大學(xué)文科數(shù)學(xué) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)

會(huì)計(jì)學(xué)1大學(xué)文科數(shù)學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)文科數(shù)學(xué)§5

數(shù)理統(tǒng)計(jì)1996年，美國學(xué)者D.Vchida,M.J.Cetron,F.Mckenjie發(fā)表了一篇論文：“學(xué)生必須掌握哪些知識(shí)和技能才能在21世紀(jì)立于不敗之地”，該文提到：運(yùn)用數(shù)學(xué)、邏輯和推理的技能；熟練的讀寫能力以及了解統(tǒng)計(jì)學(xué)此處的統(tǒng)計(jì)學(xué)，就是指“研究以及解釋和運(yùn)用數(shù)據(jù)的能力”的學(xué)科。介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的兩個(gè)最基本問題的主要思想。第1頁/共36頁文科數(shù)學(xué)1、藥效問題

某地區(qū)豬患某種病的概率是0.25，且每頭豬患病與否與其他豬無關(guān)。今研制了一種新的預(yù)防藥，選用12頭豬作實(shí)驗(yàn)，結(jié)果這12頭豬服用了此種藥后均未患病，問此藥是否有效？一、假設(shè)檢驗(yàn)問題

分析：取樣12頭豬，服藥后均未患病，據(jù)此判斷藥是否有效。直觀認(rèn)為：藥一定有效。（豬確實(shí)沒有生病嘛?。┳屑?xì)分析：可能存在問題?。ù蟛糠重i不服藥也不會(huì)患病，患病概率僅為0.25）12頭豬都未患病未必是藥的作用！第2頁/共36頁文科數(shù)學(xué)自然想法：(類似于反證法)若這事件發(fā)生的概率很小，即這件事幾乎不會(huì)發(fā)生，若藥無效，12頭豬均未患病的可能性有多大？那么它的發(fā)生應(yīng)歸于藥的效果。在“藥無效”的假設(shè)下，12頭豬均未患病的概率為P{12頭豬均未患病}這是小概率事件，即這件事幾乎不會(huì)發(fā)生(理論上)?！?/p>

但它恰是我們?nèi)拥慕Y(jié)果，即它實(shí)際發(fā)生了，說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而否定“藥無效”的假設(shè)，即認(rèn)為藥有效。第3頁/共36頁文科數(shù)學(xué)結(jié)論

由于小概率事件（即幾乎不會(huì)發(fā)生的事件）發(fā)生了，從而否定原先的假設(shè)“藥無效”?！?/p>

概率很小的事件并非絕對(duì)不可能發(fā)生：所以據(jù)此否定“藥無效”這一命題，也有可能會(huì)犯錯(cuò)誤，{12頭豬均未患病}發(fā)生的概率為0.032犯錯(cuò)誤的概率為0.032。所以該問題的確切表述應(yīng)為：有1-0.032=0.968的概率認(rèn)為“藥有效”進(jìn)一步討論第4頁/共36頁文科數(shù)學(xué)2、產(chǎn)品檢驗(yàn)問題180個(gè)產(chǎn)品包成一包，若每包產(chǎn)品中次品數(shù)不超過8個(gè)就認(rèn)為這包產(chǎn)品合格。現(xiàn)有一買主挑選了一包，從中任取4個(gè)產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有2個(gè)次品，問該包產(chǎn)品是否合格？

分析：取樣4個(gè)產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)有2個(gè)是次品，據(jù)此判斷這包產(chǎn)品是否合格。（即能否由此判斷180個(gè)產(chǎn)品里次品數(shù)不超過8個(gè)）第5頁/共36頁文科數(shù)學(xué)仔細(xì)分析先假設(shè)這包產(chǎn)品中有8個(gè)次品,172個(gè)正品，即這包則從中任取4個(gè)恰取到k

個(gè)次品的概率為合格，具體結(jié)果如下

可見：任取4個(gè)產(chǎn)品，其中次品數(shù)多于1個(gè)的概率不到1%(0.0097+0.0002+0.0000=0.0099)。k01234pk0.83240.15760.00970.00020.0000第6頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

想象：若這包產(chǎn)品中次品數(shù)比8個(gè)還少，則任取4個(gè)產(chǎn)品，其中次品數(shù)多于1個(gè)的概率就會(huì)更小。

