數(shù)學(xué)奧林匹克專(zhuān)題講座

..數(shù)學(xué)奧林匹克專(zhuān)題講座一、立體圖形空間形體的想象能力是小學(xué)生的一種重要的數(shù)學(xué)能力,而立體圖形的學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)這種能力十分有效。我們雖然在課本上已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡(jiǎn)單的立體圖形,如正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體、圓錐體,但有關(guān)立體圖形的概念還需要深化,空間想象能力還需要提高。將空間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成平面的位置關(guān)系來(lái)處理,是解決立體圖形問(wèn)題的一種常用思路?！惨涣Ⅲw圖形的表面積和體積計(jì)算例1：一個(gè)圓柱形的玻璃杯中盛有水,水面高2.5cm,玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72cm2,在這個(gè)杯中放進(jìn)棱長(zhǎng)6cm的正方體鐵塊后,水面沒(méi)有淹沒(méi)鐵塊,這時(shí)水面高多少厘米？解：水的體積為72×2.5=180〔cm3,放入鐵塊后可以將水看做是底面積為72-6×6=32〔cm2的柱體,所以它的高為180÷32=5〔cm。例2：右圖表示一個(gè)正方體,它的棱長(zhǎng)為4cm,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的正方體,問(wèn)：此圖的表面積是多少？分析：正方體有6個(gè)面,而每個(gè)面中間有一個(gè)正方形的孔,在計(jì)算時(shí)要減去小正方形的面積。各面又挖去一個(gè)小正方體,這時(shí)要考慮兩頭小正方體是否接通,這與表面積有關(guān)系。由于大正方體的棱長(zhǎng)為4cm,而小正方體的棱長(zhǎng)為1cm,所以沒(méi)有接通。每個(gè)小正方體孔共有5個(gè)面,在計(jì)算表面積時(shí)都要考慮。解：大正方體每個(gè)面的面積為4×4-1×1=15〔cm2,6個(gè)面的面積和為15×6=90〔cm2。小正方體的每個(gè)面的面積為1×1=1〔cm2,5個(gè)面的面積和為1×5=5〔cm2,6個(gè)小正方體孔的表面積之和為5×6=30〔cm2,因此所求的表面積為90＋30=120〔cm2。想一想,當(dāng)挖去的小正方體的棱長(zhǎng)是2cm時(shí),表面積是多少？請(qǐng)同學(xué)們把它計(jì)算出來(lái)。例3：正方體的每一條棱長(zhǎng)是一個(gè)一位數(shù),表面的每個(gè)正方形面積是一個(gè)兩位數(shù),整個(gè)表面積是一個(gè)三位數(shù)。而且若將正方形面積的兩位數(shù)中兩個(gè)數(shù)碼調(diào)過(guò)來(lái)則恰好是三位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)碼。求這個(gè)正方體的體積。解：例4：一個(gè)長(zhǎng)、寬和高分別為21cm,15cm和12cm的長(zhǎng)方體,現(xiàn)從它的上面盡可能大地切下一個(gè)正方體,然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個(gè)正方體,最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大地切下一個(gè)正方體,剩下的體積是多少立方厘米？解：根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為21cm,15cm和12cm的條件,可知第一次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是12cm,其體積是12×12×12=1728〔cm3。這時(shí)剩余立體圖形的底面形狀如圖1,其高是12cm。這樣,第二次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是9cm,其體積是9×9×9=729〔cm3。這時(shí)剩余立體圖形可分割為兩部分：一部分的底面形狀如圖2,高是12cm；另一部分的底面形狀如圖3,高是3cm。這樣,第三次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是6cm,其體積是6×6×6=216〔cm3。因此,剩下的體積是21×15×12-〔1728＋729＋216=3780-2673=1107〔cm3。說(shuō)明：如果手頭有一個(gè)泥塑的長(zhǎng)方體和小刀,那么做出這道題并不難。但實(shí)際上,我們并沒(méi)有依賴(lài)于具體的模型和工具,這就是想象力的作用。我們正是在原有感性經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,想象出切割后立體的形狀,并通過(guò)它們各個(gè)側(cè)面的形狀和大小表示出來(lái)。因此,對(duì)一個(gè)立體圖形,應(yīng)該盡可能地想到它的原型。例5：下圖是一個(gè)長(zhǎng)27cm,寬8cm,高8cm的長(zhǎng)方體?，F(xiàn)將它分為4部分,然后將這4部分重新組拼,能重組為一個(gè)棱長(zhǎng)為12cm的正方體。請(qǐng)問(wèn)應(yīng)該怎么分？解：重組成的正方體的棱長(zhǎng)是12cm,而已知長(zhǎng)方體的寬是8cm,所以要把寬增加4cm,為此可按下圖1中的粗線分開(kāi),分開(kāi)后重組成圖2的形狀；圖2的高是8cm,也應(yīng)增加4cm,為此可按圖2中的虛線分開(kāi),分開(kāi)后重組成圖3的形狀。圖3就是所組成的棱長(zhǎng)為12cm的正方體。說(shuō)明：這里有一個(gè)樸素的思想,就是設(shè)法把不足12cm的寬和高補(bǔ)成12cm的棱長(zhǎng),同時(shí)按照某種對(duì)稱(chēng)的方式分割。在解關(guān)于立體圖形的問(wèn)題時(shí),需要有較豐富的想象力,要能把平面圖形在頭腦中"立"起來(lái),另外還應(yīng)有一定的作圖本領(lǐng)和看圖能力。例6：雨嘩嘩地不停地下著,如在雨地里放一個(gè)如右圖那樣的長(zhǎng)方體的容器〔單位：cm,雨水將它下滿要用1時(shí)。有下列〔1～〔5不同的容器,雨水下滿各需多長(zhǎng)時(shí)間？解：根據(jù)題意知雨均勻地下,即單位面積內(nèi)的降雨量相同。所以雨水下滿某容器所需的時(shí)間與該容器的容積和接水面〔敞開(kāi)部分的面積之比有關(guān)。因?yàn)樵诶龍D所示容器中需1時(shí)接滿,所以：〔二立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖例7：右上圖是一個(gè)立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖〔單位：cm,求這個(gè)立體圖形的表面積和體積。解：這個(gè)立體圖形是一個(gè)圓柱的四分之一,圓柱底面半徑為10cm,高為8cm。它的表面積為例8：右上圖是一個(gè)正方體,四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請(qǐng)其展開(kāi)圖中畫(huà)出四邊形APQC的四條邊。解：把空間圖形表面的線條畫(huà)在平面展開(kāi)圖上,只要抓住四邊形APQC四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置這個(gè)關(guān)鍵,再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫(huà)出。〔1考慮到展開(kāi)圖上有六個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有標(biāo)出,可想象將展開(kāi)圖折成立體形,并在頂點(diǎn)上標(biāo)出對(duì)應(yīng)的符號(hào)?！?根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置,確定其頂點(diǎn)所在的點(diǎn)和棱,以及四條邊所在的平面：頂點(diǎn)：A—A,C—C,P在EF邊上,Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上,AP在ABFE面上,QC在BCGF面上,PQ在EFGH面上。〔3將上面確定的位置標(biāo)在展開(kāi)圖上,并在對(duì)應(yīng)平面上連線。需要注意的是,立體圖上的A,C點(diǎn)在展開(kāi)圖上有三個(gè),B,D點(diǎn)在展開(kāi)圖上有二個(gè),所以在標(biāo)點(diǎn)連線時(shí)必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如上圖。例9：如右圖所示,剪一塊硬紙片可以做成一個(gè)多面體的紙模型〔沿虛線折,沿實(shí)線粘。這個(gè)多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)的總和是多少？解：從展開(kāi)圖可以看出,粘合后的多面體有12個(gè)正方形和8個(gè)三角形,共20個(gè)面。這個(gè)多面體上部的中間是一個(gè)正三角形,這個(gè)正三角形的三邊與三個(gè)正方形相連,這樣上部共有9個(gè)頂點(diǎn),下部也一樣。因此,多面體的頂點(diǎn)總數(shù)為9×2=18〔個(gè)。在20個(gè)面的邊中,虛線有19條,實(shí)線有34條。因?yàn)槊織l虛線表示一條棱,兩條實(shí)線表示一條棱,所以多面體的總棱數(shù)為19＋34÷2=36〔條。綜上所述,多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)之和為20+18＋36＝74。說(shuō)明：數(shù)學(xué)家歐拉曾給出一個(gè)公式：V＋F-E＝2。公式中的V表示頂點(diǎn)數(shù),E表示棱數(shù),F表示面數(shù)。根據(jù)歐拉公式,知道上例多面體的面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)之后,棱數(shù)便可求得：E=V＋F-2=20＋18-2=36〔條。〔三立體圖形的截面與投影例10：用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體,可以得到幾邊形？解：如圖,可得到三角形、四邊形、五邊形和六邊形。例11：一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體,把它切開(kāi)成49個(gè)小正方體。小正方體的大小不必都相同,而小正方體的棱長(zhǎng)以厘米作單位必須是整數(shù)。問(wèn)：可切出幾種不同尺寸的正方體？每種正方體的個(gè)數(shù)各是多少？解：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216。如果能切出1個(gè)棱長(zhǎng)為5cm的正方體,那么其余的只能是棱長(zhǎng)為1cm的正體體,共切出小正方體1＋〔63-53÷1=92〔個(gè)。因?yàn)?2＞49,所以不可能切出棱長(zhǎng)為5cm的正方體。如果能切出1個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正方體,那么其余的只能是棱長(zhǎng)為1cm或2cm的正方體。設(shè)切出棱長(zhǎng)為1cm的正方體有a個(gè),切出棱長(zhǎng)為2cm的正方體有b個(gè),則有設(shè)切出棱長(zhǎng)為1cm的正方體有a個(gè),棱長(zhǎng)為2cm的正方體有b個(gè),棱長(zhǎng)為3cm的正方體有c個(gè),則解之得a=36,b=9,c=4。所以可切出棱長(zhǎng)為1cm、2cm和3cm的正方體各為36、9和4個(gè)。