上海豫園中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

上海豫園中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是（

）．A．

B．

C．

D．

參考答案：B2.定義在上的函數(shù),是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有成立,則（）A．B．

C．D．參考答案：D3.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到的圖像，若，且，則的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：A函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象，再向下平移1個(gè)單位，得到的圖象，若，且，則，則，即，，得，當(dāng)時(shí)，取最大值，故選A.4.若，則|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】Tr+1==（﹣1）rxr，當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，＜0．當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，對，令x=1，即可得出．【解答】解：Tr+1==（﹣1）rxr，當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，＜0．當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．對，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（1﹣1）2=0．故選：A．5.已知P（，1），Q（，－1）分別是函數(shù)的圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，則（

）A. B. C.－ D.參考答案：B【分析】由點(diǎn)P,Q兩點(diǎn)可以求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出，再將點(diǎn)P或點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入，求得，即求出?！驹斀狻恳?yàn)?，所以，把的坐?biāo)代入方程，得，因?yàn)?，所以，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求其解析式。6.函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（

）

參考答案：C令，因?yàn)?，單調(diào)遞增，所以在，選項(xiàng)A、D排除。由得：，所以函數(shù)的圖像為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓在x軸的下半部分，因此選c。7.設(shè)是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則的值為()A.

B.

C.

D.參考答案：D由得，，即，所以，選D.8.函數(shù)y=+的定義域?yàn)椋ǎ〢．[﹣，+∞） B．（﹣∞，] C．[﹣，] D．（﹣，）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)大于或等于0，列出不等式組求出解集即可．【解答】解：函數(shù)y=+，∴，解得﹣≤x≤，∴函數(shù)y的定義域?yàn)閇﹣，]．故選：C．9.已知函數(shù)是冪函數(shù)且是上的增函數(shù)，則的值為A.2

B.－1

C.－1或2

D.0參考答案：B因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，即，解得或.因?yàn)閮绾瘮?shù)在，所以，即，所以.選B.10.設(shè)等差數(shù)列滿足：，公差.若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有

（把你認(rèn)為正確的序號都寫上）.①的值域?yàn)?/p>

②的圖象關(guān)于軸對稱③不是周期函數(shù)

④不是單調(diào)函數(shù)參考答案：①②④略12.已知函數(shù)f（x）=axlnx，a∈R，若f′（e）=3，則a的值為．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：f′（x）=a（1+lnx），a∈R，f′（e）=3，∴a（1+lne）=3，∴a=，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，和導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．13.在的展開式中，若第項(xiàng)的系數(shù)為，則

.參考答案：3略14.已知扇形的面積為，半徑為1，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是

．參考答案：15.設(shè)五個(gè)數(shù)值31，37，33，a，35的平均數(shù)是34，則這組數(shù)據(jù)的方差是_________．參考答案：16.關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a=__________.參考答案：1略17.公差不為0的等差數(shù)列的部分項(xiàng)，構(gòu)成等比數(shù)列，且，則=

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題14分)已知函數(shù)，其中（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；

（3）在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（1）函數(shù)的零點(diǎn)即方程＝0的解由得

∴函數(shù)的零點(diǎn)為-----------------2分（2）函數(shù)在區(qū)間上有意義，令得-------------------4分∵

∴當(dāng)在定義域上變化時(shí)，的變化情況如下：＋－↗↘∴在區(qū)間上是增函數(shù)------------------------7分在區(qū)間上是減函數(shù)----------------------------8分（3）在區(qū)間上存在最小值------------------------9分∵由（1）知是函數(shù)的零點(diǎn)，∴---------------------------------------------------------10分由知，當(dāng)時(shí)，又函數(shù)在上是減函數(shù)，且，------------------------12分∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，且∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為＝.-----------------14分19.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{|cn|}的前n項(xiàng)的和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．可得，解出即可得出．（II）=5n﹣32，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn=．|cn|=．當(dāng)n≤6時(shí)，Sn=﹣Tn．當(dāng)n≥7時(shí)，Sn=Tn﹣2T6．【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，等比數(shù)列{bn}的公比為q，∵b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．∴，解得d=3，q=3．∴an=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n．（II）=5n﹣32，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn==．令cn≥0，解得n≥7．∴|cn|=．∴當(dāng)n≤6時(shí)，Sn=﹣（a1+a2+…+an）=﹣Tn=．當(dāng)n≥7時(shí)，Sn=﹣T6+a7+a8+…+an=Tn﹣2T6=+174．∴數(shù)列{|cn|}的前n項(xiàng)的和Sn=．20.已知，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：對于，恒成立；（2）若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，試求k的取值范圍.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，得出的最大值，證明即可；（2）由（1）易知時(shí)顯然不滿足，而時(shí)，時(shí)，，此時(shí)更不可能成立，當(dāng)時(shí)，令，通過導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，證得成立即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，令，，令，即，解得或（舍）．所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以，所以對于，即.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即對于，不存在滿足條件的；當(dāng)時(shí)，對于，，此時(shí)，所以，即恒成立，不存在滿足條件的；當(dāng)時(shí)，令，，令，又為一開口向下的拋物線，且時(shí)，，又，所以必存在，使得．所以時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，即恒成立，綜上，k的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題.21.（本小題滿分12分）已知橢圓：=1的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)（,1），為坐標(biāo)原點(diǎn)。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)圓是以橢圓的長軸為直徑的圓，是直線在軸上方的一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為當(dāng)時(shí)，求直線的方程.參考答案：解：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：………6

（2）連接QM，OP，OQ，PQ和MO交于點(diǎn)A，有題意可得M（-4，m），∵∠PMQ=600∴∠OMP=300，∵，∵m>0

m=4,∴M(-4,4)

……………8∴直線OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OM⊥PQ,,設(shè)直線PQ的方程為y=x+n……………10∵∠OMP=300,∴∠POM=600,∴∠OPA=300,,即O到直線PQ的距離