本構(gòu)方程及NS方程

會計學(xué)1本構(gòu)方程及NS方程流體質(zhì)點運動的分析分析流場中任意流體微團運動是研究整個流場運動的基礎(chǔ)。流體運動要比剛體運動復(fù)雜得多，流體微團基本運動形式有平移運動、旋轉(zhuǎn)運動、線變形和角變形運動等。實際運動也可能遇到只有其中的某幾種形式所組成。當流體微團無限小而變成質(zhì)點時，其運動也是由平動、線變形、角變形及旋轉(zhuǎn)四種基本形式所組成。第1頁/共71頁平移運動、旋轉(zhuǎn)運動、線變形運動和角變形運動右圖為任意t時刻在平面流場中所取的一個正方形流體微團。由于流體微團上各點的運動速度不一致，經(jīng)過微小的時間間隔后，該流體微團的形狀和大小會發(fā)生變化，變成了斜四邊形。第2頁/共71頁流體微團的運動形式與微團內(nèi)各點速度的變化有關(guān)。設(shè)方形流體微團中心M的流速分量為ux

和uy

，則微團各側(cè)邊的中點A、B、C、D的流速分量分別為：微團上每一點的速度都包含中心點的速度以及由于坐標位置不同所引起的速度增量兩個組成部分。第3頁/共71頁平移運動速度微團上各點公有的分速度ux

和uy

，使它們在dt時間內(nèi)均沿x方向移動一距離uxdt,沿y方向移動一距離uydt。因而，把中心點M的速度

ux和uy

，定義為流體微團的平移運動速度。線變形運動微團左、右兩側(cè)的A點和C點沿x方向的速度差為，當這速度差值為正時，微團沿x方向發(fā)生伸長變形；當它為負時，微團沿x方向發(fā)生縮短變形。線變形速度單位時間，單位長度的線變形稱為線變形速度。流體微團沿x方向的線變形速度：第4頁/共71頁旋轉(zhuǎn)角速度把對角線的旋轉(zhuǎn)角速度定義為整個流體微團在平面上的旋轉(zhuǎn)角速度。

；；

角變形速度：直角邊AMC（或BMD）與對角線EMF的夾角的變形速度第5頁/共71頁亥姆霍茲速度分解定理整理推廣得第6頁/共71頁微元體及其表面的質(zhì)量通量微元體內(nèi)的質(zhì)量變化率輸入微元體的質(zhì)量流量質(zhì)量守恒直角坐標系中的連續(xù)性方程－輸出微元體的質(zhì)量流量＝y(tǒng)

xz

dzdxdy不可壓縮流體連續(xù)性微分方程第7頁/共71頁1、x方向：dt時間內(nèi)沿從六面體x處與x+dx處輸入與輸出的質(zhì)量差：Y方向：

；Z方向：2、dt時間內(nèi)，整個六面體內(nèi)輸入與輸出的質(zhì)量差：第8頁/共71頁3、微元體內(nèi)的質(zhì)量變化：從而有：或：連續(xù)性方程連續(xù)方程物理意義：流體在單位時間內(nèi)流經(jīng)單位體積空間輸出與輸入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。矢量形式：（適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體）第9頁/共71頁上式表明，對于不可壓縮液體，單位時間單位體積空間內(nèi)流入與流出的液體體積之差等于零，即液體體積守恒。適用范圍：恒定流或非恒定流；理想液體或?qū)嶋H液體。連續(xù)性方程是流體流動微分方程最基本的方程之一。任何流體的連續(xù)運動均必須滿足。一維流動的連續(xù)方程若流體不可壓縮：第10頁/共71頁理想流體的運動微分方程

理想流體運動微分方程式是研究流體運動學(xué)的重要理論基礎(chǔ)?？梢杂门ｎD第二定律加以推導(dǎo)。

受力分析：1、質(zhì)量力：2、表面力：fxρdxdydz切向應(yīng)力＝0（理想流體）法向應(yīng)力＝壓強x軸正方向x軸正方向x軸負方向第11頁/共71頁理想流體的運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運動微分方程理想流體的運動微分方程即歐拉運動微分方程第12頁/共71頁粘性流體的運動微分方程

