2023年上半年初級(jí)數(shù)學(xué)真題答案

2023年上半年中小學(xué)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力試題〔初級(jí)中學(xué)〕參考答案及解析一、單項(xiàng)選擇題1．【答案】D。解析：有理數(shù)與有理數(shù)的乘積仍然是有理數(shù)，所以對(duì)于乘法運(yùn)算是封閉的，A項(xiàng)項(xiàng)正確；有理數(shù)可以通過數(shù)軸法、絕絕對(duì)值法、差值法等比擬大小，B項(xiàng)正確；實(shí)數(shù)集包括無(wú)理數(shù)集和有理數(shù)集，有理數(shù)集是實(shí)數(shù)集的子集，C項(xiàng)正確；全體有理數(shù)構(gòu)成的集合是有理數(shù)集，記為Q，任意x∈Q，都有x＋1∈Q，x－1∈Q，所以有理數(shù)集無(wú)上界也無(wú)下界，是無(wú)界集，D項(xiàng)錯(cuò)誤。故此題選D。2．【答案】A。解析：兩個(gè)向量的數(shù)量積也稱“點(diǎn)乘〞，結(jié)果是一個(gè)數(shù)；向量積也稱“叉乘〞，結(jié)果是一個(gè)向量，其方向滿足右手定那么，垂直于原向量的平面。a×b為向量積，方向與a，b向量垂直，所以A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；a·b為數(shù)量積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)，無(wú)方向可言，所以C項(xiàng)和D項(xiàng)錯(cuò)誤。故此題選A。3．【答案】D。解析：fx在［a，b］上連續(xù)，閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)必有界，那么必有最大值，所以A項(xiàng)中命題正確。根據(jù)函數(shù)一致連續(xù)性定理：假設(shè)函數(shù)fx在［a，b］上連續(xù)，那么函數(shù)fx在［a，b］上一致連續(xù)。所以B項(xiàng)中命題正確。fx在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么fx在［a，b］上可積。所以C項(xiàng)中命題正確。連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，比方y(tǒng)=x連續(xù)，但在x＝4．【答案】B。解析：有n個(gè)未知量的非齊次線性方程組AX＝b有解的充要條件是其系數(shù)矩陣A的秩等于其增廣矩陣B的秩。而當(dāng)r〔A〕＝r〔B〕＝n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)r〔A〕＝r〔B〕＜n時(shí)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解；當(dāng)r〔A〕<r〔B〕時(shí)，方程組無(wú)解。此題中，因?yàn)榫€性方程組ax+by=u，cx+?y=ν的系數(shù)矩陣abcd與增廣矩陣a5．【答案】A。解析：先求兩個(gè)面被涂成紅色的小正方體個(gè)數(shù)。每條棱上有2個(gè)小正方體有兩面被涂成紅色，共有12條棱，所以共有24個(gè)小正方體恰有兩面被涂成紅色，所求概率是24646．【答案】B。解析：雙曲柱面x2-y2=1和平面2x－y－2＝0可看作是xOy平面內(nèi)雙曲線x2-y2=1和直線2x－y－2＝0沿平行z軸方向平移得到。聯(lián)立兩個(gè)方程消去y，得3x2-8x+5=0，其中△＝b2－4ac＝64－60＝4＞0，故在xOy平面內(nèi)雙曲線x2-7．【答案】D。解析：“尺規(guī)作圖三大問題〞是指三等分角，即三等分一個(gè)任意角；立方倍積問題，即作一個(gè)立方體，使它的體積是立方體的體積的二倍：化圓為方問題，即作一個(gè)正方形，使它的面積等于圓的面積。故此題選D。8．【答案】C。解析：指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)必修1中的內(nèi)容。二、簡(jiǎn)答題9．【參考答案】A=abc又A*所以A-110．【參考答案】令Fx，y，z=3將點(diǎn)（1，2，5）代人到11．【參考答案】先證滿射。對(duì)任意gx=acosx+bsinx∈V，有g(shù)xdx=acosx+bsinxdx=asinx-bcosx+C，所以存在fx=-bcosx+asinx∈V，使得再證單射。對(duì)于f1x=a1cosx+b1sinx∈V和f2x=a2cosx+b2sinx∈V，如果Df1x=-a1sinx+b1cosx，Df2x=-a2sinx+b2cosx，那么Df1x≠Df2x。假設(shè)不然，有Df1x=-相關(guān)知識(shí)點(diǎn)設(shè)f是從集合A到集合B的映射，假設(shè)fA=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，那么稱f為A到B假設(shè)對(duì)A中任意兩個(gè)不同元素a1≠a2，它們的像fa1≠fa2假設(shè)映射f既是單射，又是滿射，那么稱映射f為A到B的“雙射〞〔或“一一映射〞〕。12．【參考答案】教學(xué)方法是教師引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)技能，獲得身心開展而共同活動(dòng)的方法。選擇中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的依據(jù)有：①符合教學(xué)規(guī)律和教學(xué)原那么；②符合教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)；③符合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)；④符合學(xué)生的開展水平；⑤符合教師的特長(zhǎng)；⑥符合教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性。13．【參考答案】三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半?！疤剿鳕暿沁^程目標(biāo)行為動(dòng)詞，“證明〞是結(jié)果目標(biāo)行為動(dòng)詞?！疤剿鞑⒆C明三角形中位線定理〞這一目標(biāo)的設(shè)置，要求學(xué)生不僅要記住該定理的內(nèi)容，還需要掌握該定理的推導(dǎo)過程，聯(lián)系知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)系，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。探索并證明三角形中位線定理有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。三角形中位線定理的證明需要運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)定理和判定定理、三角形相似的性質(zhì)定理和判定定理、平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理等知識(shí)，而三角形中位線定理不僅為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的平面圖形、立體圖形等內(nèi)容奠定根底，并且在圖形證明和計(jì)算中發(fā)揮著重要的作用。