例12：現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)1cm的正方體,一個(gè)長(zhǎng)寬1cm、高2cm的長(zhǎng)方體,三個(gè)長(zhǎng)寬1cm、高3cm的長(zhǎng)方體。下列圖形是把這五個(gè)圖形合并成某一立體圖形時(shí),從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試?yán)孟旅嫒齻€(gè)圖形把合并成的立體圖形〔如例的樣子畫(huà)出來(lái),并求出其表面積。解：立體圖形的形狀如右圖所示。從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2,共18cm2；從兩個(gè)側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2,共14cm2；從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2,共12cm2；隱藏著的面積有2cm2。一共有18＋16＋12＋2＝46〔cm2。練習(xí)：1．一個(gè)長(zhǎng)方體水箱,從里面量得長(zhǎng)40cm、寬30cm、深35cm,里面的水深10cm。放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng)20cm的正方體鐵塊后,水面高多少厘米？2．王師傅將木塊刨成橫截面如右圖〔單位：cm那樣的高40cm的一個(gè)棱柱。虛線把橫截面分成大小兩部分,較大的那部分的面積占整個(gè)底面的60％。這個(gè)棱柱的體積是多少立方厘米？3．在底面為邊長(zhǎng)60cm的正方形的一個(gè)長(zhǎng)方體的容器里,直立著一根高1m,底面為邊長(zhǎng)15cm的正方形的四棱柱鐵棍。這時(shí)容器里的水半米深。現(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24cm,露出水面的四棱柱鐵棍浸濕部分長(zhǎng)多少厘米？4．右邊各圖形中,有的是正方體的展開(kāi)圖,寫(xiě)出這些圖形的編號(hào)。5．小玲有兩種不同形狀的紙板,一種是正方形,一種是長(zhǎng)方形。正方形紙板的總數(shù)與長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)之比是1∶2。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無(wú)蓋紙盒〔如下圖,正好將紙板用完。在小玲所做的紙盒中,豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？6．請(qǐng)你在下面圖〔2中畫(huà)出3種和圖〔1不一樣的設(shè)計(jì)圖,使它們折起來(lái)后都成為右圖所示的長(zhǎng)方形盒子〔直線段與各棱交于棱的中點(diǎn)。7．在桌面上擺有一些大小一樣的正方體木塊,從正南方向看如下左圖,從正東方向看如下右圖,要擺出這樣的圖形至多用多少塊正方體木塊？至少需要多少塊正方體木塊？8．有一個(gè)正方體,它的6個(gè)面被分別涂上了不同的顏色,并且在每個(gè)面上至少貼有一張紙條。用不同的方法來(lái)擺放這個(gè)正方體,并從不同的角度拍下照片?！?洗出照片后,把所拍攝的面的顏色種類(lèi)不同的照片全部挑選出來(lái),最多可以選出多少?gòu)堈掌?？?觀察〔1中選出的照片,發(fā)現(xiàn)各張照片里的紙條數(shù)各不相同。問(wèn)：整個(gè)正方體最少貼有多少?gòu)埣垪l？答案：1.〔15cm。解：若鐵塊完全浸入水中,則水面將提高此時(shí)水面的高小于20cm,與鐵塊完全浸入水中矛盾,所以鐵塊頂面仍然高于水面。此時(shí)水深與容器底面積的乘積應(yīng)等于原有水量的體積與鐵塊浸入水中體積之和。設(shè)放進(jìn)鐵塊后,水深為xcm,則40×30×x＝40×30×10+20×20×x,解得x=15,即放進(jìn)鐵塊后,水深15cm。2.〔19200cm3。解得x=16。這個(gè)棱柱的體積是{[〔12+24×16÷2]÷60％}×40＝19200〔cm3。3.〔25.6cm。解：容器里的水共有〔60×60-15×15×50＝168750〔cm3。當(dāng)把鐵棍提起24cm時(shí),鐵棍仍浸在水中的部分的長(zhǎng)是〔168750-60×60×24÷〔60×60-15×15=24.4〔cm,所以露出水面的浸濕部分長(zhǎng)50-24.4=25.6〔cm。4.〔2〔3〔6〔8〔9〔12〔14〔16〔17〔19〔20共11個(gè)。5.〔1∶2。解：設(shè)一共做了x個(gè)豎式紙盒,y個(gè)橫式紙盒。注意到這兩種紙盒都是無(wú)蓋的,x個(gè)豎式紙盒共用x個(gè)正方形和4x個(gè)長(zhǎng)方形紙板；y個(gè)橫式紙盒共用2y個(gè)正方形和3y個(gè)長(zhǎng)方形紙板。根據(jù)題意,得2〔x+2y=4x+3y,化簡(jiǎn)為2x=y,即x∶y=1∶2。6.如右圖所示：7.至少要6塊正方體木塊〔右圖,至多需要20塊正方體木塊〔右圖。圖中的數(shù)字表示放在這一格上的正方體木塊的層數(shù)。8.〔126張；〔239張。解：〔11個(gè)面的6種,2個(gè)面〔即1個(gè)棱的12種,3個(gè)面的8種,共6+12+8=26〔張?！?因?yàn)?6張照片上紙條數(shù)各不相同,所以紙條數(shù)至少也得有1+2+3+…+26=351〔張。但在這26張照片中,很多紙條是被重復(fù)計(jì)算的。每個(gè)面上的紙條在單獨(dú)面拍攝時(shí)出現(xiàn)1次,在2個(gè)面拍攝時(shí)出現(xiàn)4次,在3個(gè)面拍攝時(shí)出現(xiàn)4次,共被計(jì)數(shù)9次。所以實(shí)際紙條數(shù)至少為351÷9＝39〔張。二、列方程解應(yīng)用題在小學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了應(yīng)用題的算術(shù)解法及常見(jiàn)的典型應(yīng)用題。然而算術(shù)解法往往局限于從已知條件出發(fā)推出結(jié)論,不允許未知數(shù)參加計(jì)算,這樣,對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題,使用算術(shù)方法常常比較困難。而用列方程的方法,未知數(shù)與已知數(shù)同樣都是運(yùn)算的對(duì)象,通過(guò)找出"未知"與"已知"之間的相等關(guān)系,即列出方程〔或方程組,使問(wèn)題得以解決。所以對(duì)于應(yīng)用題,列方程的方法往往比算術(shù)解法易于思考,易于求解。列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審題,設(shè)未知數(shù),找出相等關(guān)系,列方程,解方程,檢驗(yàn)作答。其中列方程是關(guān)鍵的一步,其實(shí)質(zhì)是將同一個(gè)量或等量用兩種方式表達(dá)出來(lái),而要建立這種相等關(guān)系必須對(duì)題目作細(xì)致分析,有些相等關(guān)系比較隱蔽,必要時(shí)要應(yīng)用圖表或圖形進(jìn)行直觀分析。〔一列簡(jiǎn)易方程解應(yīng)用題10x+1,從而有3〔105+x=10x+1,7x＝299999,x＝42857。答：這個(gè)六位數(shù)為142857。說(shuō)明：這一解法的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：示出來(lái),這里根據(jù)題目的特點(diǎn),采用"整體"設(shè)元的方法很有特色。一是善于分析問(wèn)題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；二是一般語(yǔ)言與數(shù)學(xué)的形式語(yǔ)言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此,要提高列方程解應(yīng)用題的能力,就應(yīng)在這兩方面下功夫。例2：有一隊(duì)伍以1.4米/秒的速度行軍,末尾有一通訊員因事要通知排頭,于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾,共用了10分分析：這是一道"追及又相遇"的問(wèn)題,通訊員從末尾到排頭是追及問(wèn)題,他與排頭所行路程差為隊(duì)伍長(zhǎng)；通訊員從排頭返回排尾是相遇問(wèn)題,他與排尾所行路程和為隊(duì)伍長(zhǎng)。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了x秒,那么通訊員從排頭返回排尾用了〔650-x秒,于是不難列方程。解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x秒,依題意得2.6x-1.4x=2.6〔650-x+1.4〔650-x。解得x＝500。推知隊(duì)伍長(zhǎng)為〔×500=600〔米。答：隊(duì)伍長(zhǎng)為600米說(shuō)明：在設(shè)未知數(shù)時(shí),有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù),求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù),當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時(shí),就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。對(duì)于較難的應(yīng)用題,恰當(dāng)選擇未知數(shù),往往可以使列方程變得容易些。例3：鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上,有一行人與騎車(chē)人同時(shí)向南行進(jìn),行人速度為3.6千米/時(shí),騎車(chē)人速度為10.8千米/時(shí),這時(shí)有一列火車(chē)從他們背后開(kāi)過(guò)來(lái),火車(chē)通過(guò)行人用22秒,通過(guò)騎車(chē)人用分析：本題屬于追及問(wèn)題,行人的速度為3.6千米/時(shí)=1米/秒,騎車(chē)人的速度為10.8千米/時(shí)=3米/秒。火車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)度既等于火車(chē)車(chē)尾與行人的路程差,也等于火車(chē)車(chē)尾與騎車(chē)人的路程差。如果設(shè)火車(chē)的速度為x米/秒,那么火車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)度可表示為〔x-1×22或〔解：設(shè)這列火車(chē)的速度是x米/秒,依題意列方程,得〔x-1×22=〔x-3×26。解得x=14。所以火車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)為〔14-1×22=286〔米。答：這列火車(chē)的車(chē)身總長(zhǎng)為286米例4：如圖,沿著邊長(zhǎng)為90米的正方形,按逆時(shí)針?lè)较?甲從A出發(fā),每分鐘走65米,乙從B出發(fā),每分鐘走分析：這是環(huán)形追及問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題可以先看成"直線"追及問(wèn)題,求出乙追上甲所需要的時(shí)間,再回到"環(huán)行"追及問(wèn)題,根據(jù)乙在這段時(shí)間內(nèi)所走路程,推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。解：設(shè)追上甲時(shí)乙走了x分。依題意,甲在乙前方3×90=270〔米,故有72x＝65x+270。由于正方形邊長(zhǎng)為90米可推算出這時(shí)甲和乙應(yīng)在正方形的DA邊上。答：當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的DA邊上。