2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（藝考）第09講 第十章 計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布（基礎(chǔ)拿分卷）（解析版）

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)僅供參考侵權(quán)刪除第09講第十章計(jì)數(shù)原理，概率，隨機(jī)變量及其分布（基礎(chǔ)拿分卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（2022·浙江·青田縣船寮綜合高級(jí)中學(xué)高三期中）《西游記》《紅樓夢(mèng)》《水滸傳》《三國(guó)演義》是我國(guó)著名的四大古典小說(shuō)，若從這四本小說(shuō)中任取2本，則“取到《三國(guó)演義》”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】從這四本小說(shuō)中任取2本，共有種情況，其中取到《三國(guó)演義》，再?gòu)氖Ｓ?本中選擇1本，共有種，故概率為，故選：A.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)是，（）由題意，，因此，的系數(shù)是.故選：B.3．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）已知隨機(jī)事件，，中，與互斥，與對(duì)立，且，，則（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】C【詳解】因?yàn)椋录c對(duì)立，所以，又，與互斥，所以.故選：C.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正態(tài)分布的密度函數(shù)，，以下關(guān)于正態(tài)曲線的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．曲線與x軸之間的面積為1B．曲線在處達(dá)到峰值C．當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移D．當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“矮胖”【答案】D【詳解】因正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1，則A正確；因，有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即曲線在處達(dá)到峰值，B正確；當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移，C正確；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，峰值越高，正態(tài)曲線越“瘦高”，D錯(cuò)誤.故選：D5．（2022·湖北武漢·高二期末）在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A，B滿足，，則（

）A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B不一定互斥C．事件A，B一定互相獨(dú)立 D．事件A，B一定不互相獨(dú)立【答案】B【詳解】設(shè)為“拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為1,2”，為“拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為”，則，，但此時(shí)，不互斥，也不獨(dú)立，故AC錯(cuò)誤.若，則，此時(shí)，相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤，故選：B.6．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）已知，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋杂山M合數(shù)的性質(zhì)得，所以，令，得，即.令，得，所以，故選：D.7．（2022·陜西渭南·高一期末）素?cái)?shù)分布是數(shù)論研究的核心領(lǐng)域之一，含有眾多著名的猜想.19世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家波利尼亞克提出了“廣義孿生素?cái)?shù)猜想”：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)，其中當(dāng)時(shí)，稱（）為“孿生素?cái)?shù)”，時(shí)，稱（）為“表兄弟素?cái)?shù)”.在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，任選兩個(gè)不同的素?cái)?shù)p，q（），令事件{（）為孿生素?cái)?shù)}，{（）為表兄弟素?cái)?shù)}，{}，記事件A、B、C發(fā)生的概率分別為、、，則下列關(guān)系式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：不超過(guò)20的素?cái)?shù)有、、、、、、、，共8個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)、()，有(種)選法，事件發(fā)生的樣本點(diǎn)為、、、共4個(gè)，事件發(fā)生的樣本點(diǎn)為、、共3個(gè)，事件發(fā)生的樣本點(diǎn)為、、、、、，共6個(gè)，∴，，故.故選：C.8．（2022·上海交大附中高二期末）已知甲?乙兩袋中分別裝有編號(hào)為的四個(gè)球.從甲、乙兩袋中各取出一個(gè)球，每個(gè)球被取出的可能性相同.事件：從甲袋中取出的球的編號(hào)是偶數(shù)；事件：從乙袋中取出的球的編號(hào)是奇數(shù)；事件：取出的兩個(gè)球的編號(hào)都是偶數(shù)或都是奇數(shù).給出下列命題：①事件與事件相互獨(dú)立；②事件與事件相互獨(dú)立；③事件與事件相互獨(dú)立.那么這三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【詳解】由題意：，，，因?yàn)槭录簭募状腥〕龅那虻木幪?hào)是偶數(shù)，乙袋中取出的球的編號(hào)是奇數(shù)，所以，因?yàn)槭录杭滓覂纱腥〕龅那虻木幪?hào)都是奇數(shù)，所以，因?yàn)槭录杭滓覂纱腥〕龅那虻木幪?hào)都是偶數(shù)，，則，，,所以相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，所以D正確.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地取3次，則下列事件的概率不為的是（

