大一下考試備考版-高數(shù)題課件11tj

1習(xí)題課一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法線面積分的計算第十一章2一、曲線積分的計算法1.

基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終習(xí)題:P246題3(1),（2），(3),(6)3考題1、L是拋物線上點與之間的一段弧，則曲線積分2、L為A（0,0）到B（4,3）的直線,則B43、曲線L的方程為起點是終點是(1,0),

則結(jié)合定積分的對稱性A解5P2463(6).

計算其中由平面y=z

截球面解:原式=所得，從z軸正向看沿逆時針方向.6(2)利用對稱性簡化計算;(3)利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;(4)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(5)利用斯托克斯公式;(6)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.

基本技巧(1)積分弧段方程的代入，可以簡化計算71、L為圓周則2、設(shè)為頂點的L是以ABCD正方形正向，則0考題結(jié)合格林公式其中為曲線解例1(1)積分弧段方程的代入，可以簡化計算

3、設(shè)平面曲線L的下半圓周為則B8(2)利用對稱性簡化計算;1、設(shè)平面曲線L為則例2

計算其中為曲線解

利用輪換對稱性,有A考題9(3)利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;

1、計算曲線積分其中L是上由點(0,0)到(1,1)的一段弧.解其中點因為所以線積分與路徑無關(guān).添加輔助線則考題在圓周102、證明曲線積分在整個xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值.解所以在整個xOy面內(nèi)積分與路徑無關(guān).

P2xyy43

Qx24xy3顯然P、Q在整個xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

并且在整個xOy面內(nèi)成立.則11例3

計算其中L

是沿逆時針方向以原點為中心、解法1

令則這說明積分與路徑無關(guān),故a

為半徑的上半圓周.12解法2

它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式)思考:若L改為順時針方向,如何計算該積分:則添加輔助線段解13(4)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);

1、設(shè)曲線積分其中L是以為頂點的三角形的正向邊界，(A)6

；(B)8

；(C)10

；(D)12考題D則2、計算曲線積分：其中沿逆時針方向.解方法一：直接方法做方法二積分曲面方程的代入14其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線，L的方向為逆時針方向.3、計算記L所圍成的區(qū)域為D.時，解當(dāng)由格林公式得當(dāng)時，記其中包含在L內(nèi)，并取其順時針方向.15其中L為圓周按逆時針方向繞行.

解此時不能用格林公式可以用格林公式例4注意：弧段方程代入練習(xí)題:

P246

題3.(5),5,

6;11.

16如圖,適當(dāng)選取作圓周使L1包含在L的內(nèi)部，并取L1為順時針方向.則內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且L,L1構(gòu)成D的正邊界.作業(yè)7計算曲線積分其中L是在圓周L的方向為逆時針方向.解由格林公式17所以常見錯解錯誤原因P,Q及一階偏導(dǎo)數(shù)在(0,0)點沒有定義,所以不能直接使用格林公式.練習(xí)題:

P246

題3.(5),5,

6;11.

目錄18二、曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)選擇積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面191、求曲面積分其中為錐面在柱面內(nèi)的部分.在xoy面上的投影區(qū)域為解考題20作業(yè)12.求拋物面殼的質(zhì)量,所以拋物面殼的質(zhì)量為此殼的面密度為的投影區(qū)域為解21作業(yè)13.計算下列對坐標(biāo)的曲面積分:其中的下半(1)部分的下側(cè)；解其投影區(qū)域為：22232.

基本技巧(2)利用對稱性簡化計算(3)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(4)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化(1)積分曲面方程的代入，可以簡化計算24

1、設(shè)為球面則(1)積分曲面方程的代入，可以簡化計算考題A25(2)利用對稱性簡化計算其中為錐面被柱面所截得的有限部分.作業(yè)11方法1且被積函數(shù)xy及yz是關(guān)于y的奇函數(shù),故解方法2如圖,的投影區(qū)域為26原式27(2)其中是柱面被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)；由于柱面在xOy面上的投影為圓周曲線,面上的投影分別為解所以作業(yè)13也可用輪換對稱性28(3)其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè).其中而由對稱性解如圖,設(shè)作業(yè)13可以用高斯公式29于是原式=所以30(3)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)P246題4(2)(3),

P247題101、設(shè)的外側(cè)，則考題C不能將Σ的方程代入312、計算曲面積分，其中是由及圍成的空間立體的表面的外側(cè).解由高斯公式，得其中為Ω在第一卦限的部分.對稱性323、計算曲面積分其中為拋物面介于和添加輔助面取其上側(cè)，之間的下側(cè).解334、

計算曲面積分其中解思考:

若

改為橢球面時,應(yīng)如何計算？提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面取內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.此時不能用高斯公式！用高斯公式得注意：曲面方程代入2011-2012學(xué)年A2（A）卷20題作業(yè)紙P7634綜合考題1、下列各式中正確的是（

）其中沿逆時針方向；在第一卦限的部分的上側(cè)；B35其中Γ是Σ的邊界曲線,且Γ的方向與Σ側(cè)符合右手法則;