一次函數(shù)與實(shí)際問題公開課獲獎(jiǎng)教案

第4課時(shí)一次函數(shù)與實(shí)際問題產(chǎn)的水果共140千克，進(jìn)而利用該水果店預(yù)

計(jì)進(jìn)貨款為1000元，列出等式求出即可；.根據(jù)問題及條件找出能反映出實(shí)際問題的函數(shù)；（重點(diǎn)）.能利用一次函數(shù)圖象解決簡單的實(shí)際問題，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題.（重點(diǎn)）（2）利用兩種水果每千克的利潤表示出總利潤，再利用一次函數(shù)增減性得出最大值即可.解：（1）設(shè)購進(jìn)甲種水果1千克，則購進(jìn)乙種水果（140一%）千克，根據(jù)題意可得51+9（140-1）=1000,解得1=65,?'.140—1=75（千克）.答：購進(jìn)甲種水果65千克，乙種水果75千克；（2）由圖表可得甲種水果每千克利潤為一、情境導(dǎo)入3元，乙種水果每千克利潤為4元.設(shè)總利聯(lián)通公司手機(jī)話費(fèi)收費(fèi)有A套餐（月租費(fèi)15元，通話費(fèi)每分鐘0.1元）和B套餐（月租費(fèi)0元，通話費(fèi)每分鐘0.15元）兩種.設(shè)A套餐每月話費(fèi)為y/元），B套餐每月話費(fèi)為y2（元），月通話時(shí)間為1（分鐘）.（1）分別表示出y1與1,y2與1的函數(shù)關(guān)系式；（2）月通話時(shí)間為多長時(shí)，A、B兩種套餐收費(fèi)一樣？（3）什么情況下A套餐更省錢?二、合作探究潤為W，由題意可得W=31+4（140—1）=一1+560.\?該水果店決定乙種水果的進(jìn)貨量不超過甲種水果的進(jìn)貨量的3倍，.?.140—1W31，解得1^35.V—1<0,.W隨1的增大而減小，則1越小W越大.???當(dāng)1=35時(shí)，W最天一35+560=525（元），140—35=105（千克）.答：當(dāng)購進(jìn)甲種水果35千克，購進(jìn)乙種水果105千克時(shí)，此時(shí)利潤最大為525元.方法總結(jié)：利用一次函數(shù)增減性得出函數(shù)最值是解題關(guān)鍵.探究點(diǎn)：一次函數(shù)與實(shí)際問題【類型二］利用一次函數(shù)解決有關(guān)路［類型一］利用一次函數(shù)解決最值問題?!廣安某水果店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共140千克，這兩種水果的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表所示：進(jìn)價(jià)（元/千克）售價(jià)（元/千克）甲種58乙種913（1）若該水果店預(yù)計(jì)進(jìn)貨款為1000元，則這兩種水果各購進(jìn)多少千克？（2）若該水果店決定乙種水果的進(jìn)貨量不超過甲種水果的進(jìn)貨量的3倍，應(yīng)怎樣安排進(jìn)貨才能使水果店在銷售完這批水果時(shí)獲利最多？此時(shí)利潤為多少元？解析：（1）根據(jù)計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種新出囪?為倡導(dǎo)低碳生活，綠色出行，某自行車俱樂部利用周末組織“遠(yuǎn)游騎行”活動(dòng).自行車隊(duì)從甲地出發(fā)，途經(jīng)乙地短暫休息完成補(bǔ)給后，繼續(xù)騎行至目的地丙地，自行車隊(duì)出發(fā)1h后，恰有一輛郵政車從甲地出發(fā)，沿自行車隊(duì)行進(jìn)路線前往丙地，在丙地完成2h裝卸工作后按原路返回甲地，自行車隊(duì)與郵政車行駛速度均保持不變，并且郵政車行駛速度是自行車隊(duì)行駛速度的2.5倍，如圖表示自行車隊(duì)、郵政車離甲地

