河北省容城博奧學(xué)校2022年高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.2.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.23.已知拋物線y2=4x的焦點為F,拋物線上任意一點P,且PQ⊥y軸交y軸于點Q,則的最小值為()A. B. C.l D.14.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.6.已知數(shù)列的通項公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.787.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的()A.2 B.3 C. D.9.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.10.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為,圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為()A. B. C. D.211.如圖是計算值的一個程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A.B.C.D.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在某批次的某種燈泡中,隨機抽取200個樣品.并對其壽命進行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下:壽命(天)頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機地購買了個,如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結(jié)果相同,則的最小值為______.14.二項式的展開式中項的系數(shù)為_____.15.已知拋物線的焦點為,斜率為2的直線與的交點為,若,則直線的方程為___________.16.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域,用來種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點D,E分別在邊,上);再取的中點M,建造直道(如圖).設(shè),,(單位:百米).(1)分別求,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試確定點D的位置,使兩條直道的長度之和最小,并求出最小值.18.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(1)求橢圓C的方程;(2)過點(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上,求直線l的方程.19.(12分)一個工廠在某年里連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本(萬元)與該月產(chǎn)量(萬件)之間有如下一組數(shù)據(jù):1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通過畫散點圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)①建立月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程;②通過建立的關(guān)于的回歸方程,估計某月產(chǎn)量為1.98萬件時,產(chǎn)品的總成本為多少萬元?(均精確到0.001)附注:①參考數(shù)據(jù):,,,,.②參考公式:相關(guān)系數(shù),,.20.(12分)某調(diào)查機構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響,對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元,假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出,預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時,年利潤w取到最大值?參考公式:21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點,且滿足>1,求實數(shù)a的取值范圍;(3)若?x∈(0,1],使f(x)≥成立,求實數(shù)a的最大值.22.(10分)某社區(qū)服務(wù)中心計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶5元,售價每瓶7元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:攝氏度℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為500瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為(單位:瓶)時,的數(shù)學(xué)期望的取值范圍?

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.2.C【解析】

推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用,屬于中檔題.3.A【解析】

設(shè)點,則點,,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點,則點,,,,當(dāng)時,取最小值,最小值為.故選:A.【點睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運算,考查學(xué)生的計算能力,是基礎(chǔ)題.4.D【解析】

設(shè),由,得,利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.5.C【解析】

由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.6.D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值,可進一步得到數(shù)列的通項公式,然后代入轉(zhuǎn)化計算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,當(dāng)為奇數(shù)時,,當(dāng)為偶數(shù)時,所以當(dāng)為奇數(shù)時,;當(dāng)為偶數(shù)時,,所以故選:D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.7.A【解析】

先求得全集包含的元素,由此求得集合的補集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】

運行程序,依次進行循環(huán),結(jié)合判斷框,可得輸出值.【詳解】起始階段有,,第一次循環(huán)后,,第二次循環(huán)后,,第三次循環(huán)后,,第四次循環(huán)后,,所有后面的循環(huán)具有周期性,周期為3,當(dāng)時,再次循環(huán)輸出的,,此時,循環(huán)結(jié)束,輸出,故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識,經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題型.9.A【解析】

由的解集,可知及,進而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因為,所以的解集為,故選:A.【點睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點M和點N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處,根據(jù)平面上兩點間直線段最短,利用勾股定理,求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬,圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處,所以所求的最短路徑的長度為,故選B.點睛:該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個點在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點間直線段最短,所以處理方法就是將面切開平鋪,利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.11.B【解析】

根據(jù)計算結(jié)果,可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次;輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,進而可得判斷框內(nèi)的不等式.【詳解】因為該程序圖是計算值的一個程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,根據(jù)結(jié)果填寫判斷框,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值,然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,同時也考查了等差數(shù)列求和,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.10【解析】

先求出a,b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得,a=0.2,b=80,由表可知,燈泡樣品第一組有40個,第二組有60個,第三組有80個,第四組有20個,所以四個組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法,購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值為10.【點睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用,涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算,屬于基礎(chǔ)題.14.15【解析】

由題得,,令,解得,代入可得展開式中含x6項的系數(shù).【詳解】由題得,,令,解得,所以二項式的展開式中項的系數(shù)為.故答案為:15【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了利用通項公式去求展開式中某項的系數(shù)問題.15.【解析】

設(shè)直線l的方程為,,聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,得到A,B點橫坐標(biāo)的關(guān)系式,代入到中,解出t的值,即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線.由題設(shè)得,故,由題設(shè)可得.

