第3章測量誤差及數(shù)據(jù)處理

會計學(xué)1第3章測量誤差及數(shù)據(jù)處理3.1.1測量誤差的分類（續(xù)）例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律?？赏ㄟ^數(shù)理統(tǒng)計的方法來處理,即求算術(shù)平均值隨機(jī)誤差定義：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差第1頁/共96頁3.1.1測量誤差的分類（續(xù)）2.系統(tǒng)誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復(fù)同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準(zhǔn)確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。即第2頁/共96頁3.1.1測量誤差的分類（續(xù)）3.粗大誤差：

粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實驗等。②測量方法不當(dāng)或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓。③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應(yīng)剔除掉。

第3頁/共96頁3.1.1測量誤差的分類（續(xù)）4.系差和隨差的表達(dá)式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和。在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化。第4頁/共96頁3.1.2測量結(jié)果的表征

準(zhǔn)確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。精密度表示隨機(jī)誤差的影響。精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響。精確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。射擊誤差示意圖第5頁/共96頁3.1.2測量結(jié)果的表征（續(xù)）測量值

是粗大誤差第6頁/共96頁3.2測量誤差的估計和處理3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法在測量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量，測量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響。第7頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）（1）隨機(jī)變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：

X為連續(xù)型隨機(jī)變量：

1.隨機(jī)誤差的分布規(guī)律第8頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

②方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差方差是用來描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。第9頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨立的隨機(jī)變量的和，其中每一個隨機(jī)變量對于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？(2)測量誤差的正態(tài)分布第10頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝第11頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布時概率密度曲線

隨機(jī)誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差。隨機(jī)誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性

第12頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）標(biāo)準(zhǔn)偏差意義標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。第13頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（3）測量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當(dāng)只能估計誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。

概率密度:均值:當(dāng)時,標(biāo)準(zhǔn)偏差:

當(dāng)

時，第14頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

2.

有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進(jìn)行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當(dāng)則令n個可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計為1,當(dāng)時，則（1）有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計值——算術(shù)平均值被測量X的數(shù)學(xué)期望，就是當(dāng)測量次數(shù)時，各次測量值的算術(shù)平均值第15頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計值，并作為最后的測量結(jié)果。即：

算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無偏估計值、一致估計值和最大似然估計值。有限次測量值的算術(shù)平均值比測量值更接近真值？

第16頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（2）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

故：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機(jī)誤差的抵償性。*第17頁/共96頁算術(shù)平均值：3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值

殘差：實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值：第18頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

【例3.1】用溫度計重復(fù)測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差第19頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)3.

測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積第20頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（2）正態(tài)分布的置信概率

當(dāng)分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當(dāng)k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大第21頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（3）t分布的置信限

t分布與測量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當(dāng)n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-1第22頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）第23頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（4）非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:第24頁/共96頁3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）第25頁/共96頁3.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測量求平均不能減少系差。

第26頁/共96頁3.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準(zhǔn)、修正和實驗比對。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差第27頁/共96頁3.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）②馬利科夫判據(jù)：若有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當(dāng)n為偶數(shù)時，

當(dāng)n為奇數(shù)時，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗周期性系差的存在。第28頁/共96頁3.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②

測量儀器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正值＝－誤差=－（測量值－真值） 實際值＝測量值＋修正值第29頁/共96頁3.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

（3）采用一些專門的測量方法

①替代法②交換法③對稱測量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法系統(tǒng)誤差可忽略不計的準(zhǔn)則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。第30頁/共96頁3.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對應(yīng)的測量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。第31頁/共96頁3.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

2.

粗大誤差的判別準(zhǔn)則

統(tǒng)計學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗法格拉布斯檢驗法式中，G值按重復(fù)測量次數(shù)n及置信概率Pc確定第32頁/共96頁3.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

應(yīng)注意的問題①

所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時檢驗不一定可靠。②

若有多個可疑數(shù)據(jù)同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數(shù)據(jù)超出范圍時，應(yīng)逐個剔除。③在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。第33頁/共96頁3.2.4測量結(jié)果的處理步驟

①對測量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗證④按貝塞爾公式計算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值⑤按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差；⑧寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即（單位）。第34頁/共96頁3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）【例3．4】對某電壓進(jìn)行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。第35頁/共96頁3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）第36頁/共96頁3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）第37頁/共96頁3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）