的路程y(km)與自行車隊(duì)離開甲地的時(shí)間%(h)的函數(shù)關(guān)系圖象，請(qǐng)根據(jù)圖象提供的信息解答下列各題：(1)自行車隊(duì)行駛的速度是 km/h；(2)郵政車出發(fā)多久與自行車隊(duì)首次相遇？(3)郵政車在返程途中與自行車隊(duì)再次相遇時(shí)的地點(diǎn)距離甲地多遠(yuǎn)？解析：(1)由“速度=路程：時(shí)間”就可以求出結(jié)論；(2)由自行車的速度就可以求出郵政車的速度，再由追及問題設(shè)郵政車出發(fā)ah與自行車隊(duì)首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由郵政車的速度可以求出B的坐標(biāo)和C的坐標(biāo)，由自行車的速度就可以求出D的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出BC,ED的解析式就可以求出結(jié)論.解：(1)由題意得自行車隊(duì)行駛的速度為72^3=24(km/h).(2)由題意得郵政車的速度為24X2.5=60(km/h).設(shè)郵政車出發(fā)ah與自行車隊(duì)首次相遇，由題意得24(a+1)=60a，解得a=|.答：郵政車出發(fā)|h與自行車隊(duì)首次相遇；(3)由題意得郵政車到達(dá)丙地的時(shí)間為9135:60=4(h),???郵政車從丙地出發(fā)返回甲一，一一9 21 21地前共用時(shí)為4+2+1=亍(h),??.B(亍,135),C(7.5,0).自行車隊(duì)到達(dá)丙地的時(shí)間為135?24+0.5=45+0.5;名出)，.，.D(49,8 8 8135).設(shè)直線BC的解析式為y1=k1+%,由題意得135=21k1+b1解得[0題意得135=21k1+b1解得[0=7.5k1+bj1???y1=—60%+450.設(shè)ED的解析式為y2=k2xf72=3.5k2+b2,+b,,由題意得1 49,解得2 [135=49k2+b2,k2=24,1b=—12,2???y2=24x—k2=24,1b=—12,260x+450=24x—12，解得x=5.5.y=一160X5.5+450=120.答：郵政車在返程途中與自行車隊(duì)再次相遇時(shí)的地點(diǎn)距離甲地120km.方法總結(jié)：本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.［類型三］利用一次函數(shù)解決圖形面積問題曲如圖①，底面積為30cm2的空?qǐng)A柱形容器內(nèi)水平放置著由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”，現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注滿為止，在注水過程中，水面高度h(cm)與注水時(shí)間t(s)之間的關(guān)系如圖②所示.請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)圓柱形容器的高為多少？勻速注水的水流速度(單位：cm3/s)為多少？(2)若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15cm2,求“幾何體”上方圓柱的高和底面積.解析：(1)根據(jù)圖象，分三個(gè)部分：注滿“幾何體”下方圓柱需18s;注滿“幾何體”上方圓柱需24—18=6(s),注滿“幾何體”上面的空?qǐng)A柱形容器需42—24=18(s).再設(shè)勻速注水的水流速度為xcm3/s,根據(jù)圓柱的體積公式列方程，再解方程；(2)由圖②知幾何體下方圓柱的高為acm,根據(jù)圓柱的體積公式得a?(30—15)=18X5,解得a=6,于是得到“幾何體”上方圓柱的高為5cm,設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為Scm2,根據(jù)圓柱的體積公式得5X(30—S)=5X(24—18),再解方程即可.解：⑴根據(jù)函數(shù)圖象得到圓柱形容器的高為14cm,兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”的高度為11cm,水從剛滿過由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”到注滿用了42-24=18(s),這段高度為14-11=3(cm).設(shè)勻速注水的水流速度為％cm3/s,則18?％=30X3,解得％=5,即勻速注水的水流速度為5cm3/s；(2)由圖②知“幾何體”下方圓柱的高為acm,則o(30—15)=18X5,解得a=6,所以“幾何體”上方圓柱的高為11—6=5(cm).