七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義第22講一元一次不等式組與方程組的結(jié)合

七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義第22講一元一次不等式（組）與方程（組）的結(jié)合教學(xué)目的.進(jìn)一步熟悉二元一次方程組的解法，以及一元二次不等式組的解法..綜合運(yùn)用一元一次不等式組和二元一次方程組解決一些典型的實(shí)際問(wèn)題.典題精析【例1】求方程3x+27=17的正整數(shù)解.【解法指導(dǎo)】一般地，一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，但它的特殊解是有限個(gè)，如一個(gè)二元一次方程的正整數(shù)解，非負(fù)整數(shù)解都是有限個(gè).求不定方程的正（非負(fù)）整數(shù)解時(shí)，往往借助不等式，整數(shù)的奇偶性等相關(guān)知識(shí)來(lái)幫助求解.一?, 17—3x 17—3x解：將萬(wàn)程變形為2y=17—3x 即y=--- Vy>0 ，--->017 ,2 17—3xAx<—即x<5- 又???y為正整數(shù)（即一-一為整數(shù)）.?.17—3x為偶數(shù)Ax必為奇數(shù).，.x=1,3,517—3x17—3x1當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)x=3時(shí)，當(dāng)x=5時(shí)，217—3x17—3x3y=—217—3x17—3x5y=—2x=1故原方程的正整數(shù)解為〔y=7,x=3、y=4,x=5

、yT變式練習(xí)01.求下列各方程的正整數(shù)解:⑴2x+yx=1故原方程的正整數(shù)解為〔y=7,x=3、y=4,x=5

、yT變式練習(xí)01.求下列各方程的正整數(shù)解:⑴2x+y=10(2)3x+4y=2102.有10個(gè)蘋(píng)果，要分給兩個(gè)女孩和一個(gè)男孩，要求蘋(píng)果不得切開(kāi)，且兩個(gè)女孩所得的蘋(píng)果數(shù)相等，每個(gè)孩子都有蘋(píng)果吃，問(wèn)有哪幾種分法？【例2】足球聯(lián)賽得分規(guī)定如下：勝1場(chǎng)得3分，平1場(chǎng)得1分，負(fù)1場(chǎng)得0分?某隊(duì)在足球聯(lián)賽的4場(chǎng)比賽中得6分，這個(gè)隊(duì)勝了幾場(chǎng)，平了幾場(chǎng)，負(fù)了幾場(chǎng)？【解法指導(dǎo)】本題中，所有的等量關(guān)系只有兩個(gè)，而未知量有三個(gè)?因而所列方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，即為不定方程組，但每個(gè)未知數(shù)量的數(shù)目必為非負(fù)整數(shù)?因此，此題的實(shí)質(zhì)就是激不定方程的非負(fù)整數(shù)解的問(wèn)題.此方程組有兩個(gè)方和，三個(gè)未知數(shù)，解法仍然是消元，即消去某一個(gè)未知數(shù)后，變?yōu)槎淮畏匠?，再仿照?的解法施行.解：設(shè)該隊(duì)勝了x場(chǎng)，平了y場(chǎng)，負(fù)了z場(chǎng)，依題意可得:x+y=43x+y=6②一①得：2x—z=2 ③:0<z<2 A0<2x—2<2 即1<x<2又x為正整數(shù)變形得：z=2x—2Ax=1,2相應(yīng)地，y=3,0z=0,2答：這個(gè)隊(duì)勝了1場(chǎng)，平了3場(chǎng)，或勝了2,負(fù)了2場(chǎng).七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義變式練習(xí)01.（佳木斯）為了獎(jiǎng)勵(lì)進(jìn)步較大的學(xué)生，某班決定購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種鋼筆作為獎(jiǎng)品，其單價(jià)分別為4元、5元、6元，購(gòu)買(mǎi)這些鋼筆需要花60元；經(jīng)過(guò)協(xié)商，每種鋼筆單價(jià)下降1元，結(jié)果只花了48元，那么可能購(gòu)買(mǎi)甲種筆（ ）.A.11支B.9支 C.7支 D.5支02.一旅游團(tuán)50人到一旅舍住宿，旅舍的客戶有三人間、二人間、單人間三種?其中三人間的客房每人每晚20元，二人間的客房每人每晚30元，單人間的客房每人每晚50元.⑴若旅游團(tuán)共住滿了20間客房，問(wèn)三種客房各住了幾間？怎樣住消費(fèi)最低？