第講無(wú)窮小量

會(huì)計(jì)學(xué)1第講無(wú)窮小量第二章函數(shù)的極限與連續(xù)性第四節(jié)無(wú)窮小量、無(wú)窮大量一.無(wú)窮小量及其運(yùn)算性質(zhì)二.

無(wú)窮大量第1頁(yè)/共31頁(yè)一、無(wú)窮小量及其運(yùn)算性質(zhì)

簡(jiǎn)言之,在某極限過(guò)程中,以0為極限的量稱該極限過(guò)程中的一個(gè)無(wú)窮小量.第2頁(yè)/共31頁(yè)例1在任何一個(gè)極限過(guò)程中,

常值函數(shù)y=0均為無(wú)窮小量.第3頁(yè)/共31頁(yè)1.無(wú)窮小量的定義定義第4頁(yè)/共31頁(yè)2.函數(shù)的極限與無(wú)窮小量的關(guān)系分析反之亦然.

由以上的分析,你可得出什么結(jié)論?第5頁(yè)/共31頁(yè)

由此可看出,尋找函數(shù)極限運(yùn)算法則可歸結(jié)為尋找無(wú)窮小量的運(yùn)算法則.定理第6頁(yè)/共31頁(yè)

同一個(gè)極限過(guò)程中的有限個(gè)無(wú)窮小量之和仍是一個(gè)無(wú)窮小量.

同一個(gè)極限過(guò)程中的有限個(gè)無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量.3.無(wú)窮小量的運(yùn)算法則第7頁(yè)/共31頁(yè)

常數(shù)與無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量.

在某極限過(guò)程中,以極限不為零的函數(shù)除無(wú)窮小量所得到商仍為一個(gè)無(wú)窮小量.

在某一極限過(guò)程中,無(wú)窮小量與有界量之積仍是一個(gè)無(wú)窮小量.第8頁(yè)/共31頁(yè)例2證證明有界量與無(wú)窮小量的乘積第9頁(yè)/共31頁(yè)(i)一般說(shuō)來(lái),有界量的倒數(shù)不一定有界.

例如,f(x)=x,x(0,1).(ii)我們沒(méi)有涉及兩個(gè)無(wú)窮小量商的極限的情形,因?yàn)樗那樾屋^復(fù)雜,將在以后專門討論.注意：第10頁(yè)/共31頁(yè)例3解第11頁(yè)/共31頁(yè)二.無(wú)窮大量第12頁(yè)/共31頁(yè)定義1.無(wú)窮大量的定義第13頁(yè)/共31頁(yè)例4(iii),(iv)自己畫畫圖會(huì)更清楚.第14頁(yè)/共31頁(yè)例5解無(wú)窮大量是按絕對(duì)值定義的.第15頁(yè)/共31頁(yè)例6無(wú)窮大量是否一定是無(wú)界量?在某極限過(guò)程中,無(wú)界量是否一定是無(wú)窮大量?但該數(shù)列是無(wú)界的.第16頁(yè)/共31頁(yè)當(dāng)

x時(shí),

函數(shù)sinx、cosx,是否為無(wú)窮大量？因?yàn)閟inx、cosx是有界函數(shù),

所以在任何極限過(guò)程中它們都不是無(wú)窮大量.第17頁(yè)/共31頁(yè)2.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系(無(wú)窮大量的倒數(shù)為無(wú)窮小量,x0)(無(wú)窮小量的倒數(shù)為無(wú)窮大量,x0)則例7第18頁(yè)/共31頁(yè)在某一極限過(guò)程中

請(qǐng)自己根據(jù)定義自已進(jìn)行證明.定理第19頁(yè)/共31頁(yè)不是無(wú)窮大量是無(wú)窮大量例8兩個(gè)無(wú)窮大量的和是否仍為無(wú)窮大量?考察第20頁(yè)/共31頁(yè)例9有界量與無(wú)窮大量的乘積是否一定為無(wú)窮大量？

不著急,看個(gè)例題:第21頁(yè)/共31頁(yè)例9有界量與無(wú)窮大量的乘積是否一定為無(wú)窮大量？

不著急,看個(gè)例題:不一定再是無(wú)窮大量.第22頁(yè)/共31頁(yè)結(jié)論:在某個(gè)極限過(guò)程中,

無(wú)窮大量一定是無(wú)界量,但無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量.兩個(gè)無(wú)窮大量的和不一定是無(wú)窮大量.

無(wú)窮大量與有界量之積不一定是無(wú)窮大量.第23頁(yè)/共31頁(yè)四.無(wú)窮小量比較的概念設(shè),是同一個(gè)極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量.第24頁(yè)/共31頁(yè)則稱是的若記為高階無(wú)窮小,此時(shí),

也可稱是的低階無(wú)窮小.第25頁(yè)/共31頁(yè)若為常數(shù),記為則稱與是同階無(wú)窮小,第26頁(yè)/共31頁(yè)若為常數(shù),則稱為的k階無(wú)窮小,記為第27頁(yè)/共31頁(yè)則稱是的若記為等階無(wú)窮小,

等價(jià)無(wú)窮小必是同階無(wú)窮小,但反之不真.第28頁(yè)/