第講一元微積分應(yīng)用三

會計學(xué)1第講一元微積分應(yīng)用三一、冪級數(shù)的解析運(yùn)算三、函數(shù)展開為冪級數(shù)四、函數(shù)展開為冪級數(shù)應(yīng)用舉例第六章一元微積分的應(yīng)用第四節(jié)函數(shù)展開為冪級數(shù)二、泰勒級數(shù)第1頁/共49頁一、冪級數(shù)的解析運(yùn)算1冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有內(nèi)閉一致收斂性.該性質(zhì)的證明與阿貝爾定理的證明類似.將函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與構(gòu)造的一個常數(shù)項(xiàng)級數(shù)進(jìn)行比較即可.該定理歸功于數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯.第2頁/共49頁魏爾斯特拉斯Weierstrass,K.W1815—1897

數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯1815年10月31日出生于德國的奧斯登費(fèi)爾特；1897年2月19日卒于柏林。魏爾斯特拉斯的父親威廉是一名受過高等教育的政府官員，頗具才智，但對子女相當(dāng)專橫。魏爾斯特拉斯11歲喪母，翌年其父再婚。他有一個弟弟和兩個終身未嫁的妹妹，她們一直在生活上照顧終身未娶的魏爾斯特拉斯。1834年其父將他送往波恩大學(xué)攻讀財務(wù)與管理，使其學(xué)到充分的法律、經(jīng)濟(jì)和管理知識，為謀取政府高級職位創(chuàng)造條件。第3頁/共49頁

魏爾斯特拉斯不喜歡父親所選專業(yè)，并令人驚訝地放棄了即將獲得的法學(xué)博士學(xué)位，離開了波恩大學(xué)。在其父親的一位朋友的建議下，再一次被送到一所神學(xué)院學(xué)習(xí)。后來參加并通過了中學(xué)教師資格國家考試，在一所任教。在此期間他撰寫了4篇直到他的全集刊印時才問世的數(shù)學(xué)論文。這些論文實(shí)際上已顯示了他建立函數(shù)論的基本思想和基本結(jié)構(gòu)。1853年夏他在父親家中度假時,研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心撰寫“阿貝爾函數(shù)”的論文，并于1854年發(fā)表于《克雷爾雜志》上。這篇出自一個名不見經(jīng)傳的中學(xué)體育教師的杰作，引起了數(shù)學(xué)界的矚目。第4頁/共49頁1855年秋，魏爾斯特拉斯被提升為高級教師，并享受一年的研究假期。1856年6月14日柏林皇家綜合科學(xué)校任命他為數(shù)學(xué)教授，他欣然地接受了聘書。同年的11月19日他當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。1864年成為柏林大學(xué)教授，在此期間魏爾斯特拉斯著手系統(tǒng)地建立數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)，進(jìn)一步研究橢圓函數(shù)論與阿貝爾函數(shù)論。這些工作主要是通過他在該校講授大量的課程完成的。短短幾年他就聞名遐爾,成為德國以至全歐洲知名度最高的教授。1873年他出任柏林大學(xué)校長，從此他成為一個大忙人。繁雜的公務(wù)幾乎占去了他的全部時間，緊張的工作影響了他的健康，使他疲憊不堪，但他的智力未見衰退，研究工作仍繼續(xù)進(jìn)行。第5頁/共49頁1897年初，魏爾斯特拉斯染上流行性感冒，引發(fā)肺炎,醫(yī)治無效，于1897年2月19日與世長辭，享年82歲。除柏林科學(xué)院外，魏爾斯特拉斯還是格丁根皇家科學(xué)學(xué)會會員（1856年）、巴黎科學(xué)院院士（1868年）、英國皇家學(xué)會會員（1881年）。在某種意義上魏爾斯特拉斯被人們視為德意志的民族英雄。魏爾斯特拉斯是數(shù)學(xué)分析算術(shù)化的完成者、解析函數(shù)論的奠基人，是無與倫比的大學(xué)數(shù)學(xué)教師。第6頁/共49頁

冪級數(shù)的解析運(yùn)算2冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的在收斂區(qū)間端點(diǎn)處是指和函數(shù)的左、右連續(xù)性.第7頁/共49頁