以流體微元為分析對象，流體的運動方程可寫為如下的矢量形式：

這里：

是流體微團的加速度，微分符號：

稱為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù)，它表示流體微團的某性質(zhì)時間的變化率。

(1)(2)(3)第13頁/共71頁應(yīng)力狀態(tài)及切應(yīng)力互等定律yxz微元體上X和Z方向的表面力粘性流場中任意一點的應(yīng)力有9個分量，包括3個正應(yīng)力分量和6個切應(yīng)力分量：應(yīng)力狀態(tài)：切應(yīng)力互等定律在6個切應(yīng)力分量中，互換下標的每一對切應(yīng)力是相等的。第14頁/共71頁微元體表面力的總力分量X方向的表面力：Y方向的表面力：Z方向的表面力：第15頁/共71頁動量流量及動量變化率y

xz

dzdxdy動量在微元體表面的輸入與輸出動量流量

動量通量動量流量x流通面積＝圖中標注的是動量的輸入或輸出方向，而動量或其通量本身的方向均指向x方向，即分速度vx的方向。第16頁/共71頁x方向：輸入輸出微元體的動量流量y方向：z方向：微元體內(nèi)的動量變化率x方向：y方向：z方向：流體的瞬時質(zhì)量為X方向的瞬時動量為第17頁/共71頁x方向的運動方程：以應(yīng)力表示的運動方程y方向的運動方程：z方向的運動方程：注：上式就是以應(yīng)力表示的粘性流體的運動方程，適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體。第18頁/共71頁方程的物理意義：方程左邊是：任意時刻t通過考察點A的流體質(zhì)點加速度的三個分量；方程右邊是：作用在單位體積流體上的表面力和體積力在各坐標上的分量。方程可簡略表示成：這就是以單位體積的流體質(zhì)量為基準的牛頓第二運動定律第19頁/共71頁粘性流體運動微分方程以應(yīng)力表示的運動方程，需補充方程才能求解。Navier－Stokes方程對一維流動問題：補充方程：牛頓剪切定律對粘性流體流動問題：補充方程：廣義的牛頓剪切定律即：牛頓流體本構(gòu)方程目的將應(yīng)力從運動方程中消去，得到由速度分量和壓力表示的粘性流體運動微分方程，即N-S方程。關(guān)鍵：尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系第20頁/共71頁牛頓流體的本構(gòu)方程引入的基本假設(shè)：為了尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，Stokes提出三個基本假設(shè)：應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系;應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系各向同性；靜止流場中，切應(yīng)力為零，各正應(yīng)力均等于靜壓力第21頁/共71頁牛頓流體的本構(gòu)方程：第22頁/共71頁本構(gòu)方程的討論：正應(yīng)力中的粘性應(yīng)力：流體正應(yīng)力與三個速度偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)(即:線變形率)，同固體力學(xué)中的虎克定律。線變形率與流體流動：從流體流動角度看，線變形率的正負反映了流體的流動是加速還是減速；體變形率的正負反映了流動過程中流體體積是增加還是減少。正應(yīng)力與線變形速率：附加粘性正應(yīng)力附加粘性正應(yīng)力的產(chǎn)生是速度沿流動方向的變化所導(dǎo)致的。第23頁/共71頁正應(yīng)力與壓力：由于粘性正應(yīng)力的存在，流動流體的壓力在數(shù)值上一般不等于正應(yīng)力值。但有：這說明：三個正壓力在數(shù)值上一般不等于壓力，但它們的平均值卻總是與壓力大小相等。切應(yīng)力與角邊形率：流體切應(yīng)力與角變形率相關(guān)。牛頓流體本構(gòu)方程反映了流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，是流體力學(xué)的虎克定律（反映應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系）。第24頁/共71頁流體運動微分方程——Navier－Stokes方程適用于牛頓流體第25頁/共71頁常見條件下N－S方程的表達形式：適用于牛頓流體常粘度條件下N－S方程：矢量形式：第26頁/共71頁適用于牛頓流體不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：第27頁/共71頁常粘度條件下不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：非定常項定常流動為0靜止流場為0對流項靜止流場為0蠕變流時≈0單位質(zhì)量流體的體積力單位質(zhì)量流體的壓力差擴散項（粘性力項）對靜止或理想流體為0高速非邊界層問題≈0第28頁/共71頁流動微分方程的應(yīng)用求解步驟根據(jù)問題特點對一般形式的運動方程進行簡化，獲得針對具體問題的微分方程或方程組。提出相關(guān)的初始條件和邊界條件。