設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為Scm2，根據(jù)題意得5X(30—S)=5X(24—18),解得S=24,即“幾何體”上方圓柱的底面積為24cm2.方法總結(jié)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：把分段函數(shù)圖象中自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，然后運(yùn)用方程的思想解決實(shí)際問題.［類型四］利用一次函數(shù)解決銷售問題某社區(qū)活動(dòng)中心準(zhǔn)備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配%(%三2)個(gè)羽毛球，供社區(qū)居民免費(fèi)借用.該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價(jià)均為30元,每個(gè)羽毛球的標(biāo)價(jià)為3元，目前兩家超市同時(shí)在做促銷活動(dòng)：A超市：所有商品均打九折(按標(biāo)價(jià)的90%)銷售；B超市:買一副羽毛球拍送2個(gè)羽毛球.設(shè)在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為〃(元)，在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yB(元).請(qǐng)解答下列問題：(1)分別寫出〃、yB與％之間的關(guān)系式；(2)若該活動(dòng)中心只在一家超市購買，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算？(3)若每副球拍配15個(gè)羽毛球，請(qǐng)你幫助該活動(dòng)中心設(shè)計(jì)出最省錢的購買方案.解析：⑴根據(jù)購買費(fèi)用=單價(jià)X數(shù)量建立關(guān)系就可以表示出yA、yB的解析式；(2)分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)yA=yB時(shí)，當(dāng)yA>yB時(shí)，當(dāng)yAvyB時(shí)，分別求出購買劃算的方案；⑶分兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算求出需要的費(fèi)用，再進(jìn)行比較就可以求出結(jié)論.解：(1)由題意得yA=(10X30+3X10%)X0.9=27%+270；yB=10X30+3(10%—20)=30%+240；(2)當(dāng)yA=yB時(shí)，27%+270=30%+240,得%=10；當(dāng)yA>yB時(shí)，27%+270>30%+240,得%<10.7%三2,?'.2W%<10；當(dāng)yA<yB時(shí)，27%+270<30%+240,得%>10；?,.當(dāng)2W%<10時(shí)，到B超市購買劃算，當(dāng)%=10時(shí)，兩家超市一樣劃算，當(dāng)%>10時(shí)，在A超市購買劃算；(3)由題意知%=15,15>10,，只在一家超市購買時(shí)，選擇A超市劃算，yA=27X15+270=675(元).在兩家超市購買時(shí)，先選擇B超市購買10副羽毛球拍，送20個(gè)羽毛球，然后在A超市購買剩下的羽毛球：(10X15-20)X3X0.9=351(元)，共需要費(fèi)用10X30+351=651(元).7651元<675元，.??最佳方案是先選擇B超市購買10副羽毛球拍，然后在A超市購買130個(gè)羽毛球.方法總結(jié)：本題考查了一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，方案設(shè)計(jì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.［類型五］利用圖表信息解決實(shí)際問題囪@某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同的產(chǎn)品，所需原料為同一種原材料，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品所需原材料的數(shù)量和生產(chǎn)過程中投入的生產(chǎn)成本的關(guān)系如表所示：產(chǎn)品甲乙原材料數(shù)量(噸)12生產(chǎn)成本(萬元)42