（2）若該旅游團(tuán)中，夫妻住二人間，單身住三人間，小孩隨父母住在一起，現(xiàn)已知有小孩4人（每對(duì)夫妻最多只帶1個(gè)小孩），單身30人，其中男性17人，有兩名單身心臟病患者要求住單人間，問(wèn)這一行人共需多少間客房？【例3】已知：關(guān)于x、y的方程組］；二產(chǎn)?3若x>y,求a的取值范圍.［2x+y=5a【解法指導(dǎo)】解本題的指導(dǎo)思想就是構(gòu)建以a為未知數(shù)的不等式?解之即得a的取值范圍，構(gòu)建不等式的依據(jù)就是x>y,而解方程組即可用a的代數(shù)式分別表示x和y,進(jìn)而可得不等式..?.?、x—y=a+3 /口fx=2a+1解：解方程組［2x+y=5a得｛y=a-2Vx>y ???2a+1>a—2 解得a>一3故a的取值范圍是a>—3.變式練習(xí)01.已知：關(guān)于x的方程3x—（2a—3）=5x+（3a+6）的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是 .02.已知：關(guān)于x、y的方程組］x—15+3的解為非負(fù)數(shù).⑴求a的取值范圍；（2）化簡(jiǎn)I4a+5|—|a—4I.x6m-1 5m一103.當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程2-——=x-——的解大于1?6 3 24.已知方程組2x+y=5m+6<一一x—4.已知方程組2x+y=5m+6<一一x—2y=-17的解x、y都是正數(shù)，且x的值小于y的值，求m的取值范圍.【例4】若不等式《x—a>2b—2x>0的解集是一1<x<1,求（a+b）200的值.【解法指導(dǎo)】解此不等式組得a+2<x<b，而依題意，該不等式的解集又是一1<x<1,而解集是唯一的，因此兩解集的邊界點(diǎn)分別“吻合”，從而得兩等式即得方程組，解之可得a、b之值.七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義解：解不等式組x—a>2a-解：解不等式組x—a>2a-2x>0,b得a+2<x<—又???此不等式組的解集是一1<x<1a+2=-1<b、2=1a解設(shè)Ia=-3ab=2a??.(a+b)2009=(-1)2009=-1變式練習(xí)01.若1，2a+x>a2-01.若1，2a+x>a2-3x>a的解集為一1<x<2,則a=02.已知：關(guān)于x的不等式組［x-吟的解集為3<x<5,2x-a<2b+11A.—2 B.—— C.—42/*>三+103.若關(guān)于x的不等式組］3 2 的解集為x<2,、x+a>0bb=.b則一的值為( )a1則a的取值范圍是04.已知：不等式組|x+2>a+bx-1<a-b的解麻為一1<x<2,求(a+b)2。08的值.【例5】商場(chǎng)正在銷售“福娃”玩具和徽章兩種奧運(yùn)商品，已知購(gòu)買(mǎi)1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元;購(gòu)買(mǎi)2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元?⑴一盒“福娃”玩具和一盒徽章的價(jià)格各是多少元？(2)某公司準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)這兩種奧運(yùn)商品共20盒送給幼兒園(要求每種商品都要購(gòu)買(mǎi))，且購(gòu)買(mǎi)金額不能超過(guò)450元，請(qǐng)你幫該公司設(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案?【解法指導(dǎo)】本題屬材料選擇類的方程與不等式結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用題，但方程組與不等式組是分開(kāi)的?分析可知：第(1)問(wèn)只需依照題目主干所提供的兩個(gè)等量關(guān)系即可列出二元一次方程組?第(2)問(wèn)由題目所給不等關(guān)系“購(gòu)買(mǎi)金額不能超過(guò)450元”及第(1)問(wèn)所求出的數(shù)據(jù)列出不等式，從而求解?解：(1)設(shè)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的價(jià)格分別為x元和y元.依題意，得］2++道80解得居25答：一盒“福娃”玩具和一盒徽章的價(jià)格分別是125元和10元.(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)“福娃”玩具m盒，則購(gòu)買(mǎi)徽章(20-m)盒.由題意，得125m+10(20-m)<450,解得m<2.17.