初始條件：非穩(wěn)態(tài)問題邊界條件固壁－流體邊界：流體具有粘性，在與壁面接觸處流體速度為零。液體－氣體邊界：對非高速流，氣液界面上，液相速度梯度為零。液體－液體邊界：液液界面兩側(cè)的速度或切應(yīng)力相等。第29頁/共71頁廣義牛頓粘性應(yīng)力公式粘性流體動力學(xué)基本方程一、應(yīng)力張量分析二、變形速率張量三、本構(gòu)方程四、連續(xù)方程六、能量方程五、運動方程七、方程組的封閉性第30頁/共71頁廣義牛頓粘性應(yīng)力公式在流體作直線層流運動的條件下，我們可以直接由試驗得到切應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系式。在流體作非直線層流運動的條件下，并不能直接由試驗給出應(yīng)力與變形速率之間的一般關(guān)系式。為了得到這樣的關(guān)系式，必須對粘性流體中的應(yīng)力性質(zhì)作仔細的分析。第31頁/共71頁一、應(yīng)力張量分析運動流體中任一點的應(yīng)力狀態(tài)，可以由九個分量來表示，這九個應(yīng)力分量組成一個二階對稱張量分別為與坐標軸x，y，z相垂直的平面上的應(yīng)力

第32頁/共71頁任意平面上的應(yīng)力可表示為+n為任意平面的法向單位向量

第33頁/共71頁為便于書寫，我們規(guī)定：分別用e1、e2、e3代替i、j、k，帶有下標的量的下標分別用i=1，2，3代替x,y,z。并且遵循愛因斯坦符號算法規(guī)則：一項中下標符號重復(fù)的量，表示此項是變換下標后的各項相加。例如：

第34頁/共71頁在靜止流體中或理想流體中，過一點的任意平面的法向應(yīng)力的方向，都與該平面的單位法線向量n的方向相反，且法向應(yīng)力的數(shù)值p與n無關(guān)，即式中，p只是坐標位置及時間的函數(shù)p=p(x,y,z,t)。這個壓力就是經(jīng)典熱力學(xué)平衡態(tài)意義上的壓力。在粘性流體動力學(xué)中，流體質(zhì)點的物理量都處在變化過程中，過一點的不同平面上的法向應(yīng)力的數(shù)值并不一定相同。因此，嚴格說來，并不存在平衡態(tài)意義上的壓力。但我們可以定義一平均意義上的壓力Pm,，它是球形流體微團(也可取任意形狀的流體微團，結(jié)果相同)表面所承受的法向應(yīng)力Pnn的平均值的負值，即第35頁/共71頁式中a為球形微團的半徑。球面上的法向應(yīng)力和球面微元面積分別可寫成第36頁/共71頁于是此式右側(cè)包括9項，分別積分之，最后得即第37頁/共71頁由此可見，流場中任意一點的平均壓力pm，等于過此點的三個坐標面上的法向應(yīng)力p11,p22,p33的算術(shù)平均值的負值。平均壓力偏量:平均壓力與平衡態(tài)壓力之差pm-p?，F(xiàn)在讓我們把從應(yīng)力張量pm中分離出來。為此，令即為單位二階張量；D稱作偏應(yīng)力張量。第38頁/共71頁上式可寫成分量形式式中為偏應(yīng)力張量的分量；為單位二階張量的分量