等精度測量與不等精度測量

等精度測量：即在相同地點、相同的測量方法和相同測量設(shè)備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時間內(nèi)進(jìn)行的重復(fù)測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進(jìn)行的測量，測量結(jié)果的精密度將不相同。不等精度測量處理方法：權(quán)值與標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方成反比。權(quán)值

測量結(jié)果為加權(quán)平均值

第38頁/共96頁3.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）第39頁/共96頁3.2.5誤差的合成分析問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？第40頁/共96頁3.2.5誤差的合成分析（續(xù)）第41頁/共96頁3.2.5誤差的合成分析（續(xù)）在實際應(yīng)用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負(fù)，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設(shè)計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進(jìn)行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。但是，更嚴(yán)格和更準(zhǔn)確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定，有關(guān)內(nèi)容在本書第3章中討論第42頁/共96頁3.3測量不確定度

3.3.1不確定度的概念不確定度是說明測量結(jié)果可能的分散程度的參數(shù)?？捎脴?biāo)準(zhǔn)偏差表示，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。1.術(shù)語（1）標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用概率分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度

①A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用統(tǒng)計方法得到的不確定度。②B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用非統(tǒng)計方法得到的不確定度第43頁/共96頁3.3.1不確定度的概念（續(xù)）

（2）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度*由各不確定度分量合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。*因為測量結(jié)果是受若干因素聯(lián)合影響。（3）擴(kuò)展不確定度*合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到一個區(qū)間半寬度。

*包含因子的取值決定了擴(kuò)展不確定度的置信水平。*通常測量結(jié)果的不確定度都用擴(kuò)展不確定度表示

第44頁/共96頁3.3.1不確定度的概念（續(xù)）

2.不確定度的分類

第45頁/共96頁3.3.1不確定度的概念（續(xù)）

3.不確定度的來源①被測量定義的不完善，實現(xiàn)被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代表所定義的被測量。②測量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。③測量環(huán)境的不完善對測量過程的影響以及測量人員技術(shù)水平等影響。④計量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。⑤在相同條件下，由隨機(jī)因素所引起的被測量本身的不穩(wěn)定性。第46頁/共96頁3.3.2誤差與不確定度的區(qū)別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準(zhǔn)確得到，是一個定性的概念表示測量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)試驗、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認(rèn)識程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過程的認(rèn)識有關(guān)。隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差A(yù)類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系。須進(jìn)行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度在最后測量結(jié)果中應(yīng)修正確定的系統(tǒng)誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應(yīng)考慮修正不完善引入的不確定度分量?！罢`差傳播定律”可用于間接測量時對誤差進(jìn)行定性分析。不確定度傳播律更科學(xué)，用于定量評定測量結(jié)果的合成不確定度第47頁/共96頁1.標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定方法

在同一條件下對被測量X進(jìn)行n次測量，測量值為xi(i=1,2,…,n)，(A)計算樣本算術(shù)平均值，作為被測量X的估計值，并把它作為測量結(jié)果。

(B)計算實驗偏差式中自由度v=n－1.(C)A類不確定度3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）

自由度意義：自由度數(shù)值越大，說明測量不確定度越可信。第48頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）

2.標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評定方法B類方法評定的主要信息來源是以前測量的數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠的技術(shù)證明書、儀器的鑒定證書或校準(zhǔn)證書等。確定測量值的誤差區(qū)間（α,-α），并假設(shè)被測量的值的概率分布，由要求的置信水平估計包含因子k，則B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度uB為

其中

a

——區(qū)間的半寬度；k——置信因子，通常在2～3之間。第49頁/共96頁分布三角梯形均勻反正弦

k(p=1)概率P%5068.27909595.459999.73置信因子0.67611.6451.96022.57633.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）表3－9正態(tài)分布時概率與置信因子的關(guān)系表3－10幾種非正態(tài)分布的置信因子k

第50頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）第51頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）

3.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算方法（1）

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念兩個隨機(jī)變量X和Y，其中一個量的變化導(dǎo)致另一個量的變化，那么這兩個量是相關(guān)的。獨立肯定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定獨立。①協(xié)方差的概念協(xié)方差協(xié)方差的估計值