由可得,

則,從而,得,所以l的方程為,故答案為:【點睛】本題主要考查了直線的方程,拋物線的定義,拋物線的簡單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.16.【解析】

根據(jù)題意,由雙曲線的漸近線方程可得,即a=2b,進而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb,由雙曲線的離心率公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線的離心率e;故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),.,.(2)當(dāng)百米時,兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】

(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;在和中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二:在中,可得,則有,化簡整理即得;同理,化簡整理即得.(2)由(1)和基本不等式,計算即得.【詳解】解:(1),是邊長為3的等邊三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在和中,由余弦定理,得①②因為M為的中點,所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.法2:因為在中,,所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在中,因為M為的中點,所以.所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.(2)由(1)得,兩條直道的長度之和為(當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”).故當(dāng)百米時,兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點睛】本題考查了余弦定理和基本不等式,第一問也可以利用三角形中的向量關(guān)系進行求解,屬于中檔題.18.(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點的坐標(biāo)以及列方程,由此求得,進而求得橢圓的方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到,由此求得點的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡后可求得直線的斜率,由此求得直線的方程.【詳解】(1)由橢圓的離心率為,點在橢圓上,所以,且解得,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,設(shè),由消去得,所以,由已知得,所以,由于點都在橢圓上,所以,展開有,又,所以,經(jīng)檢驗滿足,故直線的方程為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點的坐標(biāo)求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運算求解能力,屬于中檔題.19.(1)見解析;(2)①②3.386(萬元)【解析】

(1)利用代入數(shù)值,求出后即可得解;(2)①計算出、后,利用求出后即可得解;②把代入線性回歸方程,計算即可得解.【詳解】(1)由已知條件得,,∴,說明與正相關(guān),且相關(guān)性很強.(2)①由已知求得,,所以,所求回歸直線方程為.②當(dāng)時,(萬元),此時產(chǎn)品的總成本約為3.386萬元.【點睛】本題考查了相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用以及線性回歸方程的求解和應(yīng)用,考查了計算能力,屬于中檔題.20.(1)(2)當(dāng)時,年利潤最大.【解析】

(1)方法一:令,先求得關(guān)于的回歸直線方程,由此求得關(guān)于的回歸直線方程.方法二:根據(jù)回歸直線方程計算公式,計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.(2)求得w的表達式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測.【詳解】(1)方法一:取,則得與的數(shù)據(jù)關(guān)系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,關(guān)于的線性回歸方程是即,故關(guān)于的線性回歸方程是.方法二:因為,,,,,所以,故關(guān)于的線性回歸方程是,(2)年利潤,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時,年利潤最大.【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法,考查利用回歸直線方程進行預(yù)測,考查運算求解能力,屬于中檔題.21.(1)m(t)=(2)a≤2-2.(3)a≤2-2.【解析】

(1)是研究在動區(qū)間上的最值問題,這類問題的研究方法就是通過討論函數(shù)的極值點與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來進行求解.(2)注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點A,B連線的斜率總大于1,等價于h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2(x1<x2)恒成立,從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,進而等價于F′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立來加以研究.(3)用處理恒成立問題來處理有解問題,先分離變量轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)的最值,得到a≤,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)M(x)=的最大值,這要用到二次求導(dǎo),才可確定函數(shù)單調(diào)性,進而確定函數(shù)最值.【詳解】(1)f′(x)=1-,x>0,令f′(x)=0,則x=1.當(dāng)t≥1時,f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(t)=t-lnt;當(dāng)0<t<1時,f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù),在區(qū)間(1,t+1)上為增函數(shù),f(x)的最小值為f(1)=1.綜上,m(t)=(2)h(x)=x2-(a+1)x+lnx,不妨取0<x1<x2,則x1-x2<0,則由,可得h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2,變形得h(x1

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