所以：若這包產(chǎn)品合格，即次品數(shù)不超過8個(gè)，則“任取4個(gè)產(chǎn)品，次品數(shù)多于1個(gè)”是小概率事件，不應(yīng)發(fā)生。結(jié)論：取到2個(gè)次品，否定“這包產(chǎn)品合格”。有99%的把握認(rèn)為這包產(chǎn)品不合格

可見：任取4個(gè)產(chǎn)品，其中次品數(shù)多于1個(gè)的概率不到1%(0.0097+0.0002+0.0000=0.0099)。仔細(xì)分析第7頁/共36頁文科數(shù)學(xué)假設(shè)檢驗(yàn)問題

要判斷的命題稱為“統(tǒng)計(jì)假設(shè)”或“假設(shè)”；

判斷命題正確與否的做法稱為“檢驗(yàn)”；

這類問題稱為“假設(shè)檢驗(yàn)”。如：要判斷“本地農(nóng)戶平均收入超過5000元”，“肺癌與吸煙無關(guān)”等如：“小概率事件在一次試驗(yàn)中不應(yīng)該發(fā)生”等數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的兩類基本問題之一

特性：否定與肯定“假設(shè)”都會(huì)犯錯(cuò)誤，此由隨機(jī)現(xiàn)象本性所決定，不可避免。控制犯錯(cuò)誤的概率！第8頁/共36頁文科數(shù)學(xué)3、骰子的均勻性

在賭博中，判斷骰子是否均勻（即每面向上的概率是否都為1/6）是非常重要的。

試驗(yàn)：一枚骰子擲了次，其中1點(diǎn)出現(xiàn)了次。問題簡化：考慮“1點(diǎn)向上”的概率是否為1/6。據(jù)此判斷“1點(diǎn)出現(xiàn)的概率為1/6”這一假設(shè)是否成立分析：由試驗(yàn)，“1點(diǎn)出現(xiàn)”的頻率為該頻率與1/6相差極小，是否可以認(rèn)為假設(shè)成立？第9頁/共36頁文科數(shù)學(xué)誤差0.0000333…如何解釋？現(xiàn)令：X為擲次骰子時(shí)1點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)，還是骰子本身均勻，該誤差僅是合理的隨機(jī)誤差？則

X的概率分布為由骰子不均勻引起？其中p為每次投擲時(shí)1點(diǎn)出現(xiàn)的概率。若“1點(diǎn)出現(xiàn)的概率為1/6”這一假設(shè)成立，即仔細(xì)分析p=1/6，則上式變?yōu)榈?0頁/共36頁文科數(shù)學(xué)實(shí)際情況：1點(diǎn)出現(xiàn)了次，而計(jì)算可知：對(duì)于均勻骰子來講是不可能發(fā)生的（概率不足百萬分之一)。此外：1點(diǎn)出現(xiàn)的頻率X/n

與1/6的差應(yīng)滿足因此：否定“1點(diǎn)出現(xiàn)的概率為1/6”這一假設(shè)。第11頁/共36頁文科數(shù)學(xué)即頻率X/n

與1/6的差不應(yīng)超過但實(shí)際差距是0.0000333…，與0.0000008相比太大概率不足百萬分之一的事件發(fā)生了，從而否定“1點(diǎn)出現(xiàn)的概率為1/6”這一假設(shè)了，第12頁/共36頁文科數(shù)學(xué)1、概率分布的估計(jì)為了估計(jì)某個(gè)事件A的概率p,二、估計(jì)問題作n次試驗(yàn)(觀察)，看看A發(fā)生了幾次。設(shè)A恰好發(fā)生了k

次,則可用頻率

作為事件A

事件發(fā)生概率的估計(jì)的概率p

的估計(jì)值。顯然，n越大，該估計(jì)越好！第13頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

離散型概率分布的估計(jì)

例如：估計(jì)某商店周日上午8點(diǎn)至12點(diǎn)間每分鐘到達(dá)的顧客數(shù)X

的分布。X

可能的取值為0,1,2,…,只需對(duì)任意數(shù)k，估計(jì)進(jìn)行試驗(yàn)：觀測(cè)了20個(gè)周日的數(shù)據(jù)，共4800分鐘，記錄下每分鐘到達(dá)的顧客數(shù)(4800個(gè)數(shù)據(jù))。設(shè)到達(dá)k

