拋物線方程課件選修

2．4拋物線

2．4.1拋物線的標準方程學習目標1.掌握拋物線的標準方程．2．會求拋物線的標準方程．3．能利用拋物線的標準方程解決一些簡單的實際問題．課前自主學案溫故夯基1．函數y＝x2的圖象是______，如圖①所示，開口____；2．函數y＝－x2的圖象是______，如圖②所示，開口____．拋物線向上拋物線向下1．拋物線的定義平面內到一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離____的點的軌跡叫做拋物線．定點F叫做拋物線的焦點，________叫做拋物線的準線．2．拋物線的標準方程一條拋物線，由于它在平面內的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程除y2＝2px(p>0)外，還有其他三種形式：y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．相等定直線l知新益能現將這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標及準線方程列表如下：標準方程焦點坐標準線方程圖形y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)標準方程焦點坐標準線方程圖形x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)1．在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經點F(F?l)”，點的軌跡還是拋物線嗎？提示：不一定是拋物線，當直線l經過點F時，點的軌跡是過定點F，且垂直于定直線l的一條直線，l不經過點F時，點的軌跡是拋物線．問題探究2．已知拋物線的標準方程，怎樣確定拋物線的焦點位置和開口方向？提示：一次項變量為x(或y)，則焦點在x軸(或y軸)上；若系數為正，則焦點在正半軸上；系數為負，則焦點在負半軸上．焦點確定，開口方向也隨之確定．課堂互動講練考點突破考點一求拋物線的標準方程求拋物線的方程通常有定義法和待定系數法．由于標準方程有四種形式，因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程：(1)過點(3，－4)；(2)焦點在x軸上，且拋物線上一點A(3，m)到焦點的距離為5.【思路點撥】

(1)由已知點所在象限，可設拋物線方程．(2)利用定義求參數p.例1【名師點評】求拋物線標準方程時，若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論；另外，焦點在x軸上的拋物線方程可統一設成y2＝ax(a≠0)；焦點在y軸上的拋物線方程可統一設成x2＝ay(a≠0)．自我挑戰(zhàn)1已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(－3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．拋物線的定義可以實現到定點的距離與到定直線距離的轉化，利用這種等價性可以解決相關的問題．求證：以拋物線的焦點弦(通過焦點的弦)AB為直徑的圓與拋物線的準線l相切．【思路點撥】解答本題可結合拋物線的定義，分析各線段與圓的半徑的關系．考點二拋物線定義的應用例2∴以拋物線的焦點弦AB為直徑的圓與拋物線的準線l相切．【名師點評】由于拋物線上的點到焦點的距離與其到準線的距離相等，所以，在有關拋物線的問題中，常常會涉及兩種距離的轉換，特別是把到焦點的距離轉化到準線的距離．在涉及到距離之和最小或距離之差的絕對值最大的問題時，又常常結合三角形中的邊邊關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等性質．自我挑戰(zhàn)2已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時P點坐標．以拋物線為數學模型的實例很多，如橋拱、隧道、噴泉、斜上拋物體運行的軌道等，應用拋物線的主要方法是：(1)建立平面直角坐標系，求拋物線的方程；(2)利用方程求點的坐標．(本題滿分14分)一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線型的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am，求使卡車通過的a的最小整數值．考點三拋物線的實際應用例3【思路點撥】本題主要考查拋物線知識的實際應用．解答本題首先建系，轉化成拋物線的問題，再利用解拋物線的問題解決．【名師點評】

(1)本題的解題關鍵是把實際問題轉化為數學問題，利用數學模型，通過數學語言(文字、符號、圖形、字母等)表達、分析、解決問題．(2)在建立拋物線的標準方程時，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立坐標系．這樣可使得標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數項，形式更為簡單，便于應用．1．拋物線的定義拋物線定義的實質可歸結為“一動三定”，一個動點，設為M；一個定點F即拋物線的焦點；一條定直線l即拋物線的準線；一個定值即點M與點F的距離和它到直線l的距離之比等于1.方法感悟2．拋物線的標準方程(1)拋物線標準方程的靈活“輔設”：對于已知焦點所在軸的拋物線，在不知開口方向時，可將拋物線方程設為y2＝ax(a≠0)，此時焦點在x軸上；(或x2＝ay(