所以m可以取1,2.答：該公司有兩種購(gòu)買(mǎi)方案.方案一：購(gòu)買(mǎi)“福娃”玩具1盒，徽章19盒；方案二：購(gòu)買(mǎi)“福娃”玩具2盒，徽章18盆.變式練習(xí)01.開(kāi)學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品，小芳用18元錢(qián)買(mǎi)了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用31元買(mǎi)了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.⑴求每支鋼筆和每本筆記本的價(jià)格；(2)校運(yùn)會(huì)后，班主任拿出200元學(xué)校獎(jiǎng)勵(lì)基金交給班長(zhǎng)，購(gòu)買(mǎi)上述價(jià)格的鋼筆和筆記本共48件作為獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)給校運(yùn)會(huì)中表現(xiàn)突出的同學(xué)，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有多少種購(gòu)買(mǎi)方案？請(qǐng)你一一寫(xiě)出.七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義02.漁場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種魚(yú)苗共6000尾，甲種魚(yú)苗每尾0.5元，乙種魚(yú)苗每尾0.8元.相關(guān)資料表明：甲、乙兩種魚(yú)苗的成活率分別為90%和95%.⑴若購(gòu)買(mǎi)這批魚(yú)苗共用了2600元，求甲、乙兩種魚(yú)苗各購(gòu)買(mǎi)了多少尾？⑵若購(gòu)買(mǎi)這批魚(yú)苗的錢(qián)不超過(guò)4200元，應(yīng)如何選購(gòu)魚(yú)苗？⑶若要使這批魚(yú)苗的成活率不低于93%,且購(gòu)買(mǎi)魚(yú)苗的總費(fèi)用最低，應(yīng)如何選購(gòu)魚(yú)苗？03.整頓藥品市場(chǎng)，降低藥品價(jià)格是國(guó)家的惠民政策之一.根據(jù)國(guó)家的《藥品政府定價(jià)辦法》，某省有關(guān)部門(mén)規(guī)定：市場(chǎng)流通藥品的零售價(jià)格不得超過(guò)進(jìn)價(jià)的15%根據(jù)相關(guān)信息解決下列問(wèn)題：⑴降價(jià)前，甲乙兩種藥品每盒的出廠價(jià)格之和為6.6元.經(jīng)過(guò)若干中間環(huán)節(jié)，甲種藥品每盒的零售價(jià)格比出廠價(jià)格的5倍少2.2元，乙種藥品每盒的零售價(jià)格是出廠價(jià)格的6倍，兩種藥品每盒的零售價(jià)格之和為33.8元.那么降價(jià)前甲、乙兩種藥品每盒的零售價(jià)格分別是多少元？⑵降價(jià)后，某藥品經(jīng)銷商將上述的甲、乙兩種藥品分別以每盒8元和5元的價(jià)格銷售給醫(yī)院，醫(yī)院根據(jù)實(shí)際情況決定：對(duì)甲種藥品每盒加價(jià)15%對(duì)、乙種藥品每盒加價(jià)10%后零售給患者.實(shí)際進(jìn)藥時(shí)，這兩種藥品均以每10盒為1箱進(jìn)行包裝.近期該醫(yī)院準(zhǔn)備從經(jīng)銷商處購(gòu)進(jìn)甲乙兩種藥品共100箱，其中乙種藥品不少于40箱，銷售這批藥品的總利潤(rùn)不低于900元.請(qǐng)問(wèn)購(gòu)進(jìn)時(shí)有哪幾種搭配方案？【例6】認(rèn)真閱讀下面三個(gè)人的對(duì)話.小朋友：阿姨，我買(mǎi)一盒餅干和一袋牛奶（遞上10元錢(qián)入）.售貨員：本來(lái)你用10元錢(qián)買(mǎi)一盒餅干是多余的，但再買(mǎi)一袋牛奶就不夠了.不過(guò)今天是兒童節(jié)，我給你買(mǎi)的餅干打九折，兩樣?xùn)|西請(qǐng)拿好，還有找你的8角錢(qián).旁邊者：一盒餅干的標(biāo)價(jià)可是整數(shù)哦！根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標(biāo)價(jià)各是多少？【解法指導(dǎo)】本題的條件蘊(yùn)藏在對(duì)話中，應(yīng)學(xué)會(huì)從對(duì)話中獲取信息，“用10元錢(qián)買(mǎi)一盒餅干是多余的”，說(shuō)明一盒餅干的售價(jià)小于10元，此不等關(guān)系之一；“但再買(mǎi)一袋牛奶就不夠了"，說(shuō)明一盒餅干和一袋牛奶的價(jià)格之和大于10元，此不等關(guān)系之二.