第52頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）②相關(guān)系數(shù)Q概念:表示兩隨機(jī)變量相關(guān)程度－1≤Q≤1。相關(guān)系數(shù)的估計值r(x，y)

正相關(guān)負(fù)相關(guān)完全正相關(guān)完全負(fù)相關(guān)不相關(guān)0<Q<1－1<Q<0Q=1Q=－1Q=0第53頁/共96頁（2）輸入量不相關(guān)時不確定度的合成①可寫出函數(shù)關(guān)系式Y(jié)＝ｆ（X1，X2，……，XN）；式中稱為靈敏系數(shù)②不能寫出函數(shù)關(guān)系式(3)輸入量相關(guān)時,使用不確定度傳播律

3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）第54頁/共96頁（4）不確定度傳播律公式的幾種簡化方法①

所有的輸入量都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)ｒ(ｘｉ,ｘｊ)＝1時，則UC(y)為

②當(dāng)被測量的函數(shù)形式為Y＝A1X1＋A2X2＋…＋ANXN，且X1,X2,…,XN不相關(guān)時，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度UC(y)為

3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）第55頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）③

當(dāng)被測量的函數(shù)形式為且X1,X2,…,XN不相關(guān)時，相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度UC(y)/Y為例:電功率P=IV則第56頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）第57頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）（5）不確定度分量的忽略一切不確定度分量均貢獻(xiàn)于合成不確定度，即只會使合成不確定度增加。忽略任何一個分量，都會導(dǎo)致合成不確定度變小。但由于采用的是方差相加得到合成方差，當(dāng)某些分量小到一定程度后，對合成不確定度實際上起不到什么作用，為簡化分析與計算，則可以忽略不計。例如，忽略某些分量后，對合成不確定度的影響不足十分之一，就可根據(jù)情況忽略這些分量。第58頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）

4.擴(kuò)展不確定度的確定方法擴(kuò)展不確定度U由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度ｕC與包含因子ｋ的乘積得到U＝k·uC

測量結(jié)果表示為Y＝ｙ±U

，即Y=y±kuc

y是被測量Y的最佳估計值

,k由置信概率（常取0.95或0.99）和概率分布（正態(tài)、均勻、t分布等）確定。算術(shù)平均值第59頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）

包含因子k的選取方法有:(A)無法得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度，且測量值接近正態(tài)分布時，則一般?。氲牡湫椭禐?或3。(B)根據(jù)測量值的分布規(guī)律和所要求的置信水平，選取ｋ值。例如，假設(shè)為均勻分布時，置信水平P＝0．95，查表得k＝1．65。P﹪k57.741951.65991.711001.73表3—11均勻分布時置信概率與置信因子k的關(guān)系第60頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）(C)根據(jù)要求的置信概率Pc和計算得到的自由度veff，查t分布的t值，得k

。自由度的計算步驟如下：

a)求A類不確定度分量的自由度

b)求B類不確定度分量的自由度

c)求合成不確定度的自由度第61頁/共96頁3.3.3不確定度的評定方法（續(xù)）第62頁/共96頁3.3.4測量不確定度的評定步驟

對測量設(shè)備進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定后，要出具校準(zhǔn)或檢定證書；對某個被測量進(jìn)行測量后也要報告測量結(jié)果，并說明測量不確定度。①明確被測量的定義和數(shù)學(xué)模型及測量條件，明確測量原理、方法，以及測量標(biāo)準(zhǔn)、測量設(shè)備等；②分析不確定度來源；③分別采用A類和B類評定方法，評定各不確定度分量。A類評定時要剔除異常數(shù)據(jù)；④計算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度；⑤計算擴(kuò)展不確定度；⑥報告測量結(jié)果。Y=y±kuc第63頁/共96頁3.3.4測量不確定度的評定步驟（續(xù)）【例3．9】用電壓表直接測量一個標(biāo)稱值為200Ω的電阻兩端的電壓，以便確定該電阻承受的功率。測量所用的電壓的技術(shù)指標(biāo)由使用說明書得知，其最大允許誤差為±1％，經(jīng)計量鑒定合格，證書指出它的自由度為10。(當(dāng)證書上沒有有關(guān)自由度的信息時，就認(rèn)為自由度是無窮大。)標(biāo)稱值為200Ω的電阻經(jīng)校準(zhǔn)，校準(zhǔn)證書給出其校準(zhǔn)值為199.99Ω，校準(zhǔn)值的擴(kuò)展不確定度為0.02Ω（包含因子k為2）。用電壓表對該電阻在同一條件下重復(fù)測量5次，測量值分別為：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。測量時溫度變化對測量結(jié)果的影響可忽略不計。求功率的測量結(jié)果及其擴(kuò)展不確定度。電壓的B類不確定度電阻的B類不確定度電壓的A類不確定度第64頁/共96頁解：（1）數(shù)學(xué)模型