例5：一條船往返于甲、乙兩港之間,由甲至乙是順?biāo)旭?由乙至甲是逆水行駛。已知船在靜水中的速度為8千米/時(shí),平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為2∶1。某天恰逢暴雨,水流速度為原來(lái)的2倍,這條船往返共用9分析：這是流水中的行程問(wèn)題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度,逆水速度=靜水速度-水流速度。解答本題的關(guān)鍵是要先求出水流速度。解：設(shè)甲、乙兩港相距x千米,原來(lái)水流速度為a千米/時(shí)。根據(jù)題意可知,逆水解得x=20。答：兩港相距20千米例6：某校組織150名師生到外地旅游,這些人5時(shí)才能出發(fā),為了趕火車(chē),6時(shí)55分必須到火車(chē)站。他們僅有一輛可乘50人的客車(chē),車(chē)速為36千米/時(shí),學(xué)校離火車(chē)站21千米,顯然全部路程都乘車(chē),因需客車(chē)多次往返,故時(shí)間來(lái)不及,只能乘車(chē)與步行同時(shí)進(jìn)行。如果步行每小時(shí)能走4趕到火車(chē)站,每人步行時(shí)間應(yīng)該相同,乘車(chē)時(shí)間也相同。設(shè)每人步行x時(shí),客車(chē)能否在115分鐘完成。解：把150人分3批,每批50人,步行速度為4千米/時(shí),汽車(chē)速度次返回的時(shí)間是20分,同樣可計(jì)算客車(chē)第二次返回的時(shí)間也應(yīng)是20分,所以當(dāng)客車(chē)與第三批人相遇時(shí),客車(chē)已用25×2＋20×2=90〔分,還有115-90=25〔分,正好可把第三批人按時(shí)送到。因此可以按上述方法安排。說(shuō)明：列方程,解出需步行90分、乘車(chē)25分后,可以安排了,但驗(yàn)算不能省掉,因?yàn)檫@關(guān)系到第三批人是否可以按時(shí)到車(chē)站的問(wèn)題。通過(guò)計(jì)算知第三批人正巧可乘車(chē)25分,按時(shí)到達(dá)。但如果人數(shù)增加,或者車(chē)速減慢,雖然方程可以類(lèi)似地列出,卻不能保證人員都按時(shí)到達(dá)目的地。<二>引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對(duì)于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題,列方程時(shí),除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外,還需要增設(shè)一些"設(shè)而不求"的參數(shù),便于把用自然語(yǔ)言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語(yǔ)言,以便溝通數(shù)量關(guān)系,為列方程創(chuàng)造條件。例7:某人在公路上行走,往返公共汽車(chē)每隔4分就有一輛與此人迎面相遇,每隔6分就有一輛從背后超過(guò)此人。如果人與汽車(chē)均為勻速運(yùn)動(dòng),那么汽車(chē)站每隔幾分發(fā)一班車(chē)？分析：此題看起來(lái)似乎不易找到相等關(guān)系,注意到某人在公路上行走與迎面開(kāi)來(lái)的車(chē)相遇,是相遇問(wèn)題,人與汽車(chē)4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車(chē)的距離；每隔6分就有一輛車(chē)從背后超過(guò)此人是追及問(wèn)題,車(chē)與人6分所行的路程差恰是兩車(chē)的距離,再引進(jìn)速度這一未知常量作參數(shù),問(wèn)題就解決了。解：由由①②,得將③代入①,得說(shuō)明：此題引入v1,v2兩個(gè)未知量作參數(shù),計(jì)算時(shí)這兩個(gè)參數(shù)被消去,即問(wèn)題的答案與參數(shù)的選擇無(wú)關(guān)。例8:整片牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密,一樣地快。已知70頭牛在24天里把草吃完,而30頭牛就得60天。如果要在96天內(nèi)把牧場(chǎng)的草吃完,那么有多少頭牛？分析：本題中牧場(chǎng)原有草量是多少？每天能生長(zhǎng)草量多少？每頭牛一天吃草量多少？若這三個(gè)量用參數(shù)a,b,c表示,再設(shè)所求牛的頭數(shù)為x,則可列出三個(gè)方程。若能消去a,b,c,便可解決問(wèn)題。解：設(shè)整片牧場(chǎng)的原有草量為a,每天生長(zhǎng)的草量為b,每頭牛一天吃草量為c,x頭牛在96天內(nèi)能把牧場(chǎng)上的草吃完,則有②-①,得36b=120C。④③-②,得96xc=1800c＋36b。⑤將④代入⑤,得96xc＝1800c+120c。解得x=20。答：有20頭牛。例9:從甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,沒(méi)有平路。一輛汽車(chē)上坡時(shí)每小時(shí)行駛20千米,下坡時(shí)每小時(shí)行駛35從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？①＋②,得解：從甲地到乙地的上坡路,就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路,就是從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的上坡路為①＋②,得將y=210－x代入①式,得解得x＝140。答：甲、乙兩地間的公路有210千米,從甲地到乙地須行駛140<三>列不定方程解應(yīng)用題有些應(yīng)用題,用代數(shù)方程求解,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于所列方程的個(gè)數(shù),這種情況下的方程稱(chēng)為不定方程。這時(shí)方程的解有多個(gè),即解不是唯一確定的。但注意到題目對(duì)解的要求,有時(shí),只需要其中一些或個(gè)別解。例10:六〔1班舉行一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn),采用5級(jí)計(jì)分制〔5分最高,4分次之,以此類(lèi)推。男生的平均成績(jī)?yōu)?分,女生的平均成績(jī)?yōu)?.25分,而全班的平均成績(jī)?yōu)?.6分。如果該班的人數(shù)多于30人,少于50人,那么有多少男生和多少女生參加了測(cè)驗(yàn)？解：設(shè)該班有x個(gè)男生和y個(gè)女生,于是有4x+3.25y=3.6〔x+y,化簡(jiǎn)后得8x=7y。從而全班共有學(xué)生在大于30小于50的自然數(shù)中,只有45可被15整除,所以推知x＝21,y=24。答：該班有21個(gè)男生和24個(gè)女生。例11:小明玩套圈游戲,套中小雞一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。小明共套了10次,每次都套中了,每個(gè)小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分。問(wèn)：小明至多套中小雞幾次？解：設(shè)套中小雞x次,套中小猴y次,則套中小狗〔10-x-y次。根據(jù)得61分可列方程9x+5y+2〔10-x-y=61,化簡(jiǎn)后得7x=41－3y。顯然y越小,x越大。將y=1代入得7x=38,無(wú)整數(shù)解；若y=2,7x=35,解得x=5。答：小明至多套中小雞5次。例12:某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個(gè)小組,甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子?，F(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制〔每套為一件上衣和一條褲子。問(wèn)：7天中這4個(gè)小組最多可縫制多少套衣服？分析：在安排A組盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下,安排配套生產(chǎn)。這的效率高,故這7天全安排這兩組生產(chǎn)單一產(chǎn)品。設(shè)甲組生產(chǎn)上衣x天,生產(chǎn)褲子〔7-x天,乙組生產(chǎn)上衣y天,生產(chǎn)褲子〔7-y天,則4個(gè)組分別共生產(chǎn)上衣、褲子各為6×7＋8x+9y〔件和11×7＋10〔7－x＋12〔7-y〔條。依題意,得42＋8x＋9y＝77＋70-10x＋84-12y,令u＝42＋8x＋9y,則顯然x越大,u越大。故當(dāng)x=7時(shí),u取最大值125,此時(shí)y的值為3。答：安排甲、丁組7天都生產(chǎn)上衣,丙組7天全做褲子,乙組3天做上衣,4天做褲子,這樣生產(chǎn)的套數(shù)最多,共計(jì)125套。說(shuō)明：本題仍為兩個(gè)未知數(shù),一個(gè)方程,不能有確定解。本題求套數(shù)最多,實(shí)質(zhì)上是化為"一元函數(shù)"在一定范圍內(nèi)的最值,注意說(shuō)明取得最值的理由。練習(xí):1．甲用40秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈,乙反方向跑,每隔15秒與甲相遇一次。問(wèn)：乙跑完一圈用多少秒？2．小明在360米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上跑了一圈,已知他前一半時(shí)間每秒跑5米,后一半時(shí)間每秒跑3．如下圖,甲、乙兩人分別位于周長(zhǎng)為400米的正方形水池相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上,同時(shí)開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蜓爻剡呅凶?。甲每分鐘?0米,乙每分鐘走4．農(nóng)忙假,一組學(xué)生下鄉(xiāng)幫郊區(qū)農(nóng)民收割水稻,他們被分配到甲、乙兩塊稻田去,甲稻田面積是乙稻田面積的2倍。前半小時(shí),全隊(duì)在甲田；后半小時(shí)一半人在甲田,一半人在乙田。割了1時(shí),割完了甲田的水稻,乙田還剩下一小塊未割,剩下的這一小塊需要一個(gè)人割1時(shí)才能割完。問(wèn)：這組學(xué)生有幾人？5．若貨價(jià)降低8％,而售出價(jià)不變,則利潤(rùn)〔按進(jìn)貨價(jià)而定可由目前的P％增加到〔P＋10％,求P。6．甲、乙二人做同一個(gè)數(shù)的帶余除法,甲將其除以8,乙將其除以9,甲所得的商數(shù)與乙所得的余數(shù)之和為13。試求甲所得的余數(shù)。7．某公共汽車(chē)線路中間有10個(gè)站。車(chē)有快車(chē)及慢車(chē)兩種,快車(chē)的車(chē)速是慢車(chē)車(chē)速的1.2倍。慢車(chē)每站都停,快車(chē)則只停靠中間1個(gè)站。每站停留時(shí)間都是3分鐘。當(dāng)某次慢車(chē)發(fā)出40分鐘后,快車(chē)從同一始發(fā)站開(kāi)出,兩車(chē)恰好同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。問(wèn)：快車(chē)從起點(diǎn)到終點(diǎn)共需用多少時(shí)間？8．甲車(chē)以160千米/時(shí)的速度,乙車(chē)以20千米/時(shí)的速度,在長(zhǎng)為210千米的環(huán)形公路上同時(shí)、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車(chē)追上乙車(chē)1次,甲車(chē)減問(wèn)：在兩車(chē)的速度恰好相等的時(shí)刻,它們分別行駛了多少千米？