個(gè)顧客的分鐘數(shù)為tk令則X

的概率分布為用頻率估計(jì)概率!第14頁/共36頁文科數(shù)學(xué)2、參數(shù)的估計(jì)估計(jì)問題是建立數(shù)學(xué)模型中不可缺少的部分。任何模型，包括確定性模型總有待定的參數(shù)，需要通過對(duì)實(shí)際問題的觀測(cè)(試驗(yàn))來確定。由于觀測(cè)(試驗(yàn))具有誤差，觀測(cè)值具有隨機(jī)性，從而得不到精確結(jié)論。

因此我們不說“求”概率p，“求”參數(shù)a，而說“估計(jì)”p，“估計(jì)”a。目標(biāo)：估計(jì)均值、方差等參數(shù)。例如：估計(jì)森林的木材儲(chǔ)量等。首要問題：估計(jì)的方法！第15頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

例如：估計(jì)某地區(qū)農(nóng)戶的平均收入（農(nóng)戶收入的均值a）。試驗(yàn)：隨機(jī)地抽取n戶，收入分別為方法1：用平均收入來估計(jì)整個(gè)地區(qū)農(nóng)戶的平均收入a。方法2：去掉一個(gè)最高值及一個(gè)最低值再求平均來估計(jì)整個(gè)地區(qū)農(nóng)戶的平均收入a。第16頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

不同估計(jì)方法的實(shí)質(zhì)就是的不同函數(shù)，稱其為估計(jì)量。

一旦做了試驗(yàn)，抽取了數(shù)據(jù)，針對(duì)要估計(jì)的量(參數(shù))，首先要找出估計(jì)的方法(估計(jì)量)。一般而言，要找一個(gè)“合理”的估計(jì)方法并不容易，而且估計(jì)方法的尋找依賴于實(shí)際問題的背景。說明：“估計(jì)”有確切含義！

之所以稱為“估計(jì)”,不是因?yàn)榫炔?不準(zhǔn)確！而是強(qiáng)調(diào)了估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，因?yàn)橛懻摰幕A(chǔ)是一組隨機(jī)數(shù)據(jù)。（形象的稱為“數(shù)據(jù)加工的函數(shù)”）這種使用“樣本值函數(shù)”估計(jì)的方法稱為矩估計(jì)法。第17頁/共36頁文科數(shù)學(xué)例1、汽車產(chǎn)量的估計(jì)

早期情報(bào)人員曾通過觀察敵方城市中汽車牌照號(hào)碼來估計(jì)其汽車產(chǎn)量。為簡單起見，設(shè)汽車牌照號(hào)碼是按自然順序1開始排列的?，F(xiàn)把號(hào)碼，例如03402，看成是一個(gè)小數(shù),即0.03402，把號(hào)碼對(duì)應(yīng)于區(qū)間(0,1)中的一個(gè)數(shù)。所有汽車中的最大號(hào)碼(恰是汽車的產(chǎn)量)對(duì)應(yīng)于區(qū)間(0,1)中未知的參數(shù)θ?，F(xiàn)隨機(jī)地在城市中觀測(cè)n個(gè)汽車號(hào)碼，它們對(duì)應(yīng)于區(qū)間(0,θ)中的n個(gè)數(shù)。

問：如何用這n個(gè)數(shù)對(duì)參數(shù)θ

作出估計(jì)？第18頁/共36頁文科數(shù)學(xué)方法1：由于觀測(cè)的隨機(jī)性，可認(rèn)為在區(qū)間(0,θ)內(nèi)“均勻”地分布著,故可用它們的平均值估計(jì)區(qū)間(0,θ)的中點(diǎn),從而用估計(jì)θ。例1、汽車產(chǎn)量的估計(jì)第19頁/共36頁文科數(shù)學(xué)方法2：把(0,θ)分成了n+1個(gè)小區(qū)間，當(dāng)?shù)拈L度估計(jì)，在區(qū)間(0,θ)內(nèi)“均勻”分布時(shí)，每個(gè)小區(qū)間長度相差不大，都和近似。故可以用某一區(qū)間的長度，例如最左邊的小區(qū)間即用例1、汽車產(chǎn)量的估計(jì)來估計(jì)θ。第20頁/共36頁文科數(shù)學(xué)長度并不完全相等，是左邊n個(gè)小區(qū)間的長度無論選擇哪個(gè)來估計(jì)都不夠“精確”，為此考慮它們的“平均長度”。由于我們用來估計(jì)每個(gè)小區(qū)例1、汽車產(chǎn)量的估計(jì)方法3：把(0,θ)分成了n+1個(gè)小區(qū)間，之和，間的長度，即用來估計(jì)θ。第21頁/共36頁文科數(shù)學(xué)例2、敏感性問題調(diào)查