（2）計算測量結(jié)果的最佳估計值①②3.3.4測量不確定度的評定步驟（例3.9續(xù)）（3）測量不確定度的分析本例的測量不確定度主要來源為①電壓表不準(zhǔn)確；②電阻不準(zhǔn)確；③由于各種隨機(jī)因素影響所致電壓測量的重復(fù)性。第65頁/共96頁3.3.4測量不確定度的評定步驟（例3.9續(xù)）·（4）標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的評定①電壓測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度電壓表不準(zhǔn)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u1-（V）按B類評定。a1=2.32V×1%=0.023V(b)電壓測量重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u2-（V）。按A類評定。第66頁/共96頁3.3.4測量不確定度的評定步驟（例3.9續(xù)）(c)由此可得:電壓的自由度如下：②電阻不準(zhǔn)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u（R）由電阻的校準(zhǔn)證書得知，其校準(zhǔn)值的擴(kuò)展不確定度U＝0.02Ω，且k=2，則u（R）可由B類評定得到第67頁/共96頁3.3.4測量不確定度的評定步驟（例3.9續(xù)）（5）計算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC(P)

，其中輸入量V（電壓）和R（電阻）不相關(guān)①計算靈敏系數(shù)c1和c2，得②計算UC(P)，得第68頁/共96頁3.3.4測量不確定度的評定步驟（例3.9續(xù)）（6）確定擴(kuò)展不確定度U計算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度veff：電壓的自由度＝4.3，電阻的自由度可設(shè)為，則③根據(jù)P＝0.95，veff＝5，查t分布，得④擴(kuò)展不確定度U0.95為（7）報告最終測量結(jié)果功率P＝（0.027±0.004）W（置信水平P＝0.95）包含因子k為2.57，有效自由度為5。第69頁/共96頁1.合成不確定度的分配在進(jìn)行測量工作前，根據(jù)測量準(zhǔn)確度的要求來選擇測量方案，確定每項不確定度的允許范圍（1）按等作用原則分配不確定度：各個不確定度分量對合成不確定度的影響相等。假設(shè)確定度互不相關(guān)，各個不確定度分量相等，有：則：（2）因為有的測量值則難以滿足要求，各分量靈敏系數(shù)也不同，必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整。對難以實現(xiàn)的不確定項進(jìn)行補(bǔ)償；3.3.5合成不確定分配及最佳測量方案的選擇

第70頁/共96頁3.3.5合成不確定分配及最佳測量方案的選擇（續(xù)）2.最佳測量方案的選擇選擇目的：使測量結(jié)果的不確定度為最小。（1）選擇最有利的函數(shù)公式應(yīng)先取包含測量值數(shù)目最少的函數(shù)公式來表示；則應(yīng)選取不確定度較小的測量值的函數(shù)公式．如測量內(nèi)尺寸的誤差比測量外尺寸的誤差大，應(yīng)選擇含有外尺寸的函數(shù)公式。（2）使各個測量值對函數(shù)的傳遞系數(shù)為零或最小

由函數(shù)公式可知，若使不確定度傳遞系數(shù)ci＝0或為最?。畡t合成不確定度可相應(yīng)減小。第71頁/共96頁3.4測量數(shù)據(jù)處理

3.4.1有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則由于測量數(shù)據(jù)和測量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測量結(jié)果的表示準(zhǔn)確唯一，計算簡便，在數(shù)據(jù)處理時，需對測量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進(jìn)1——在末位增1。（3）等于5時，取偶數(shù)——當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。第72頁/共96頁3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）

例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。第73頁/共96頁3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）2.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個單位，則該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103