對(duì)話中還包含有一個(gè)等量關(guān)系，就是用10元錢(qián)買(mǎi)上述兩樣?xùn)|西剩余0.8元錢(qián)，即是說(shuō)一袋牛奶與一盒餅干的價(jià)格之和等于10元減去0.8元，由一個(gè)方程和兩個(gè)不等式結(jié)合最終可求出答案.解：設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)為每盒x元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋八元.根據(jù)題意，得x+y>10 ①<0.9x+y=10—0.8②、x<10 ③由②，得y=9.2—9x將其代入①，得x+9.2—9x>10,解得：x>8.所以綜合③可知8Vx<10.又因?yàn)閤為整數(shù)，所以x=9,y=9.2—9x=1.1即餅干的標(biāo)價(jià)為每盒9元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋1.1元.變式練習(xí)01.某次足球聯(lián)賽A組共6隊(duì)，比賽規(guī)定采取小組循環(huán)賽的形式，取前3名進(jìn)人決賽，記分方法為勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)扣1分，平1場(chǎng)不得分，問(wèn)該小組共需比賽幾場(chǎng)？某隊(duì)得了7分，則它是幾勝幾負(fù)？能否進(jìn)人決賽？02.宏志高中高一年級(jí)近幾年來(lái)招生人數(shù)逐年增加，去年達(dá)到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”學(xué)生，也有一般普通班學(xué)生.由于場(chǎng)地、師資等條件限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班學(xué)生可多招20%,“宏志班”學(xué)生可多招10%問(wèn)今年最少可招收“宏志班”學(xué)生多少名？

七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義03.把一些書(shū)分給幾個(gè)學(xué)生，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每個(gè)學(xué)生分5本，那么最后一個(gè)同學(xué)分不到3本，這些書(shū)有多少本？學(xué)生有多少人？【例7】已知：a、b、c是三個(gè)非負(fù)數(shù)，并且滿足3a+2b+c=5,2a+b—3c=1,設(shè)m=3a+b—7c,設(shè)x為m的最大值，y為m的最小值.求xy的值.【解法指導(dǎo)】要求某一代數(shù)式的最大（或最?。┲担李}意構(gòu)建一個(gè)不等式組：若swmst,則m的最小值為s,最大值為t.本題思路亦類此，首先利用前兩個(gè)等式，將c看作已知量，解關(guān)于a、b的二元一次方程組，得到用含c的式子表示a、b的形式，代入第三個(gè)等式，得到用含c的式子表示m的形式，同時(shí)依據(jù)a、b、c均為非負(fù)數(shù)，得到c的范圍，代入m與c的關(guān)系式，得m的范圍，因而x、y可求.解：由條件得：解得:3a+解：由條件得：解得:3a+2b=5—c2a+b=1+3ca=7c—3b=7-11c則m=3a+7—7c=3(7c—3)+(7—11c)—7c=3c—2[7c—3>0由a>0,b>0,c>0得上一11c>0、c>037 5解得，37 5解得，7文4五從而x=一71,, 5y=—1■故xy=77變式練習(xí)TOC\o"1-5"\h\z01.若a、b滿足3a+5Ib1=7,S=2a2—3Ib|,則US的取值范圍是 .02.已知：x、y、z是三個(gè)非負(fù)有理數(shù)，且滿足3x+2y+z=5,x+y—z=2,若S=3x+y—z,則S的取值范圍是 .鞏固提高一、填空題01.方程3x+y=10的解有個(gè)，其正整數(shù)解有個(gè).02.若關(guān)于x的不等式（a—1）<a+5和2x<4的解集相同，則a的值為 .03.已知：關(guān)于x的不等式2x—a>—3的解集如圖所示，則a=—04.已知方程組［2；］；：若未知數(shù)x、y滿足尤x+y>0,則m的取值范圍是 TOC\o"1-5"\h\z05.若方程組,y—：［2k的解滿足無(wú)x<1且y>0,則整數(shù)k的個(gè)數(shù)是 .Ix1I06.若1——1=—1則x的取值范圍是 .x—1二、選擇題07.已知：關(guān)于尤的不等式組］x］?><2b+1的解為gx<5,則a的值為（B.—2C.2 D.108.若Ix+1I=—1—x,I3x+4I=3x+4.則x取值范圍是( )C.―C.―4<x<—1A.—3<x<—1 B.x>—109.已知：m、n是整數(shù)，3m+2=5n+3,且3m+2>30,5n+3<40,則mn的值是〈〕