在社會(huì)調(diào)查用頻率估計(jì)概率時(shí)，有些敏感的問題人們往往不愿意如實(shí)回答。如“你考試時(shí)作過弊嗎?”，“你在超市偷拿過商品嗎?”。由于不能直接得到概率p的估計(jì)，通常是估計(jì)一個(gè)和p有關(guān)的量，然后算出p的估計(jì)。回憶例1所用方法。對(duì)敏感性問題的調(diào)查，有一種巧妙的隨機(jī)應(yīng)答方法（S.L.Wamer,1965）。第22頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

方法：要求被調(diào)查者在兩個(gè)問題中隨機(jī)地選一個(gè)回答(只回答“是”或“不是”)，而不必告訴別人他回答的是哪一個(gè)問題，其中一個(gè)問題是要調(diào)查的敏感問題，另一個(gè)是無關(guān)緊要的問題。

例如：設(shè)敏感問題是“你考試作過弊嗎?”，另一問題是“你出生的年份最后一位數(shù)是偶數(shù)嗎?”。

做法：讓被調(diào)查者擲一枚硬幣(別人看不到)，出現(xiàn)正面時(shí)回答前一個(gè)問題，否則回答后一個(gè)問題，具體回答哪一個(gè)問題只有他本人知道。下面做具體分析。例2、敏感性問題調(diào)查第23頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

假設(shè)對(duì)200人做了調(diào)查，其中58人回答“是”。由于硬幣的均勻性：可以估計(jì)約100人回答了第2個(gè)問題，另100人回答了第1個(gè)問題。又出生年份最后一位是偶數(shù)與奇數(shù)的機(jī)會(huì)相同：回答第2個(gè)問題的100人中約有50個(gè)人回答“是”。從而：回答第1個(gè)問題的100人中約有58-50=8人回答了“是”，即“考試中作過弊”的人約占。具體分析例2、敏感性問題調(diào)查第24頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

方法的實(shí)質(zhì)：知道回答第1個(gè)問題的人的概率(擲硬幣試驗(yàn))，(當(dāng)然并不要求概率一定是1/2，如拋骰子試驗(yàn))也知道第2個(gè)問題回答“是”的概率(數(shù)的奇偶性)，(也不要求概率一定是1/2)從而可以給出p的估計(jì)。例2、敏感性問題調(diào)查第25頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

將例2中第2個(gè)問題改為“你的生日是1月份嗎?”，把硬幣改為骰子，當(dāng)擲出1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)回答第2個(gè)問題，否則回答第1個(gè)問題。若調(diào)查了900人有72人回答“是”，試給出p

的估計(jì)。

例習(xí)分析：p1=1/12,p2=1/3回答問題2：900×1/3=300回答問題1：900×2/3=600回答問題2“是”：300×1/12=25回答問題1“是”：72－25=47p≈47/600第26頁/共36頁文科數(shù)學(xué)例3、湖中魚數(shù)的估計(jì)

湖中魚數(shù)N未知，今捕上M條魚，作上記號(hào)后均勻地放回湖中，再捕上n條，若其中k條有記號(hào)，試估計(jì)湖中魚數(shù)N。

方法1：由于有記號(hào)的魚已均勻地分布在湖中,有記號(hào)的魚在湖中占的比例應(yīng)和第二次捕的魚中占的比例近似，即故用估計(jì)N（取最近的正整數(shù)）。第27頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

方法2：當(dāng)有記號(hào)的魚在湖中均勻地分布時(shí)P{捕n條魚中有k條有記號(hào)}?為什么第二次捕n條魚時(shí),恰好捕到了k條有記號(hào)的魚呢？可以認(rèn)為這件事發(fā)生的概率很大！所以對(duì)N的估計(jì)應(yīng)該使上述概率達(dá)到極大！考慮例3、湖中魚數(shù)的估計(jì)第28頁/共36頁文科數(shù)學(xué)P{捕n條魚中有k條有記號(hào)}可見：當(dāng)，即當(dāng)，即從而使f(N)達(dá)到極大的N的估計(jì)值應(yīng)滿足與方法1所得結(jié)果一致。第29頁/共36頁文科數(shù)學(xué)極大似然思想：

做了一次試驗(yàn)，結(jié)果事件A發(fā)生了，則參數(shù)的選取（即估計(jì)）應(yīng)使事件A