頁/共19頁1.解:線移動到向坐標(biāo)原點

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