因此應(yīng)力張量又可寫成第39頁/共71頁二、變形速率張量我們曾經(jīng)得到描寫流體變形速率的9個分量，由這9個分量可以組成一個描寫變形速率的二階對稱張量E式中因此變形速率張量E可表示為式中第40頁/共71頁過一點的任意平面上的變形速率可寫成式中第41頁/共71頁三、應(yīng)力張量與變形速率張量的關(guān)系斯托克斯根據(jù)牛頓粘性公式提出了關(guān)于應(yīng)力與變形速率之間的一般關(guān)系的三條假定：

(1)應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系；

(2)應(yīng)力與變形速率的關(guān)系在流體中各向同性；

(3)在靜止流體中,切應(yīng)力為零，正應(yīng)力的數(shù)值為靜壓力p。根據(jù)這三條假定,不難給出應(yīng)力與變形速率的一般關(guān)系式。我們將分兩步討論：

第一步，建立偏應(yīng)力張量D與變形速率E之間的關(guān)系； 第二步，建立平均壓力偏量與變形速率E之間的關(guān)系。

第42頁/共71頁(一)偏應(yīng)力張量D與變形速率張量E之間的關(guān)系根據(jù)斯托克斯的第(1)、(2)條假定，偏應(yīng)力張量與變形速率張量之間的關(guān)系可寫成或式中系數(shù)a，b可以是坐標位置的函數(shù)，但由于假定各向同性，因此它們與作用面的方向無關(guān)。將該式用于牛頓平板試驗，上式可寫成對比牛頓粘性應(yīng)力公式可以確定系數(shù)第43頁/共71頁于是系數(shù)b可以應(yīng)用平均壓力pm的性質(zhì)來確定。

第44頁/共71頁將此三式相加可得而由定義故上式左側(cè)為零于是由得從而或?qū)懗傻?5頁/共71頁（二）平均壓力偏量與變形速率之間得關(guān)系我們曾指出，嚴格說來，在粘性流體動力學(xué)中并不存在平衡態(tài)壓力，而是人為定義的平均壓力。平均壓力與平衡態(tài)壓力是又差別的，這個差別反映了由于速度場的不均勻所造成的流體質(zhì)點得狀態(tài)對于平衡態(tài)得偏離。利用斯托克斯假定可以確定平均應(yīng)力偏量與變形速率之間的關(guān)系。由于斯托克斯的第（1），（2）條假定，可以給出下列線性關(guān)系式中g(shù),c為系數(shù)，它們可以是坐標的函數(shù)，但由于假定各向同性，因此它們與平均壓力偏量的作用面的方向無關(guān)。第46頁/共71頁利用斯托克斯的第三條假定，可以確定系數(shù)c。在靜止流體中，代入上述關(guān)系式可得c=0令則上式可寫成于是或或通常稱為第二粘性系數(shù)，或體變形粘性系數(shù)

第47頁/共71頁(三)應(yīng)力張量與變形速率張量的一般關(guān)系式將式(12—18)、(12—22)代入式(12—10)可得應(yīng)力與變形速率的一般關(guān)系式或?qū)懗纱耸椒Q作廣義牛頓粘性應(yīng)力公式。第48頁/共71頁(四)討論(1)應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系的假定，對于大多數(shù)真實流動來說是與實際相符的。但是在像激波層這樣的區(qū)域中，應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系的假定是不符合實際的，此時廣義牛頓粘性應(yīng)力公式不再適用。(2)應(yīng)力與變形速率關(guān)系在流體中各向同性是建立在流體分子結(jié)構(gòu)各向同性的前提之下的。對于絕大多數(shù)的流體來說，這個前提能夠得到滿足。但是對于長分子結(jié)構(gòu)的流體，就不再具有各向同性的性質(zhì)，因此廣義牛頓粘性應(yīng)力公式不再適用。第49頁/共71頁(3)由關(guān)系式可見，平均壓力偏量pm-p取決于。對于不可壓縮流體，由于，因此pm=p，即平均壓力等于平衡態(tài)壓力。但是應(yīng)當注意，平均壓力仍然是法向應(yīng)力的平均值的負值，而并不是pm、p11、p22、p33這四個值相等。對于靜止流體，由于變形速率為零，因此pm=p，此時第50頁/共71頁對于可壓縮流體，在一般情況下，與p相比往往是小量。因此，斯托克斯又假定于是，實際上．對絕大多數(shù)氣體和液體的真實流動都可以認為但是在像激波層這樣的區(qū)域中，由于與p相比可能是同量級的．這時候就不能再假定因此也就不能認為p=pm第51頁/共71頁（4）第二粘性系數(shù)只可能是正值。在的條件下，平衡態(tài)壓力總是大于平均壓力的結(jié)論，即p>pm首先對式上式兩側(cè)乘以，則可得