七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義A.70B.72C.77D.84.某次測(cè)驗(yàn)共20道選擇題，答對(duì)一題記5分，答錯(cuò)一題記一2分，不答記0分，某同學(xué)得48分，那么他答對(duì)的題目最多是（ ）道.A.9B.10C.11D.12三、解答題.學(xué)校舉辦奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)共12名，獎(jiǎng)品發(fā)放方案如下表:2盒祠娃與1枚徽2盒祠娃與1枚徽章共315元一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)1盒福娃和1枚徽章1盒福娃1枚徽章用于購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的總費(fèi)用不少于1000元但不超過(guò)1100元，小明在購(gòu)買(mǎi)“福娃”和徽章前，了解到圖所示的信息:⑴求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？⑵若本次活動(dòng)設(shè)一等獎(jiǎng)2名，則二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)應(yīng)各設(shè)多少名？.某花農(nóng)培育甲種花木2株，乙種花木3株，共需成本1700元；培育甲種花木3株，乙種花木1株，共需成本1500元.⑴求甲、乙兩種花木每株成本分別為多少元；⑵據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，1株甲種花木的售價(jià)為760元，1株乙種花木的售價(jià)為540元.該花農(nóng)決定在成本不超過(guò)30000元的前提下培育甲乙兩種花木，若培育乙種花木的株數(shù)是甲種花木的3倍還多10株，那么要使總利潤(rùn)不少于21600元，花農(nóng)有哪幾種具體的培育方案？.一項(xiàng)維修工程，若由甲工程隊(duì)單獨(dú)做，則40天可以完成，需費(fèi)用24萬(wàn)元；若由乙工程隊(duì)單獨(dú)做，則60天可以完成，需費(fèi)用21萬(wàn)元?現(xiàn)打算由甲、乙兩工程隊(duì)共同完成，要使該項(xiàng)目的總費(fèi)用不超過(guò)22萬(wàn)元，則乙工程隊(duì)至少要施工多少天？.足球聯(lián)賽得分辦法是勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分?在一次足球賽中，南方足球隊(duì)參加了14場(chǎng)比賽，至少負(fù)了1場(chǎng)，共積分19分.試推算南方足球隊(duì)勝、平、負(fù)各多少場(chǎng)..某工廠用如圖甲所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋紙盒.豎式紙盒橫式紙點(diǎn)⑴現(xiàn)有正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板340張.若要做兩種紙盒共100個(gè)，設(shè)做豎式紙盒x化①根據(jù)題意，完成以下表格：盒紙板豎式紙盒（個(gè)）橫式紙盒（個(gè)）x正方形紙板（張）2(100—x)

七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義長(zhǎng)方形紙板（張）4x②按兩種紙盒的生產(chǎn)個(gè)數(shù)來(lái)分，有哪幾種生產(chǎn)方案？（2）若有正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板a張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完.已知290<a<306.則求a的值.（寫(xiě)出一個(gè)即可）培優(yōu)升級(jí)檢測(cè)01.若方程組［4：+；k+1的解滿足條件0<x+y<1,則k的取值范圍是（）A.-4<k<1 B.-4<k<0 C.0<k<9 D.k<—402.（浙江省競(jìng)賽題）要使方程組［3x+2y=2的解是一對(duì)異號(hào)的數(shù)，則a的取值范圍是（D.a<或a>D.a<或a>3A.3<k<3 B.a<3 C.a>3.. 一.c.03.已知a+b+c=0,a>b>c,則-的取值范圍是 .a04.正整數(shù)m、n滿足8m+9n=mn+6,則m的