答案：1.<24秒>。2.<44秒>。推知小明前40秒跑了5×40=200〔米,后40秒跑了4×40=160〔米。因?yàn)樾∶骱?80米中有20米是以5米/秒的速度行進(jìn)的,其余160米是以4米/秒的速度行進(jìn)的,所以,小明后一半路程共用20÷5+1603.<34分>。提示：仿例4。4.<8人>。解：設(shè)學(xué)生共x人,甲田面積為2a,乙田面積為a,則解出x=8。5.<15>。解：設(shè)原進(jìn)貨價(jià)為x,則下降8％后的進(jìn)價(jià)為0.92x,依題意有x〔1+0.01P＝0.92x[1+0.01〔P+10],解得P＝15。6.<4>。解：設(shè)甲所得的商和余數(shù)分別為x和y,乙所得的商為z,則乙所得的余數(shù)為13-x。依題意得8x+y=9z+〔13-x,即9〔x-z=13-y,推知13-y是9的倍數(shù)。因?yàn)閥是被8除的余數(shù),所以只能在0至7之間,所以y=4。共需65+3=68〔分。7.〔68分。共需65+3=68〔分。8.〔940km,310km。時(shí)刻,兩車(chē)速度相等,則應(yīng)有時(shí)刻,兩車(chē)速度相等,則應(yīng)有所以n=3。設(shè)甲車(chē)從第1次追上乙車(chē)到第2次追上乙車(chē)用了t2時(shí),仿上可知時(shí)。從而甲行駛了乙車(chē)行駛了三、應(yīng)用問(wèn)題選講我們知道,數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科。我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的,一方面是為學(xué)習(xí)其它學(xué)科和學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)知識(shí)打下一個(gè)基礎(chǔ),更重要的是為了現(xiàn)在和將來(lái)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一些日常生活、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中所遇到的實(shí)際問(wèn)題。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路是：先將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題〔我們稱(chēng)之為建立數(shù)學(xué)模型,然后解答這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題。即：〔一兩個(gè)量變化時(shí),和一定的問(wèn)題兩個(gè)變化著的量,如果在變化的過(guò)程中,它們的和始終保持不變,那么它們的差與積之間有什么關(guān)系呢？例1：農(nóng)民叔叔阿根想用20塊長(zhǎng)2米、寬1.2米的金屬網(wǎng)建一個(gè)靠墻的長(zhǎng)方形雞窩。為了防止雞飛出,所建雞窩的高度不得低于解：如上圖,設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為x米和y米,則有x＋2y＝1.2×20＝24。長(zhǎng)方形的面積為因?yàn)閤和2y的和等于24是一個(gè)定值,故它們的乘積當(dāng)它們相等時(shí)最大,此時(shí)長(zhǎng)方形面積S也最大。于是有x=12,y＝6。例2：如果將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出,那么每個(gè)的利潤(rùn)是10元,但只能賣(mài)出500個(gè)。當(dāng)這種商品每個(gè)漲價(jià)1元時(shí),其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)。為了賺得最多的利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)定為多少？解：設(shè)每個(gè)商品售價(jià)為〔50+x元,則銷(xiāo)量為〔500-10X個(gè)?？偣部梢垣@利〔50＋x-40×〔500-10x=10×〔10+X×〔50-X〔元。因〔10+x+〔50－x=60為一定值,故當(dāng)10+X=50－X即X=20時(shí),它們的積最大。此時(shí),每個(gè)的銷(xiāo)售價(jià)為50＋20=70〔元。例3：若一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為54厘米2解：設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z厘米,體積為V厘米3。2〔xy＋yz+zx=54,xy＋yz+zx=27。因?yàn)閂2=〔xyz2=〔xy〔yz〔zx,故當(dāng)xy=yz=zx即x=y=z=3時(shí),V2有最大值,從而V也有最大值。例4：有一塊長(zhǎng)24厘米解：如右圖,設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為x厘米,則紙盒的容積為V=x〔24-2x〔24-2x=2×2x〔12-x〔12-x。因?yàn)?x+〔12-x+〔12-x=24是一個(gè)定值,故當(dāng)2x=12-x＝12-x,即x=4時(shí),其乘積最大,從而紙盒的容積也最大?！捕蓚€(gè)量變化時(shí),積一定的問(wèn)題兩個(gè)變化著的量,如果在變化的過(guò)程中,它們的乘積始終保持不變,那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：例5：長(zhǎng)方形的面積為144cm2,當(dāng)它的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí),它的周長(zhǎng)最短？解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為xcm和ycm,則有xy＝144。故當(dāng)x=y=12時(shí),x+y有最小值,從而長(zhǎng)方形周長(zhǎng)2〔x＋y也有最小值。例6：用鐵絲扎一個(gè)空心的長(zhǎng)方體,為了使長(zhǎng)方體的體積恰好是216cm3,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少厘米時(shí),所用的鐵絲長(zhǎng)度最短？解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為xcm,ycm,zcm,則有xyz＝216。鐵絲長(zhǎng)度的和為4〔x＋y＋z,故當(dāng)x＝y(tǒng)=z＝6時(shí),所用鐵絲最短。例7：農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃挖一個(gè)面積為432m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)魚(yú)池,魚(yú)池周?chē)鷥蓚?cè)分別有3m和4m的堤堰如下圖所示,要想占地總面積最小,水池的長(zhǎng)和寬應(yīng)為多少？解：如圖所示,設(shè)水池的長(zhǎng)和寬分別為xm和ym,則有xy＝432。占地總面積為S=〔x＋6〔y＋8cm2。于是S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480。我們知道6y×8X=48×432為一定值,故當(dāng)6y=8X時(shí),S最小,此時(shí)有6y=8X=144,故y=24,x=18。例8：某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡,每張240元,使用規(guī)定：不記名,每卡每次只限一人,每人只限一次。某班有48名學(xué)生,老師打算組織學(xué)生集體去游泳,除需購(gòu)買(mǎi)若干張游泳卡外,每次游泳還需包一輛汽車(chē),無(wú)論乘坐多少名學(xué)生,每次的包車(chē)費(fèi)均為40元。若要使每個(gè)同學(xué)游8次,每人最少交多少錢(qián)？解：設(shè)一共買(mǎi)了X張卡,一共去游泳y次,則共有Xy=48×8=384〔人次,總用費(fèi)為〔240x＋40y元。因?yàn)?40x×40y=240×40×384是一定值,故當(dāng)240x=40y,即y=6x時(shí),和最小。易求得x=8,y=48。此時(shí)總用費(fèi)為240×8＋40×48=3840〔元,平均每人最少交3840÷48=80〔元?！踩貌坏汝P(guān)系來(lái)解答的應(yīng)用題例9：某公司在A,B兩地分別庫(kù)存有某機(jī)器16臺(tái)和12臺(tái),現(xiàn)要運(yùn)往甲、乙兩家客戶的所在地,其中甲方15臺(tái),乙方13臺(tái)。已知從A地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)費(fèi)為500元,到乙方的運(yùn)費(fèi)為400元,從B地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)費(fèi)為300元,到乙方的運(yùn)費(fèi)為600元。已知運(yùn)費(fèi)由公司承擔(dān),公司應(yīng)設(shè)計(jì)怎樣的調(diào)運(yùn)方案,才能使這些機(jī)器的總運(yùn)費(fèi)最?。拷猓涸O(shè)由A地運(yùn)往甲方x臺(tái),則A地運(yùn)往乙方〔16-x臺(tái),B地運(yùn)往甲方〔15-x臺(tái),B地運(yùn)往乙方〔x－3臺(tái)。于是總運(yùn)價(jià)為：S=500x+400〔16-x＋300〔15-x+600〔x-3＝400x+9100。顯然,x要滿足不等式3≤x≤15,于是當(dāng)x=3時(shí),總運(yùn)價(jià)最省,為400×3＋9100=10300〔元。調(diào)運(yùn)方案為：由A地運(yùn)往甲方3臺(tái),A地運(yùn)往乙方13臺(tái),B地運(yùn)往甲方12臺(tái),B地運(yùn)往乙方0臺(tái)。例10：某校決定出版"作文集",費(fèi)用是30冊(cè)以?xún)?nèi)為80元,超過(guò)30冊(cè)的每?jī)?cè)增加1.20元。當(dāng)印刷多少冊(cè)以上時(shí),每?jī)?cè)費(fèi)用在1.50元以?xún)?nèi)？以?xún)?nèi)。解：以?xún)?nèi)。例11：現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60％,含錳40％；第二種含錳10％,含鎳90％；第三種含銅20％,含錳50％,含鎳30％?，F(xiàn)各取適當(dāng)數(shù)量的這三種合金,組成一塊含鎳45％的新合金,重量為1千克?！?求新合金中第二種合金的重量的范圍；〔2解：設(shè)第一種合金用量為x千克,第二種合金用量為y千克,第三種合金用量為z千克,依題意有〔1如果不取第一種合金,即x=0,那么新合金中第二種合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三種合金,即z=0,那么新合金中第二種合金重量最大。解得y＝0.5。新合金中第二種合金的重量范圍是0.25克到0.5〔2由①②可得z＝1.5-3y,x=2y－0.5。故新合金中含錳的重量為S＝40％x+10％y+50％z=40％〔2y-0.5＋10％y＋50％〔1.5-3y＝。因?yàn)?.25≤y≤0.5,所以0.25≤S≤0.4,即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4例12：某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個(gè),每個(gè)由三根長(zhǎng)為2.3米、1.7米、1.3米解：練習(xí):1．銷(xiāo)售某種西服,當(dāng)每件售價(jià)為100元時(shí)可售出1000件。如果定價(jià)每下降1％,那么銷(xiāo)售量將提高0.5％,又知道這批西服是每件80元成本購(gòu)進(jìn)的。