冪級數(shù)的解析運(yùn)算3冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有逐項(xiàng)可積性在冪級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi),其和函數(shù)連續(xù),故冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積,當(dāng)然,冪級數(shù)也在其收斂區(qū)間內(nèi)可積.逐項(xiàng)積分得到的新冪級數(shù)與原冪級數(shù)具有相同的收斂半徑,但端點(diǎn)處的斂散性可能改變.第8頁/共49頁首項(xiàng)為x,

公比為x.例1解第9頁/共49頁

符合積分要求了分析例2第10頁/共49頁

等比級數(shù)例2解第11頁/共49頁

冪級數(shù)的解析運(yùn)算4冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有逐項(xiàng)可導(dǎo)性逐項(xiàng)求導(dǎo)得到的新冪級數(shù)與原冪級數(shù)具有相同的收斂半徑,但要注意：由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零,故有些冪級數(shù)在求導(dǎo)后要改變下標(biāo)的起始值.第12頁/共49頁例3解由冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的逐項(xiàng)可導(dǎo)性,得第13頁/共49頁第14頁/共49頁

請自己完成例4分析第15頁/共49頁在收斂區(qū)間內(nèi)對冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分后,得到一個新的冪級數(shù),且它與原冪級數(shù)具有相同的收斂半徑.如有必要,可對它連續(xù)進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分.就是說,在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)及任意次的可積性.

冪級數(shù)的性質(zhì)多好??！第16頁/共49頁

如何將函數(shù)表示為冪級數(shù)?怎么做？第17頁/共49頁二、泰勒級數(shù)第18頁/共49頁

將函數(shù)展開為冪級數(shù)得的問題是否就是將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的問題?第19頁/共49頁一個冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)代表一個函數(shù),即它的和函數(shù):任意一個函數(shù)能否在某一個區(qū)間內(nèi)表示為某一個冪級數(shù)的形式呢?即是否有工程需要泰勒公式問題第20頁/共49頁回憶泰勒中值定理的構(gòu)建過程第21頁/共49頁按照上面的方法不斷地做下去,是否有下面的結(jié)論:

等號成立嗎？

該級數(shù)收斂嗎？

即算級數(shù)收斂,其和函數(shù)等于f(x)

嗎？第22頁/共49頁定理第23頁/共49頁證由定理的條件可知,且其和函數(shù)于是有第24頁/共49頁由數(shù)學(xué)歸納法,得該定理說明,冪級數(shù)的和函數(shù),則該冪級數(shù)一定是下列形式:第25頁/共49頁

定理和定義給我們提供了什么信息?定義第26頁/共49頁定理和定義告訴我們：處有任意階導(dǎo)數(shù),則它就有一個相應(yīng)的泰勒級數(shù)存在.但此泰勒級數(shù)不一定收斂,

即算收斂,其和函數(shù)也不一定等于就是說,函數(shù)與它的泰勒級數(shù)間劃等號是條件的.內(nèi)可表示為冪級數(shù)的形式,則該冪級數(shù)一定是函數(shù)f(x)

的泰勒級數(shù).第27頁/共49頁問題第28頁/共49頁回憶泰勒中值定理的構(gòu)建過程由級數(shù)的部分和及收斂性質(zhì)看出一點(diǎn)什么沒有?第29頁/共49頁定理第30頁/共49頁證

余下的工作由學(xué)生自己完成.第31頁/共49頁第32頁/共49頁推論第33頁/共49頁證（提示）自己做!第34頁/共49頁馬克勞林級數(shù)第35頁/共49頁就可寫出它的泰勒級數(shù).但它的泰勒級數(shù)不一定收斂,只有當(dāng)拉格朗日余項(xiàng)時,泰勒級數(shù)才收斂于一個函數(shù)如果能夠展開為冪級數(shù)形式,則該冪級數(shù)一定是它的泰勒級數(shù),且這種展開是唯一的.即使收斂,其和函數(shù)第36頁/共49頁三、函數(shù)展開為冪級數(shù)函數(shù)展開為冪級數(shù)直接展開法間接展開法第37頁/共49頁該方法是先求出函數(shù)寫出它的泰勒級數(shù),然后,判斷泰勒公式中的拉格朗日余項(xiàng)是否滿足確定級數(shù)的收斂區(qū)間.直接展開法第38頁/共49頁例4解第39頁/共49頁第40頁/共49頁例5解第41頁/共49頁第42頁/共49頁從一些已知函數(shù)的泰勒展開式出發(fā),利用冪級數(shù)