二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00005

第74頁/共96頁3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。測量數(shù)據(jù)的絕對值比較大（或比較?。?，而有效數(shù)字又比較少的測量數(shù)據(jù)，應(yīng)采用科學(xué)計數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測量的不確定度來確定，即測量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對齊。例如，某物理量的測量結(jié)果的值為63.44，且該量的測量不確定度u＝0.4，測量結(jié)果表示為63.4±0.4。第75頁/共96頁3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）3.近似運算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項。（1）加法運算 以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（各項無小數(shù)點則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運算：當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時，原則同加法運算；當(dāng)兩數(shù)很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數(shù)字。

第76頁/共96頁3.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）（3）乘除法運算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其余參與運算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（4）乘方、開方運算：運算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104第77頁/共96頁3.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測試的目的和內(nèi)容，設(shè)計出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對數(shù)據(jù)變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗公式法的基礎(chǔ)。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.1第78頁/共96頁3.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法2.圖示法圖示法的最大優(yōu)點是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時采用直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x，y）描點，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點接近，不強(qiáng)求通過各點，要使位于曲線兩邊的點數(shù)盡量相等。第79頁/共96頁3.經(jīng)驗公式法經(jīng)驗公式法就是通過對實驗數(shù)據(jù)的計算，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各變量之間關(guān)系。有時又把這種經(jīng)驗公式稱為數(shù)學(xué)模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。3.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法（續(xù)）一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數(shù)11>1>1方次1>11>1y=a+bx

第80頁/共96頁3.4.3建立經(jīng)驗公式的步驟已知測量數(shù)據(jù)列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：（1)將輸入自變量xi,作為橫坐標(biāo)，輸出量yi即測量值作為縱坐標(biāo)，描繪在坐標(biāo)紙上，并把數(shù)據(jù)點描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。③如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項式回歸處理。即：

（3）由測量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。第81頁/共96頁3.4.3建立經(jīng)驗公式的步驟（續(xù)）(4)檢驗所確定的方程的準(zhǔn)確性。①用測量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計算出函數(shù)值y′②計算擬合殘差③計算擬合曲線的標(biāo)準(zhǔn)偏差

式中：m為擬合曲線未知數(shù)個數(shù)，n為測量數(shù)據(jù)列長度。如果標(biāo)準(zhǔn)偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯誤，應(yīng)建立另外形式公式重做。第82頁/共96頁3.4.4一元線性回歸

用一個直線方程y=a+bx來表達(dá)測量數(shù)據(jù)(xi,yii=1,2,…,n)之間的相互關(guān)系，即求出a和b，此過程就是一元線性回歸。1.端點法此方法是將測量數(shù)據(jù)中兩個端點，起點和終點（即最大量程點）的測量值（x1,y1）和（xn,yn），代入y=a+bx，則a,b分別為第83頁/共96頁3.4.4一元線性回歸（續(xù)）2.平均選點法此方法是將全部n個測量值(xi,yii=1,2,…,n)分成數(shù)目大致相同的兩組，前半部k個測量點為一組，其余的n-k個測量點為另一組，兩組測量點都有自己的“點系中心”，其坐標(biāo)分別為

通過兩個“點系中心”的直線即是擬合直線y=a+bx，其中a，b分別為：第84頁/共96頁3.4.4一元線性回歸（續(xù)）3.最小二乘法最小二乘法的基本原理是在殘差平方和為最小的條件下求出最佳直線。測量數(shù)據(jù)中的任何一個數(shù)據(jù)yi與擬合直線上y=a+bx對應(yīng)的理想值yi‘之殘差(i=1,2,…n為測量點數(shù)） 即求a和b的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)榱悖纯山獾胊和b的值。第85頁/共96頁3.4.4一元線性回歸（續(xù)）【例3.10】對量程為10Mpa的壓力傳感器，用活塞式壓力計進(jìn)行測試，輸出由數(shù)字電壓表讀數(shù)，所得各測量點的輸出值列于下表中。試用端點法、平均選點法和最小二乘法擬合線性方程，并計算各種擬合方程的擬合精度。壓力（MPa）246810輸出（mV）10.04320.09330.13540.12850.072第86頁/共96頁3.4.4一元線性回歸（續(xù)）壓力MPa輸出mV端點法平均選點法最小二乘法理想直線殘差理想直線殘差理想直線殘差210.04310.044－0.00110.95－0.05210.080－0.0337420.09320.0520.04120.097－0.00420.0900.003630.13530.0600.09330.099