單位時間內(nèi)單位質(zhì)量流體所作的實際膨脹功單位時間內(nèi)單位質(zhì)量流體在平衡態(tài)條件下所作的可逆膨脹功單位時間內(nèi)單位質(zhì)量流體所作的體積變化的耗散功第52頁/共71頁粘性流體動力學(xué)基本方程一、連續(xù)方程式與應(yīng)力無關(guān)，因此它的形式不變二、運動方程,一般形式的運動方程如下為作用在單位質(zhì)量流體上的表面力第53頁/共71頁利用張量表示法運動方程可寫成將廣義牛頓粘性應(yīng)力公式代入上式此式又稱納維-斯托克斯方程，向量形式為第54頁/共71頁各種特殊情況下的NS方程（1）對于，的流體，N-S方程可以寫成式中右側(cè)第四項中的偏微分部分可寫稱第55頁/共71頁于是納維-斯托克斯方程可寫成它的向量形式為2）對于不可壓縮流體，由于向量形式張量形式第56頁/共71頁三、能量方程能量方程的一般式為為表面力在單位時間內(nèi)對單位質(zhì)量流體所作的功。為以熱傳導(dǎo)方式傳給單位質(zhì)量流體的熱量。由富里埃定律知第57頁/共71頁從分子輸運的觀點來看，熱傳導(dǎo)反映了分子的能量輸運，粘性力反映了分子的動量輸運。若假定分子輸運通量(即動量或能量)與分子的輸運強度(即宏觀速度梯度或溫度梯度)成正比，并假定概率分布函數(shù)隨空聞與時間的變化都很小，則由分子運動論可以直接得到廣義牛頓粘性應(yīng)力公式和富里埃熱傳導(dǎo)定律。將以上兩式代入能量方程可得三種形式的能量方程式：能量，溫度，焓第58頁/共71頁四、關(guān)于粘性流體動力學(xué)方程組的封閉性

連續(xù)方程式，納維-斯托克斯方程式和能量方程式是研究牛頓流體的粘性流體動力學(xué)的基本方程組。在這些方程中，獨立的未知物理量共包含14個標量函數(shù)，但是基本方程組中只包含5個獨立方程，因此這組方程并不封閉。為了使方程組封閉，除必須給出三個表示流體物性的確切關(guān)系式外，還必須補充6個獨立方程。而這些補充的關(guān)系式和方程組只能由其它的條件、假定、或規(guī)律來提供。第59頁/共71頁在通常的流體力學(xué)問題中，輻射熱與其它量相比為小量，故可假定在通常的流體力學(xué)問題中，質(zhì)量力為重力，即f=g如果能再找到兩個聯(lián)系熱力學(xué)狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程，則可使方程封閉。但是，到目前為止，尚未找到普遍適用的狀態(tài)方程。我們在這里只準備討論一類簡單的流體，即它們在熱學(xué)上和熱量上是完全的氣體，即它們滿足第60頁/共71頁由以上諸式構(gòu)成了重力場中完全氣體在無輻射條件下的封閉方程組7個未知物理量7個方程，封閉第61頁/共71頁常物性不可壓縮流體基本方程式

第62頁/共71頁粘性流動的邊界條件

由上面幾節(jié)的討論，我們已經(jīng)得到粘性流體動力學(xué)問題的基本方程組。由偏微分方程理論知，任何一個方程或封閉方程組具有無數(shù)組可能的解。因此，若要得到完全確定的解，必須給出完全確定的定解條件，