問(wèn)：應(yīng)如何定價(jià)才能使獲利最大？2．下圖是一個(gè)面積為4m2的窗戶,當(dāng)a∶b的值是多少時(shí),窗戶的框架所用的材料最??？3．有一個(gè)長(zhǎng)為80cm、寬為40cm的木板,要以它為原材料做一個(gè)無(wú)蓋的木盒,應(yīng)該如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是多少？4．某廠要建造一個(gè)無(wú)蓋的露XX槽,其底為正方形,容量為64000m3。在建造時(shí),槽底的造價(jià)是四壁的2倍,這個(gè)水槽的底面邊長(zhǎng)和高的比例是多少時(shí),造價(jià)最??？5．A城有化肥200噸,B城有化肥300噸,現(xiàn)要將化肥運(yùn)往C,D兩村。已知從A城運(yùn)往C,D兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸20元和25元,從B城運(yùn)往C,D兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸15元和22元。某個(gè)體戶承包了這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù),請(qǐng)你幫他算一算,如何調(diào)運(yùn)才能使運(yùn)費(fèi)最??？6．有兩個(gè)學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn),他們的平均分?jǐn)?shù)不同,但都是低于90分的整數(shù)。他們又參加了第5次測(cè)驗(yàn),這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分,求第5次測(cè)驗(yàn)二人的得分〔滿分為100分。7．某機(jī)械廠要把一批長(zhǎng)7300毫米的鋼筋截成長(zhǎng)290毫米、210毫米和150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子。現(xiàn)在做100套鋼筋架子,至少要用去長(zhǎng)為7300毫米的鋼筋多少根？8．下表所示為X,Y,Z三種食品原料的維生素含量〔單位：?jiǎn)挝?千克及成本：現(xiàn)在要將三種食物混合成100千克的混合物,要求混合物至少需含44000單位的維生素A及48000單位的維生素B0如果所用的食物中x,Y,Z的重量依次為X千克、y千克、Z千克,那么請(qǐng)定出X,y,Z答案：1.〔91元。解：設(shè)定價(jià)為每件〔100-x元,則銷(xiāo)售量為1000〔1+0.5％x件。利潤(rùn)為〔100-x-80×1000〔1+0.5％x=500×〔20-x〔2+x。因?yàn)椤?0-x+〔2+x=22為一定值,故當(dāng)20-x=2+x即x=9時(shí)利潤(rùn)最高。此時(shí)每件定價(jià)為100-9=91〔元。2.〔2∶3。解：窗戶的框架長(zhǎng)為3a+2b,而ab=4是一個(gè)定值,從而3a×2b=6ab=24也是一個(gè)定值,故當(dāng)3a=2b即a∶b=2∶3時(shí)窗戶框架所用材料最省。3.〔32000cm3。解：設(shè)木盒的長(zhǎng)、寬、高分別為xcm,ycm,zcm,則它的容積為V=xyzcm3。因?yàn)閤y+2xz+2yz=40×80=3200為一定值,故它們的積xy×2xz×2yz=4〔xyz2=4V2,在xy=2xz=2yz時(shí)最大,從而V也最大,此時(shí)有x=y=2z。經(jīng)計(jì)算得x=40,y=40,z=20。具體制作方式如下：先取原木板的一半〔40cm×40cm作為木盒的底面,再將剩下的一半分成20cm×40cm大小的四等份,每份作為木盒的一個(gè)側(cè)面就可以了。4.5.解：設(shè)A城化肥運(yùn)往C村x噸,則運(yùn)往D村〔200-x噸；B城化肥運(yùn)往C村〔220-x噸,運(yùn)往D村〔80+x噸,總運(yùn)費(fèi)y元,則y=20x+25〔200-x+15〔220-x+22〔80+x=2x+10060。又易知0≤x≤200,故當(dāng)x=0時(shí),運(yùn)費(fèi)最省,為10060元。運(yùn)輸方案如下：A城化肥運(yùn)往C村0噸,運(yùn)往D村200噸；B城化肥運(yùn)往C村220噸,運(yùn)往D村80噸。6.〔98,94。解：設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為x分,第5次的得分為y分,則其5次總分為4x+y=5×90=450。于是y=450-4x。顯然90＜y≤100,故90＜450-4x≤100,解得87.5≤x＜90。于是兩個(gè)學(xué)生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為450-4×88=98〔分和450-4×89=94〔分。7.〔90根。解：每一根7300毫米290×2+150×1=7300,①210×2+150×2=7200,②210×2+290×2=7100。③設(shè)按方案①截得的鋼筋有x根,按方案②截得的鋼筋有y根,按方案③截得的鋼筋有z根,則長(zhǎng)為290,210,150毫米各有100根,即2x+z=x+2y=2y+2z=100。于是x=40,y=30,z=20。一共至少用去長(zhǎng)為7300毫米的鋼筋8.〔30,20,50。解：x+y+z=100,①400x+600y+400z≥44000,②800x+200y+400z≥48000。③由②得2x+3y+2z≥220。④由③得4x+y+2z≥240。⑤由④-①×2,得y≥20。由⑤-①×2,得2x-y≥40。由①得z=100-x-y。成本為6x+5y+4z=6x+5y+4〔100-x-y=400+2x+y=400+2y+〔2x-y≥400+40+40=480。四、計(jì)數(shù)的方法與原理計(jì)數(shù)方法與原理是組合數(shù)學(xué)的主要課題之一,本講介紹一些計(jì)數(shù)的基本方法及計(jì)數(shù)的基本原理。〔一枚舉法例1：四個(gè)學(xué)生每人做了一張賀年片,放在桌子上,然后每人去拿一張,但不能拿自己做的一張。問(wèn)：一共有多少種不同的方法？解：例2：甲、乙二人打乒乓球,誰(shuí)先連勝兩局誰(shuí)贏,若沒(méi)有人連勝頭兩局,則誰(shuí)先勝三局誰(shuí)贏,打到?jīng)Q出輸贏為止。問(wèn)：一共有多少種可能的情況？解：如下圖,我們先考慮甲勝第一局的情況：圖中打√的為勝者,一共有7種可能的情況。同理,乙勝第一局也有7種可能的情況。一共有7＋7=14〔種可能的情況?！捕臃ㄔ砣绻瓿梢患虑橛衝類(lèi)方法,而每一類(lèi)方法中分別有m1,m2,…,mn種方法,而不論采用這些方法中的任何一種,都能單獨(dú)地完成這件事情,那么要完成這件事情共有N=m1+m2+…mn種方法。這是我們所熟知的加法原理,也是利用分類(lèi)法計(jì)數(shù)的依據(jù)。例3：一個(gè)自然數(shù),如果它順著數(shù)和倒著數(shù)都是一樣的,則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為"回文數(shù)"。例如1331,7,202都是回文數(shù),而220則不是回文數(shù)。問(wèn)：1到6位的回文數(shù)一共有多少個(gè)？按從小到大排,第2000個(gè)回文數(shù)是多少？解：一位回文數(shù)有：1,2,…,9,共9個(gè)；二位回文數(shù)有：11,22,…,99,共9個(gè)；三位回文數(shù)有：101,111,…,999,共90個(gè)；四位回文數(shù)有：1001,1111,…,9999,共90個(gè)；五位回文數(shù)有：10001,10101,…,99999,共900個(gè)；六位回文數(shù)有：100001,101101,…,999999,共900個(gè)。到六位數(shù)為止,回文數(shù)共有9＋9＋90＋90＋900＋900=1998〔個(gè)。第1999個(gè)回文數(shù)是1000001,第2000個(gè)回文數(shù)是1001001。例4：設(shè)有長(zhǎng)度為1,2,…,9的線段各一條,現(xiàn)在要從這9條線段中選取若干條組成一個(gè)正方形,共有多少種不同的取法？這里規(guī)定當(dāng)用2條或多條線段接成一條邊時(shí),除端點(diǎn)外,不許重疊。解法1：因?yàn)樗哉叫蔚倪呴L(zhǎng)不大于11。下面按正方形的邊長(zhǎng)分類(lèi)枚舉：〔1邊長(zhǎng)為11：9＋2=8+3=7＋4=6＋5,可得1種選法；〔2邊長(zhǎng)為10：9＋1=8＋2=7＋3=6＋4,可得1種選法；〔3邊長(zhǎng)為9：9=8＋1=7＋2=6＋3=5＋4,可得5種選法；〔4邊長(zhǎng)為8：8=7＋1=6＋2=5+3,可得1種選法；〔5邊長(zhǎng)為7：7=6＋1=5＋2=4＋3,可得1種選法；〔6邊長(zhǎng)≤6時(shí),無(wú)法選擇。綜上計(jì)算,不同的取法共有1＋1+5＋1＋1=9〔種。解法2：由于這些線段互不等長(zhǎng),故至少要用7條線段才能組成一個(gè)正方形。當(dāng)恰取7條線段組成正方形時(shí),正方形的3條邊各用2條線相接,另一條邊只用一條線段；當(dāng)恰用8條線段時(shí),只能每邊各用2條線段相接〔容易看出,其他情況不可能發(fā)生。因?yàn)?+2＋…＋9=45,45不能被4整除,所以用9條線段,不可能組成正方形。由解法一知,拼出的正方形邊長(zhǎng)至多為11,又易知正方形的邊長(zhǎng)不可能為1,2,3,4,5,6。有了以上分析就容易計(jì)數(shù)了?！?取出7條線段,有以下7種：7=1+6＝2＋5＝3＋4；8＝1+7＝2+6＝3＋5；9＝1＋8＝2＋7＝3＋6=4＋5〔這個(gè)式子有5種；〔2取出8條線段,有以下2種：1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6；2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6。綜上所述,不同的取法共有7＋2=9〔種。<三>乘法原理如果完成一件事必須分n個(gè)步驟,而每一個(gè)步驟分別有m1,m2,…,mn種方法,那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法。這就是乘法原理,它是分步法的依據(jù)。乘法原理和加法原理被稱(chēng)為是計(jì)數(shù)的基本原理。我們應(yīng)注意它們的區(qū)別,也要注意二者的聯(lián)合使用。例5:一臺(tái)晚會(huì)上有6個(gè)演唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目。求：〔1當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí),有多少不同的安排節(jié)目的順序？〔2當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí),一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？解：〔1先將4個(gè)舞蹈節(jié)目看成1個(gè)節(jié)目,與6個(gè)演唱節(jié)目一起排,有7！=7×6×5×4×3×2×1=5404〔種方法。第二步再排4個(gè)舞蹈節(jié)目,有4！=4×3×2×1＝24〔種方法。根據(jù)乘法原理,一共有5040×24=120960〔種方法?！?首先將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列〔如下圖中的"□",一共有6！=6×5×4×3×2×1=720〔種方法?！痢酢痢酢痢酢痢酢痢酢痢酢恋诙?再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或2個(gè)演唱節(jié)目之間〔即上圖中"×"的位置,這相當(dāng)于從7個(gè)"×"中選4個(gè)來(lái)排,一共有7×6×5×4＝840〔種方法。