學(xué)生經(jīng)歷探索并證明三角形中位線定理的學(xué)習(xí)過程，能夠更好地體會(huì)并理解這些知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，對(duì)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心也很有幫助。探索并證明三角形中位線定理的過程能夠提高學(xué)生的推理能力。從幾何直觀出發(fā)猜測(cè)三角形中位線和第三邊的關(guān)系到運(yùn)用三角形全等和平行四邊形的相關(guān)知識(shí)嚴(yán)格地證明猜測(cè)的過程，就是從觀察、歸納、猜測(cè)到用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程驗(yàn)證猜測(cè)的過程，就是學(xué)生學(xué)習(xí)并應(yīng)用合情推理和演繹推理的過程。經(jīng)歷這一過程可以增強(qiáng)學(xué)生綜合應(yīng)用合情推理和演繹推理來發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。三、解答題14．【參考答案】〔1〕令y=ln?f（x），〔2〕由f'x-3x別離變量得df（兩邊同時(shí)積分得df（x）故fx又因?yàn)閒0=C四、論述題15．【參考答案】教學(xué)活動(dòng)應(yīng)努力使全體學(xué)生到達(dá)課程目標(biāo)的根本要求，同時(shí)要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，促進(jìn)每個(gè)學(xué)生在原有根底上的開展。對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，教師要給予及時(shí)的關(guān)注與幫助；鼓勵(lì)他們主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并嘗試用自己的方式解決問題、發(fā)表自己的看法；要及時(shí)地肯定他們的點(diǎn)滴進(jìn)步；耐心地引導(dǎo)他們分析產(chǎn)生困難或錯(cuò)誤的原因，并鼓勵(lì)他們自己去改正，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。對(duì)于學(xué)有余力并對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導(dǎo)他們閱讀，開展他們的數(shù)學(xué)才能。在教學(xué)活動(dòng)中，要鼓勵(lì)與提倡解決問題策略的多樣化，恰當(dāng)評(píng)價(jià)學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平。問題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過程的展開、練習(xí)的安排等要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問題的策略。引導(dǎo)學(xué)生通過與他人的交流選擇適宜的策略，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平。五、案例分析題16．【參考答案】〔1〕學(xué)生在計(jì)算過程中錯(cuò)把-1-15算成了-4出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，有以下幾個(gè)原因：①學(xué)生沒有完全理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，沒能將正數(shù)、負(fù)數(shù)和相反數(shù)這些概念聯(lián)系起來。②學(xué)生對(duì)于符號(hào)的認(rèn)識(shí)和理解不夠全面，比方數(shù)學(xué)符號(hào)“-〞，除了當(dāng)作減號(hào)進(jìn)行運(yùn)算外，還可以當(dāng)作負(fù)號(hào)，表示一個(gè)數(shù)的相反數(shù)。③學(xué)生對(duì)于負(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么和運(yùn)算律掌握不扎實(shí)。④教師在新課講解過程中，對(duì)學(xué)生的預(yù)設(shè)缺乏，對(duì)于學(xué)生難以理解的知識(shí)點(diǎn)，沒有進(jìn)行更加細(xì)致和通俗的講解。〔2〕例1是有理數(shù)的減法。第一步是利用有理數(shù)減法法那么，減去一個(gè)數(shù)等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，將減法轉(zhuǎn)化為加法。第二步是同號(hào)有理數(shù)加法，取相同的符號(hào)，然后把絕對(duì)值相加。例2是有理數(shù)的減法。第一步利用有理數(shù)的減法法那么，減去一個(gè)數(shù)等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，將減法轉(zhuǎn)化為加法。第二步是兩個(gè)異號(hào)的絕對(duì)值不相等的有理數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。六、教學(xué)設(shè)計(jì)題17．【參考答案】〔1〕某超市出售一種牛奶糖和一種水果糖，牛奶糖單價(jià)15元/千克，水果糖單價(jià)10元/千克，為了滿足廣闊消費(fèi)者的不同需求，超市決定將兩種糖混合銷售，并設(shè)計(jì)了以下五種比例的混合方式：牛奶糖〔千克〕水果糖〔千克〕①11②14③23④32⑤41引導(dǎo)學(xué)生思考：①這五種混合糖的平均單價(jià)一樣嗎？全部用12.5元/千克的“平均〞單價(jià)銷售，是否合理？②假設(shè)不一樣，哪一種應(yīng)該最高？哪一種應(yīng)該最低？如何設(shè)置這五種混合糖的單價(jià)才最為合理？〔2〕在計(jì)算加權(quán)平均數(shù)時(shí)，權(quán)重可以表示總體中的各種成分所占比例：權(quán)重越大的數(shù)據(jù)在總體中所占的比例越大，它對(duì)加權(quán)平均數(shù)的影響也越大。在計(jì)算加權(quán)平均數(shù)時(shí)，常用權(quán)重來反映對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)的重要程度：權(quán)重越大的數(shù)據(jù)越重要?！?〕某單位欲從內(nèi)部招聘一名管理員，對(duì)甲、乙、丙三名候選人進(jìn)行了筆試、面試和民主評(píng)議，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簻y(cè)試工程測(cè)試成績(jī)甲乙丙筆試758090面試937068民主評(píng)議508070〔1〕如果根據(jù)三項(xiàng)測(cè)試的平均成績(jī)確定錄用人選，那么誰(shuí)將被錄用？〔2〕根據(jù)實(shí)際需要，單位將筆試、面試、民主評(píng)議三項(xiàng)測(cè)試得分按4：3：3的比例確定個(gè)人的成績(jī)，那么誰(shuí)將