若該工廠生產(chǎn)甲種產(chǎn)品m噸，乙種產(chǎn)品n噸，共用原材料160噸，銷售甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤y（萬元）與銷售量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，全部銷售后獲得的總利潤為200萬元.（1）求m、n的值；（2）該工廠投入的生產(chǎn)成本是多少萬元？解析：（1）求出甲、乙兩種產(chǎn)品每噸的利潤，然后根據(jù)兩種原材料的噸數(shù)和全部銷售后的總利潤，列出關(guān)于m、n的二元一次方程組，求解即可；（2）根據(jù)“生產(chǎn)成本=甲的成本+乙的成本”，列式計(jì)算即可得解.解：（1）由圖可知，銷售甲、乙兩種產(chǎn)品每噸分別獲利6:2=3（萬元）、6?3=2（萬元）.根據(jù)題意可得解得m+2n=160,

'3m+2n=元）.根據(jù)題意可得解得答:該工廠投入的生產(chǎn)成本為220萬元.方法總結(jié)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了列二元一次方程組解決實(shí)際問題，根據(jù)表格求出兩種產(chǎn)品每噸的利潤，然后列出方程組是解題的關(guān)鍵.三、板書設(shè)計(jì).利用一次函數(shù)解決最值問題.利用一次函數(shù)解決有關(guān)路程問題.利用一次函數(shù)解決圖形面積問題.利用一次函數(shù)解決銷售問題.利用圖表信息解決實(shí)際問題本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求體現(xiàn)新課程改革的理念，結(jié)合學(xué)生自主探究的時(shí)間，為學(xué)生營造寬松、和諧的氛圍，讓學(xué)生學(xué)得更主動(dòng)、更輕松，力求在探索知識(shí)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.在學(xué)生選擇解決問題的諸多方法的過程中，不過多地干涉學(xué)生的思維，而是通過引導(dǎo)學(xué)生自己去探究來選擇合適的辦法解決問題.勾股定理第1課時(shí)勾股定理（2）由（1）知，甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)20噸、70噸，所以投入的生產(chǎn)成本為20X4+70X2=220（萬元第1課時(shí)勾股定理.經(jīng)歷探索及驗(yàn)證勾股定理的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；（重點(diǎn)）.掌握勾股定理，并運(yùn)用它解決簡單的計(jì)算題；（重點(diǎn)）.了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法.（難點(diǎn)）一、情境導(dǎo)入如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯樹，它由若干個(gè)圖形組成，而每個(gè)圖形的基本元素是三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形.各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧.你能說說其中的奧秘嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理【類型一】直接運(yùn)用勾股定理

如圖，在^ABC中，ZACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD±AB于D，求:(1)AC的長；⑵S"；(3)CD的長.解析：(1)由于在△ABC中，ZACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,根據(jù)勾股定理即可求出AC的長；(2)直接利用三角形的面積公式即可求出S^ABC;(3)根據(jù)面積公式得到CD-AB=BC-AC即可求出CD.解:(1)二?在△ABC中，ZACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,AAC=MB2-BC2=12cm；(2)S△ABC=2CB-AC=2X5X12=Z-A-^i-B^^30(cm2)；(3):SAABC=2AC-BC=2CD-AB,ACDAC-BC60=AB=13cm-方法總結(jié)：解答此類問題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，然后利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角形的面積，然后根據(jù)面積相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)方程即可.［類型二］分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用在^ABC中，AB=15,AC=在^ABC中，AB=15,AC=13,解析：本題應(yīng)分4ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論.解：此題應(yīng)分兩種情況說明：(1)當(dāng)4ABC為銳角三角形時(shí)，如圖①所示.在RtAABD中，BD=\A2—AD2=v152-122=9.在RtAACD中，CD=AC2-AD2=“32-122=5,ABC=5+9=14,AAABC的周長為15+13+14=42；(2)當(dāng)4ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖②所示.在RtAABD中，BD=\A2—AD2=4152—122=9.在RtAACD中，CD=\,AC2—AD2=、?.132-122=5,ABC=9-5=4,AAABC的周長為15+13+4=32.A當(dāng)^ABC為銳角三角形時(shí)，AABC的周長為42；當(dāng)4ABC為鈍角三角形時(shí)，AABC的周長為32.方法總結(jié)：解題時(shí)要考慮全面，對(duì)于存在的可能情況，可作出相應(yīng)的圖形，判斷是否符合題意.【類型三】勾股定理的證明探索與研究：圖探索與研究：圖對(duì)任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形AED,所以ZBAE=90°,且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE的面積等于RtABAE和RtABFE的面積之和.根據(jù)圖示寫出證明勾股定理的過程；方法2：如圖:該圖形是由任意的符合條件的兩個(gè)全等的RtABEA和RtAACD方法2：如圖:解析：方法1:根據(jù)四邊形ABFE面積等于RtABAE和RtABFE的面積之和進(jìn)行解答；方法2:根據(jù)△ABC和RtAACD的面積之和等于Rt^ABD和^BCD的面積之和解答.

解：方法1：S正方形ACFD-S四邊形abfe-，△BAE+S，即b2—3c2+^(b+a)(b—a)，整理△BFE 2 2得2b2—c2+b2—a2,.\a2+b2-c2；方法2：此圖也可以看成及△BEA繞其直角頂點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向下平移得至”.,S四邊形ABCD—S△ABC+S△ACD，S四邊形ABCD—S