根據(jù)乘法原理,一共有720×840=604800〔種方法。例6:有8個(gè)隊(duì)參加比賽,如果采用下面的淘汰制,那么在賽前抽簽時(shí),實(shí)際上可以得到多少種不同的安排表？解：8個(gè)隊(duì)要經(jīng)過(guò)3輪比賽才能確定冠亞軍。將第1輪的4組,自左至右記為1,2,3,4組,其中第1,2組為甲區(qū),3,4組為乙區(qū)。8個(gè)隊(duì)抽簽即是在上圖的8個(gè)位置排列,共有8！=8×7×6×5×4×3×2×1=40320〔種不同的方法。但是,兩種不同的排列不一定是實(shí)際上不同比賽的安排表。事實(shí)上,8隊(duì)中的某4隊(duì)都分在甲區(qū)或乙區(qū),實(shí)際上是一樣的；同區(qū)的4隊(duì)中某2隊(duì)在某一組或另一組,實(shí)際上也是一樣的；同組中的2隊(duì),編號(hào)誰(shuí)是奇數(shù)誰(shuí)是偶數(shù)實(shí)際也是一樣的。由乘法原理知,在40320種排法中,與某一種排法實(shí)質(zhì)上相同的排法有2×22×24=27=128〔種,故按實(shí)際不同比賽安排表的種數(shù)是〔四對(duì)應(yīng)法小孩子數(shù)蘋(píng)果,往往掰著手指頭,一個(gè)一個(gè)地掰,掰完左手掰右手,這種數(shù)蘋(píng)果的方法就是對(duì)應(yīng)法。小孩子把蘋(píng)果與自己的手指頭一對(duì)一,他掰了幾個(gè)指頭,也就數(shù)出了幾個(gè)蘋(píng)果。一般地,如果兩類(lèi)對(duì)象彼此有一對(duì)一的關(guān)系,那么我們可以通過(guò)對(duì)一類(lèi)較易計(jì)數(shù)的對(duì)象計(jì)數(shù),而得出具有相同數(shù)目的另一類(lèi)難于計(jì)數(shù)的對(duì)象的個(gè)數(shù)。例7：在8×8的方格棋盤(pán)中,取出一個(gè)由3個(gè)小方格組成的"L"形〔如圖1,一共有多少種不同的方法？解：每一種取法,有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng),這就是圖1中的A點(diǎn),它是棋盤(pán)上橫線與豎線的交點(diǎn),且不在棋盤(pán)邊上。從圖2可以看出,棋盤(pán)內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著4個(gè)不同的取法〔"L"形的"角"在2×2正方形的不同"角"上。由于在8×8的棋盤(pán)上,內(nèi)部有7×7=49〔個(gè)交叉點(diǎn),故不同的取法共有49×4=196〔種。例8：數(shù)3可以用4種方法表示為1個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和,如3,1＋2,2+1,1+1＋1。問(wèn)：1999表示為1個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和的方法有多少種？分析與解：我們將1999個(gè)1寫(xiě)成一行,它們之間留有1998個(gè)空隙,在這些空隙處,或者什么都不填,或者填上"＋"號(hào)。例如對(duì)于數(shù)3,上述4種和的表達(dá)方法對(duì)應(yīng)：111,11＋1,1＋11,1＋1＋1。顯然,將1999表示成和的形式與填寫(xiě)1998個(gè)空隙處的方式之間一對(duì)一,而每一個(gè)空隙處都有填"＋"號(hào)和不填"＋"號(hào)2種可能,因此1999可以表示為正整數(shù)之和的不同方法有〔五容斥原理在應(yīng)用加法原理時(shí),關(guān)鍵在于把所要計(jì)數(shù)的對(duì)象分為若干個(gè)不重不漏的類(lèi),使得每類(lèi)便于計(jì)數(shù)。但是具體問(wèn)題往往是復(fù)雜的,常常扭成一團(tuán),難以分為不重不漏的類(lèi),而要把條理分清楚就得用加法原理的推廣——容斥原理。為了表達(dá)方便,我們用A表示A類(lèi)元素的個(gè)數(shù),用B表示B類(lèi)元素的個(gè)數(shù),用A∪B表示是A類(lèi)或是B類(lèi)元素的個(gè)數(shù),用A∩B表示既是A類(lèi)又是B類(lèi)元素的個(gè)數(shù)。A∪B∩C,A∪B∩C的意義類(lèi)似。容斥原理1：如果被計(jì)數(shù)的事物有兩類(lèi),那么A∪B＝A＋B－A∩B。容斥原理2：如果被計(jì)數(shù)的事物有三類(lèi),那么A∪B∪C＝A+B＋C-A∩B-B∩C－A∩C＋A∩B∩B。容斥原理的實(shí)質(zhì)在于包含與排除,或形象地稱(chēng)之為"多退少補(bǔ)"。容斥原理若用韋恩圖進(jìn)行分析和記憶,十分方便,留給讀者研究。例9：在100名學(xué)生中,有10人既不會(huì)騎自行車(chē)又不會(huì)游泳,有65人會(huì)騎自行車(chē),有73人會(huì)游泳,既會(huì)騎自行車(chē)又會(huì)游泳的有多少人？解：從100名總?cè)藬?shù)中減去既不會(huì)騎自行車(chē)又不會(huì)游泳的10人,就是會(huì)騎自行車(chē)或會(huì)游泳的人數(shù)100-10=90〔人。既會(huì)騎自行車(chē)又會(huì)游泳的有〔65＋73－90=48〔人。例10：在1至100的自然數(shù)中,不能被2整除,又不能被3整除,還不能被5整除的數(shù),占這100個(gè)自然數(shù)的百分之幾？解：20-16-6＋3＝74。所以,在120-16-6＋3＝74。所以,在1至100的自然數(shù)中,不能被2整除,又不能被3整除,還不能被5整除的自然數(shù)有100－74=26〔個(gè),占這100個(gè)自然數(shù)的26％?！擦鶜w納法對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題,可以先觀察其簡(jiǎn)單情況,歸納出其中帶規(guī)律性的東西,然后再來(lái)解決較復(fù)雜的問(wèn)題。例11：10個(gè)三角形最多將平面分成幾個(gè)部分？解：設(shè)n個(gè)三角形最多將平面分成an個(gè)部分。n=1時(shí),a1=2；n=2時(shí),第二個(gè)三角形的每一條邊與第一個(gè)三角形最多有2個(gè)交點(diǎn),三條邊與第一個(gè)三角形最多有2×3=6〔個(gè)交點(diǎn)。這6個(gè)交點(diǎn)將第二個(gè)三角形的周邊分成了6段,這6段中的每一段都將原來(lái)的每一個(gè)部分分成2個(gè)部分,從而平面也增加了6個(gè)部分,即a2＝2＋2×3。n＝3時(shí),第三個(gè)三角形與前面兩個(gè)三角形最多有4×3＝12〔個(gè)交點(diǎn),從而平面也增加了12個(gè)部分,即：a3=2＋2×3＋4×3?！貏e地,當(dāng)n＝10時(shí),a10＝3×102＋3×10＋2=272,即10個(gè)三角形最多把平面分成272個(gè)部分。〔七整體法解答數(shù)學(xué)題,有時(shí)要"化整為零",使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單；有時(shí)反而要從整體上來(lái)考慮,從全局、從整體來(lái)研究問(wèn)題。例12：正方形ABCD的內(nèi)部有1999個(gè)點(diǎn),以正方形的4個(gè)頂點(diǎn)和內(nèi)部的1999個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),將它剪成一些三角形。問(wèn)：一共可以剪成多少個(gè)三角形？共需剪多少刀？解：我們從整體來(lái)考慮,先計(jì)算所有三角形的內(nèi)角和。匯聚在正方形內(nèi)一點(diǎn)的諸角之和是360°,而正方形內(nèi)角和也是360°,共有360°×1999＋360°,從而三角由于每個(gè)三角形有三條邊,而正方形紙?jiān)瓉?lái)的形的個(gè)數(shù)是由于每個(gè)三角形有三條邊,而正方形紙?jiān)瓉?lái)的的的4條邊當(dāng)然不用剪；其余的邊,由于是兩個(gè)三角形的公共邊,剪一刀出兩條邊,所以共剪的刀數(shù)是練習(xí)：1．一只青蛙在A,B,C三點(diǎn)之間跳動(dòng),若青蛙從A點(diǎn)跳起,跳4次仍回到A點(diǎn),則這只青蛙一共有多少種不同的跳法？2．在國(guó)際象棋棋盤(pán)上放置兩只"車(chē)",如果它們彼此不構(gòu)成威脅,那么一共有多少種不同的放法？3．在8×8的棋盤(pán)上可以找到多少個(gè)形如右圖所示的"凸"字形圖形？4．從19,20,21,…,97,98,99這81個(gè)數(shù)中,選取兩個(gè)不同的數(shù),使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少？5．平面上有7個(gè)不在同一直線上的點(diǎn),以這7個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)做三角形,使得任何兩個(gè)三角形至多只有一個(gè)公共頂點(diǎn)。最多可做出多少個(gè)滿足條件的三角形？6．下圖是一個(gè)道路圖。A處有一大群孩子,這群孩子向東或向北走,在從A開(kāi)始的每個(gè)路口,都有一半人向北走,另一半人向東走,如果先后有60個(gè)孩子到過(guò)路口B,那么先后共有多少個(gè)孩子到過(guò)路口C？7．在1001,1002,…,2000這1000個(gè)自然數(shù)中,可以找到多少對(duì)相鄰的自然數(shù),使它們相加時(shí)不進(jìn)位？8．有10個(gè)箱子,編號(hào)為1,2,…,10,各配一把鑰匙,10把各不相同,每個(gè)箱子放進(jìn)一把鑰匙鎖好,先撬開(kāi)1,2號(hào)箱子,取出鑰匙去開(kāi)別的箱子,如果最終能把所有箱子的鎖都打開(kāi),則說(shuō)是一種好的放鑰匙的方法。求好的方法的總數(shù)。答案：1.〔6種。解：如下圖,第1步跳到B,4步回到A有3種方法；同樣第1步到C的也有3種方法。共有6種方法。2.〔3136種。解：第一步,放第一只"車(chē)",有64種方法；第二步,放第二只"車(chē)",因不能和第一只同行,也不能同列,故有49種方法。由乘法原理,一共有64×49=3136〔種放法。4.〔1600種。解：從19到99共計(jì)81個(gè)不同的整數(shù),其中有41個(gè)奇數(shù)、40個(gè)偶數(shù)。若選取兩數(shù)之和為偶數(shù),則必須且只須選取的兩個(gè)數(shù)有相同的奇偶性,所以選取的方法數(shù)分為兩類(lèi)：第一類(lèi),選取兩個(gè)不同偶數(shù)的方法數(shù)；第二類(lèi),選取兩個(gè)不同奇數(shù)的方法數(shù)。依加法原理,這兩類(lèi)方法數(shù)的總和即為所求的方法數(shù)。第一類(lèi)是從40個(gè)偶數(shù)中選取兩個(gè)不同偶數(shù)的方法數(shù),先取第一個(gè)偶數(shù)有40種方法,從其余39個(gè)偶數(shù)中選擇第2個(gè)有39種方法,依乘法原理,共有40×39種不同的方法,但注意選取第1個(gè)數(shù)比如30,選取第2個(gè)數(shù)比如32,與選第1個(gè)數(shù)32,再選第2個(gè)數(shù)30,是同一組。所以總的選法數(shù)應(yīng)該折半,2個(gè)三角形至5.<7個(gè)>。2個(gè)三角形至多有1個(gè)公共頂點(diǎn),從而任意2個(gè)三角形沒(méi)有公共邊,故至多另一方面,7個(gè)是可以達(dá)到的。設(shè)7個(gè)點(diǎn)依次為A1,A2,…,A7。如右圖,△A1A2A3,△A1A4A5,△A1A6A=,△A2A4A6,△A2A5A77.<156個(gè)>。解：相鄰兩數(shù)相加不需進(jìn)位的數(shù)對(duì)中,前一個(gè)數(shù)可分成四類(lèi)：〔11999,1個(gè)；由加法原理知,這樣的數(shù)對(duì)共有1+5+25+125=156〔個(gè)。6.<48人>。過(guò)該解：過(guò)該又從下圖看出,到過(guò)路口C的人數(shù)為48人。8.<725760>。解：設(shè)第1,2,3,…,10號(hào)箱子中所放的鑰匙號(hào)碼依次為k1,k2,k3,…,k10。當(dāng)箱子數(shù)為n〔n≥2時(shí),好的放法的總數(shù)為an。當(dāng)n=2時(shí),顯然a2=2〔k1=1,k2=2或k1=2,k2=1。當(dāng)n=3時(shí),顯然k3≠3,否則第3個(gè)箱子打不開(kāi),從而k1=3或k2=3,于是n=2時(shí)的每一組解對(duì)應(yīng)n=3的2組解,這樣就有a3=2a2=4。當(dāng)n=4時(shí),也一定有k4≠4,否則第4個(gè)箱子打不開(kāi),從而k1=4或k2=4或k3=4,于是n=3時(shí)的每一組解,對(duì)應(yīng)n=4時(shí)的3組解,這樣就有a4=3a3=12。依次類(lèi)推,有a10=9a9=9×8a8=…=9×8×7×6×5×4×3×2a2=2×9！=725760。即好的方法總數(shù)為725760。五、染色和賦值染色方法和賦值方法是解答數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題的兩種常用的方法。就其本質(zhì)而言,染色方法是一種對(duì)題目所研究的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)的一種形象化的方法。而凡是能用染色方法來(lái)解的題,一般地都可以用賦值方法來(lái)解,只需將染成某一種顏色的對(duì)象換成賦于其某一數(shù)值就行了。賦值方法的適用范圍要更廣泛一些,我們可將題目所研究的對(duì)象賦于適當(dāng)?shù)臄?shù)值,然后利用這些數(shù)值的大小、正負(fù)、奇偶以及相互之間運(yùn)算結(jié)果等來(lái)進(jìn)行推證。〔一染色法將問(wèn)題中的對(duì)象適當(dāng)進(jìn)行染色,有利于我們觀察、分析對(duì)象之間的關(guān)系。像國(guó)際象棋的棋盤(pán)那樣,我們可以把被研究的對(duì)象染上不同的顏色,許多隱藏的關(guān)系會(huì)變得明朗,再通過(guò)對(duì)染色圖形的處理達(dá)到對(duì)原問(wèn)題的解決,這種解題方法稱(chēng)為染色法。常見(jiàn)的染色方式有：點(diǎn)染色、線段染色、小方格染色和對(duì)區(qū)域染色。例1：用15個(gè)"T"字形紙片和1個(gè)"田"字形紙片〔如下圖所示,能否覆蓋一個(gè)8×8的棋盤(pán)？解：如下圖,將8×8的棋盤(pán)染成黑白相間的形狀。如果15個(gè)"T"字形紙片和1個(gè)"田"字形紙片能夠覆蓋一個(gè)8×8的棋盤(pán),那么它們覆蓋住的白格數(shù)和黑格數(shù)都應(yīng)該是32個(gè),但是每個(gè)"T"字形紙片只能覆蓋1個(gè)或3個(gè)白格,而1和3都是奇數(shù),因此15個(gè)"T"字形紙片覆蓋的白格數(shù)是一個(gè)奇數(shù)；又每個(gè)"田"字形紙片一定覆蓋2個(gè)白格,從而15個(gè)"T"字形紙片與1個(gè)"田"字形紙片所覆蓋的白格數(shù)是奇數(shù),這與32是偶數(shù)矛盾,因此,用它們不能覆蓋整個(gè)棋盤(pán)。例2：如左下圖,把正方體分割成27個(gè)相等的小正方體,在中心的那個(gè)小正方體中有一只甲蟲(chóng),甲蟲(chóng)能從每個(gè)小正方體走到與這個(gè)正方體相鄰的6個(gè)小正方體中的任何一個(gè)中去。如果要求甲蟲(chóng)只能走到每個(gè)小正方體一次,那么甲蟲(chóng)能走遍所有的正方體嗎？解：甲蟲(chóng)不能走遍所有的正方體。我們?nèi)缬疑蠄D將正方體分割成27個(gè)小正方體,涂上黑白相間的兩種顏色,使得中心的小正方體染成白色,再使兩個(gè)相鄰的小正方體染上不同的顏色。顯然,在27個(gè)小正方體中,14個(gè)是黑的,13個(gè)是白的。甲蟲(chóng)從中間的白色小正方體出發(fā),每走一步,方格就改變一種顏色。故它走27步,應(yīng)該經(jīng)過(guò)14個(gè)白色的小正方體、13個(gè)黑色的小正方體。因此在27步中至少有一個(gè)小正方體,甲蟲(chóng)進(jìn)去過(guò)兩次。由此可見(jiàn),如果要求甲蟲(chóng)到每一個(gè)小正方體只去一次,那么甲蟲(chóng)不能走遍所有的小正方體。例3：8×8的國(guó)際象棋棋盤(pán)能不能被剪成7個(gè)2×2的正方形和9個(gè)4×1的長(zhǎng)方形？如果可以,請(qǐng)給出一種剪法；如果不行,請(qǐng)說(shuō)明理由。解：如下圖,對(duì)8×8的棋盤(pán)染色,則每一個(gè)4×1的長(zhǎng)方形能蓋住2白2黑小方格,每一個(gè)2×2的正方形能蓋住1白3黑或3白1黑小方格。推知7個(gè)正方形蓋住的黑格總數(shù)是一個(gè)奇數(shù),但圖中的黑格數(shù)為32,是一個(gè)偶數(shù),故這種剪法是不存在的。例4：在平面上有一個(gè)27×27的方格棋盤(pán),在棋盤(pán)的正中間擺好81枚棋子,它們被擺成一個(gè)9×9的正方形。按下面的規(guī)則進(jìn)行游戲：每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過(guò)相鄰的棋子,放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中,并把越過(guò)的這枚棋子取出來(lái)。問(wèn)：是否存在一種走法,使棋盤(pán)上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下圖,將整個(gè)棋盤(pán)的每一格都分別染上紅、白、黑三種顏色,這種染色方式將棋盤(pán)按顏色分成了三個(gè)部分。按照游戲規(guī)則,每走一步,有兩部分中的棋子數(shù)各減少了一個(gè),而第三部分的棋子數(shù)增加了一個(gè)。這表明每走一步,每個(gè)部分的棋子數(shù)的奇偶性都要改變。因?yàn)橐婚_(kāi)始時(shí),81個(gè)棋子擺成一個(gè)9×9的正方形,顯然三個(gè)部分的棋子數(shù)是相同的,故每走一步,三部分中的棋子數(shù)的奇偶性是一致的。如果在走了若干步以后,棋盤(pán)上恰好剩下一枚棋子,則兩部分上的棋子數(shù)為偶數(shù),而另一部分的棋子數(shù)為奇數(shù),這種結(jié)局是不可能的,即不存在一種走法,使棋盤(pán)上最后恰好剩下一枚棋子。減1,如此反復(fù)多次形成的。例5：圖1是由數(shù)字0,1交替構(gòu)成的,圖2是由圖減1,如此反復(fù)多次形成的。問(wèn)：圖2中的A格上的數(shù)字是多少？解：如左下圖所示,將8×8方格黑白交替地染色。此題允許右上圖所示的6個(gè)操作,這6個(gè)操作無(wú)論實(shí)行在哪個(gè)位置上,白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和總是常數(shù)。所以圖1中白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和,與圖2中白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和相等,都等于32,由〔31＋A-32=32,得出A=33。解：我們用染色法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。先將6×6×6的木箱分成216個(gè)小正方體,這216個(gè)小正方體,可以組成27個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體。我們將這些棱長(zhǎng)為2的正方體按黑白相間涂上顏色〔如下圖。容易計(jì)算出,有14個(gè)黑色的,有13個(gè)白色的?，F(xiàn)在將商品放入木箱內(nèi),不管怎么放,每件商品要占據(jù)8個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體的空間,而且其中黑、白色的必須各占據(jù)4個(gè)?，F(xiàn)在白色的小正方體共有8×13=104〔個(gè),再配上104個(gè)黑色的小正方體,一共可以放26件商品,這時(shí)木箱余下的是8個(gè)黑色小正方體所占據(jù)的空間。這8個(gè)黑色的小正方體的體積雖然與一件商品的體積相等,但是容不下這件商品。因此不能用這些商品剛好填滿。例7：6個(gè)人參加一個(gè)集會(huì),每?jī)蓚€(gè)人或者互相認(rèn)識(shí)或者互相不認(rèn)識(shí)。證明：存在兩個(gè)"三人組",在每一個(gè)"三人組"中的三個(gè)人,或者互相認(rèn)識(shí),或者互相不認(rèn)識(shí)〔這兩個(gè)"三人組"可以有公共成員。證明：將每個(gè)人用一個(gè)點(diǎn)表示,如果兩人認(rèn)識(shí)就在相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間連一條紅色線段,否則就連一條藍(lán)色線段。本題即是要證明在所得的圖中存在兩個(gè)同色的三角形。設(shè)這六個(gè)點(diǎn)為A,B,C,D,E,F。我們先證明存在一個(gè)同色的三角形：考慮由A點(diǎn)引出的五條線段AB,AC,AD,AE,AF,其中必然有三條被染成了相同的顏色,不妨設(shè)AB,AC,AD同為紅色。再考慮△BCD的三邊：若其中有一條是紅色,則存在一個(gè)紅色三角形；若這三條都不是紅色,則存在一個(gè)藍(lán)色三角形?！捕x值法將問(wèn)題中的某些對(duì)象用適當(dāng)?shù)臄?shù)表示之后,再進(jìn)行運(yùn)算、推理、解題的方法叫做賦值法。許多組合問(wèn)題和非傳統(tǒng)的數(shù)論問(wèn)題常用此法求解。常見(jiàn)的賦值方式有：對(duì)點(diǎn)賦值、對(duì)線段賦值、對(duì)區(qū)域賦值及對(duì)其他對(duì)象賦值。解：我們先把從A村到各村的最短時(shí)間標(biāo)注在各村的旁邊,從左到右,一一標(biāo)注,如下圖所示。由此不難看出,按圖中的粗黑線走就能在最短時(shí)間〔60分鐘內(nèi)從A村走到B村。例9：把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問(wèn)：有無(wú)可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：假設(shè)題中所設(shè)想的染色方案能夠?qū)崿F(xiàn),那么每條直線上代表各點(diǎn)的數(shù)字之和便應(yīng)都是奇數(shù)。一共有五條直線,把這五條直線上代表各點(diǎn)的數(shù)字之和的這五個(gè)奇數(shù)再加起來(lái),得到的總和數(shù)仍應(yīng)是一個(gè)奇數(shù)。但是,由觀察可見(jiàn),圖中每個(gè)點(diǎn)都恰好同時(shí)位于兩條直線上,在求上述總和數(shù)時(shí),代表各點(diǎn)的數(shù)字都恰被加過(guò)兩次,所以這個(gè)總和應(yīng)是一個(gè)偶數(shù)。這就導(dǎo)致矛盾,說(shuō)明假設(shè)不成立,染色方案不能實(shí)現(xiàn)。例10：平面上n〔n≥2個(gè)點(diǎn)A1,A2,…,An順次排在同一條直線上,每點(diǎn)涂上黑白兩色中的某一種顏色。已知A1和An涂上的顏色不同。證明：相鄰兩點(diǎn)間連接的線段中,其兩端點(diǎn)不同色的線段的條數(shù)必為奇數(shù)。證明：賦予黑點(diǎn)以整數(shù)值1,白點(diǎn)以整數(shù)值2,點(diǎn)Ai以整數(shù)值為ai,當(dāng)Ai為黑點(diǎn)時(shí),ai=1,當(dāng)Ai為白點(diǎn)時(shí),ai=2。再賦予線段AiAi+1以整數(shù)值ai+ai+1,則兩端同色的線段具有的整數(shù)值為2或4,兩端異色的線段具有的整數(shù)值為3。所有線段對(duì)應(yīng)的整數(shù)值的總和為〔a1＋a2＋〔a2＋a3＋〔a3＋a4＋…＋〔an-1＋an＝a1＋an＋2〔a2＋a3＋…＋an-1＝2＋1＋2〔a2＋a3＋…＋an-1＝奇數(shù)。設(shè)具有整數(shù)值2,3,4的線段的條數(shù)依次為l,m,n,則2l＋m＋4n=奇數(shù)。由上式推知,m必為奇數(shù),證明完畢。例11：下面的表1是一個(gè)電子顯示盤(pán),每一次操作可以使某一行四個(gè)字母同時(shí)改變,或者使某一列四個(gè)字母同時(shí)改變。改變的規(guī)則是按照英文字母的順序,每個(gè)英文字母變成它的下一個(gè)字母〔即A變成B,B變成C……Z變成A。問(wèn)：能否經(jīng)過(guò)若干次操作,使表1變?yōu)楸?？如果能,請(qǐng)寫(xiě)出變化過(guò)程,如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。SOBRKBDSTZFPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表1表2解：不能。將表中的英文字母分別用它們?cè)谧帜副碇械男蛱?hào)代替〔即A用1,B用2……Z用26代替。這樣表1和表2就分別變成了表3和表4。每一次操作中字母的置換相當(dāng)于下面的置換：1→2,2→3,…,25→26,26→1。19152182026616815314142224表311241985247182021936251表4容易看出,每次操作使四個(gè)數(shù)字改變了奇偶性,而16個(gè)數(shù)字的和的奇偶性沒(méi)有改變。因?yàn)楸?中16個(gè)數(shù)字的和為213,表4中16個(gè)數(shù)字的和為174,它們的奇偶性不同,所以表3不能變成表4,即表1不能變成表2。例12：如圖〔1～〔6所示的六種圖形拼成右下圖,如果圖〔1必須放在右下圖的中間一列,應(yīng)如何拼？解：把右上圖黑、白相間染色〔見(jiàn)上圖。其中有11個(gè)白格和10個(gè)黑格,當(dāng)圖形拼成后,圖形〔2〔4〔5〔6一定是黑、白各2格,而圖形〔3必須有3格是同一種顏色,另一種顏色1格。因?yàn)榍八姆N圖形,黑、白已各占2×4=8〔格,而黑格總共只有10格,所以圖形〔3只能是3白1黑。由此知道圖〔1一定在中間一列的黑格,而上面的黑格不可能,所以圖〔1在中間一列下面的黑格中。那么其它圖形如何拼呢？為了說(shuō)明方便,給每一格編一個(gè)數(shù)碼〔見(jiàn)左下圖。因?yàn)閳D〔3是3白1黑,所以為使角上不空出一格,它只能放在〔1,3,4,5或〔7,12,13,17或〔11,15,16,21這三個(gè)位置上。若放在〔1,3,4,5位置上,則圖〔6只能放在〔7,12,13,18或〔15,16,19,20或〔2,7,8,13這三個(gè)位置,但是前兩個(gè)位置是明顯不行的,否則角上會(huì)空出一格。若放在〔2,7,8,13上,則圖〔2只能放在〔12,17,18,19位置上,此時(shí)不能同時(shí)放下圖〔4和圖〔5。若把圖〔3放在〔7,12,13,17位置上,則方格1這一格只能由圖〔2或圖〔6來(lái)占據(jù)。如果圖〔2放在〔1,2,3,4,那么圖〔6無(wú)論放在何處都要出現(xiàn)孤立空格；如果把圖〔6放在〔1,4,5,10,那么2,3這兩格放哪一圖形都不合適。因此,圖形〔3只能放在〔11,15,16,21。其余圖的拼法如右上圖。練習(xí)：1.中國(guó)象棋盤(pán)的任意位置有一只馬,它跳了若干步正好回到原來(lái)的位置。問(wèn)：馬所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？2.右圖是某展覽大廳的平面圖,每相鄰兩展覽室之間都有門(mén)相通。今有人想從進(jìn)口進(jìn)去,從出口出來(lái),每間展覽廳都要走到,既不能重復(fù)也不能遺漏,應(yīng)如何走法？3.能否用下圖中各種形狀的紙片〔不能剪開(kāi)拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為99的正方形〔圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1？請(qǐng)說(shuō)明理由。4.用15個(gè)1×4的長(zhǎng)方形和1個(gè)2×2的正方形,能否覆蓋8×8的棋盤(pán)？5.平面上不共線的五點(diǎn),每?jī)牲c(diǎn)連一條線段,并將每條線段染成紅色或藍(lán)色。如果在這個(gè)圖形中沒(méi)有出現(xiàn)三邊同色的三角形,那么這個(gè)圖形一定可以找到一紅一藍(lán)兩個(gè)"圈"〔即封閉回路,每個(gè)圈恰好由五條線段組成。6.將正方形ABCD分割成n2個(gè)相等的小正方格,把相對(duì)的頂點(diǎn)A,C染成紅色,B,D染成藍(lán)色,其他交點(diǎn)任意染成紅、藍(lán)兩種顏色之一。試說(shuō)明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目是偶數(shù)。7.已知△ABC內(nèi)有n個(gè)點(diǎn),連同A,B,C三點(diǎn)一共〔n＋3個(gè)點(diǎn)。以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)將△ABC分成若干個(gè)互不重疊的小三角形。將A,B,C三點(diǎn)分別染成紅色、藍(lán)色和黃色。而三角形內(nèi)的n個(gè)點(diǎn),每個(gè)點(diǎn)任意染成紅色、藍(lán)色和黃色三色之一。問(wèn)：三個(gè)頂點(diǎn)顏色都不同的三角形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？8.從10個(gè)英文字母A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z中任意選5個(gè)字母〔字母允許重復(fù)組成一個(gè)"詞",將所有可能的"詞"按"字典順序"〔即英漢辭典中英語(yǔ)詞匯排列的順序排列,得到一個(gè)"詞表"：AAAAA,AAAAB,…,AAAAZ,AAABA,AAABB,…,ZZZZY,ZZZZZ。設(shè)位于"詞"CYZGB與"詞"XEFDA之間〔這兩個(gè)詞除外的"詞"的個(gè)數(shù)是k,試寫(xiě)出"詞表"中的第k個(gè)"詞"。答案：1.〔偶數(shù)。解：把棋盤(pán)上各點(diǎn)按黑白色間隔進(jìn)行染色〔圖略。馬如從黑點(diǎn)出發(fā),一步只能跳到白點(diǎn),下一步再?gòu)陌c(diǎn)跳到黑點(diǎn),因此,從原始位置起相繼經(jīng)過(guò)：白、黑、白、黑……要想回到黑點(diǎn),必須黑、白成對(duì),即經(jīng)過(guò)偶數(shù)步,回到原來(lái)的位置。2.〔不能。解：用白、黑相間的方法對(duì)方格進(jìn)行染色〔如圖。若滿足題設(shè)要求的走法存在,必定從白色的展室走到黑色的展室,再?gòu)暮谏恼故易叩桨咨恼故?如此循環(huán)往復(fù)?，F(xiàn)共有36間展室,從白色展室開(kāi)始,最后應(yīng)該是黑色展室。但右圖中出口處的展室是白色的,矛盾。由此可以判定符合要求的走法不存在。3.〔不能。解：我們將99×99的正方形中每個(gè)單位正方形方格染上黑色或白色,使每?jī)蓚€(gè)相鄰的方格顏色不同,由于99×99為奇數(shù),兩種顏色的方格數(shù)相差為1。而每一種紙片中,兩種顏色的方格數(shù)相差數(shù)為0或3,如果它們能拼成一個(gè)大正方形,那么其中兩種顏色之差必為3的倍數(shù)。矛盾！4.〔不能。解：如圖,給8×8的方格棋盤(pán)涂上4種不同的顏色〔用數(shù)字1,2,3,4表示。顯然標(biāo)有1,2,3,4的小方格各有16個(gè)。每個(gè)1×4的長(zhǎng)方形恰好蓋住標(biāo)有1,2,3,4的小方格各一個(gè),但一個(gè)2×2的正方形只能蓋住有三種數(shù)字的方格,故無(wú)法將每個(gè)方格蓋住,即不可能有題目要求的覆蓋。5.證：設(shè)五點(diǎn)為A,B,C,D,E?？紤]從A點(diǎn)引出的四條線段：如果其中有三條是同色的,如AB,AC,AD同為紅色,那么△BCD的三邊中,若有一條是紅色,則有一個(gè)三邊同為紅色的三角形；若三邊都不是紅色,則存在一個(gè)三邊同為藍(lán)色的三角形。這與已知條件是矛盾的。所以,從A點(diǎn)出發(fā)的四條線段,有兩條是紅色的,也有兩條是藍(lán)色的。當(dāng)然,從其余四點(diǎn)引出的四條線段也恰有兩條紅色、兩條藍(lán)色,整個(gè)圖中恰有五條紅色線段和五條藍(lán)色線段。下面只看紅色線段,設(shè)從A點(diǎn)出發(fā)的兩條是AB,AE。再考慮從B點(diǎn)出發(fā)的另一條紅色線段,它不應(yīng)是BE,否則就有一個(gè)三邊同為紅色的三角形。不妨設(shè)其為BD。再考慮從D點(diǎn)出發(fā)的另一條紅色線段,它不應(yīng)是DE,否則從C引出的兩條紅色線段就要與另一條紅色線段圍成一個(gè)紅色三角形,故它是DC。最后一條紅色線段顯然是CE。這樣就得到了一個(gè)紅色的"圈"：A→B→D→C→E→A。同理,五條藍(lán)線也構(gòu)成一個(gè)"圈"。6.7.〔奇數(shù)。解：先對(duì)所有的小三角形的邊賦值：邊的兩端點(diǎn)同色,該線段賦值為0,邊的兩端點(diǎn)不同色,該線段賦值為1。然后計(jì)算每個(gè)小三角形的三邊賦值之和,有如下三種情況：〔1三個(gè)頂點(diǎn)都不同色的三角形,賦值和為3；〔2三個(gè)頂點(diǎn)中恰有兩個(gè)頂點(diǎn)同色的三角形,賦值和為2；〔3三個(gè)頂點(diǎn)同色的三角形,賦值和為0。設(shè)所有三角形的邊賦值總和為S,又設(shè)〔1〔2〔3三類(lèi)小三角形的個(gè)數(shù)分別為a,b,c,于是有S=3a+2b+0c=3a+2b。〔*8.〔EFFGY。解：將A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z分別賦值為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,則CYZGB=28961,_XEFDA=74530。在28961與74530之間共有74530-28961-1=45568〔個(gè)數(shù),詞表中第45568個(gè)詞是EFFGY。六、抽屜原理把5個(gè)蘋(píng)果放到4個(gè)抽屜中,必然有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋(píng)果,這是抽屜原理的通俗解釋。一般地,我們將它表述為：第一抽屜原理：把〔m×n＋1個(gè)物體放入n個(gè)抽屜,其中必有一個(gè)抽屜中至少有〔m＋1個(gè)物體。例1：從1,2,3,…,100這100個(gè)數(shù)中任意挑出51個(gè)數(shù)來(lái),證明在這51個(gè)數(shù)中,一定：〔1有2個(gè)數(shù)互質(zhì)；〔2有2個(gè)數(shù)的差為50；〔3有8個(gè)數(shù),它們的最大公約數(shù)大于1。證明：〔1將100個(gè)數(shù)分成50組：{1,2},{3,4},…,{99,100}。在選出的51個(gè)數(shù)中,必有2個(gè)數(shù)屬于同一組,這一組中的2個(gè)數(shù)是兩個(gè)相鄰的整數(shù),它們一定是互質(zhì)的?！?將100個(gè)數(shù)分成50組：{1,51},{2,52},…,{50,100}。在選出的51個(gè)數(shù)中,必有2個(gè)數(shù)屬于同一組,這一組的2個(gè)數(shù)的差為50。〔3將100個(gè)數(shù)分成5組〔一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)：第一組：2的倍數(shù),即{2,4,…,100}；第二組：3的倍數(shù),即{3,6,…,99}；第三組：5的倍數(shù),即{5,10,…,100}；第四組：7的倍數(shù),即{7,14,…,98}；第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)即{1,11,13,…,97}。第五組中有22個(gè)數(shù),故選出的51個(gè)數(shù)至