）A．顏色相同 B．顏色不全相同 C．顏色全不相同 D．無(wú)紅球【答案】ACD【詳解】根據(jù)題意，有放回的取3次，共有3×3×3=27種情況，即（黃，黃，黃），（黃，白，黃），（黃，黃，白），（黃，紅，黃），……，由古典概型計(jì)算：A選項(xiàng)，顏色相同的情況有3種，故概率為，不為；B選項(xiàng)，顏色不全相同與顏色相同是對(duì)立事件，故其概率為；C選項(xiàng)，顏色全不相同，即黃，紅，白各有一次，共有6種情況，故概率為，不為；D選項(xiàng)，無(wú)紅球，即三次都是黃或白球，共有8種情況，故其概率為，不為.故選：ACD10．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）某城市的街道如圖，某人要從地前往地，則路程最短的走法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】BC【詳解】從A地前往B地，最短的路程是向右走4次，向下走3次，共走7次，要從7次中選擇3次向下走，剩下的向右走或選擇4次向右走，剩下的向下走，故最短的走法有或種.故選：BC11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一盒中有7個(gè)乒乓球．其中5個(gè)未使用過(guò)，2個(gè)已使用過(guò)，現(xiàn)從盒子中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后再裝回盒中．記盒中已使用過(guò)的球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．X的所有可能取值是 B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率為 D．X的數(shù)學(xué)期望是【答案】AC【詳解】記未使用過(guò)的乒乓球?yàn)锳，已使用過(guò)的為B，任取3個(gè)球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A；A使用后成為B，故X的所有可能取值是3，4，5；，，，所以X最有可能的取值是4；.故選：AC12．（2022·山東·鄒城市兗礦第一中學(xué)高二階段練習(xí)）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（

）A．與互斥 B． C．與相互獨(dú)立 D．【答案】BC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：事件與是可能同時(shí)發(fā)生的，故與不互斥，選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：事件發(fā)生與否對(duì)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，與相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：事件發(fā)生概率為，事件發(fā)生的概率，，選項(xiàng)D不正確.故選：BC三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）“趙爽弦圖”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化瑰寶，由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成（如圖所示），簡(jiǎn)潔對(duì)稱、和諧優(yōu)美.某數(shù)學(xué)文化研究會(huì)以弦圖為藍(lán)本設(shè)計(jì)會(huì)徽，其圖案是用紅、黃2種顏色為弦圖的5個(gè)區(qū)域著色（至少使用一種顏色），則一共可以繪制備選的會(huì)徽?qǐng)D案數(shù)為_(kāi)_________.【答案】12【詳解】根據(jù)使用的色彩分類：（1）只用一種顏色，共有種情況；（2）使用兩種顏色，可分2步：選一種顏色涂小正方形，有種選法，由于對(duì)稱性，剩下四個(gè)直角三角形的涂法有5種情形（四個(gè)直角三角形與小正方形不同色，有1種；四個(gè)直角三角形有一個(gè)與小正方形同色，有1種；四個(gè)直角三角形有2個(gè)與小正方形同色，有相鄰和相對(duì)位置之分，共2種；四個(gè)直角三角形有3個(gè)與小正方形同色，有1種），所以用兩種顏色共有種情況，所以，一共可以繪制備選的會(huì)徽?qǐng)D案數(shù)為12種.故答案為：12．14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量的分布列為為常數(shù)，則的值為_(kāi)___________【答案】詳解：∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，∴，∴c=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；故答案為．15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)個(gè)路口，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，記為遇到紅燈的次數(shù)，若，則Y的方差______．【答案】【詳解】解：同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)個(gè)路口，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的．記為遇到紅燈的次數(shù)，則，，，．故答案為：．16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）立德中學(xué)開(kāi)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)活動(dòng)，高一年級(jí)測(cè)評(píng)分值（滿分100分）X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線如圖①所示.為了調(diào)查參加測(cè)評(píng)的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，決定在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取學(xué)生，并確定m＝67，且.在某班隨機(jī)抽樣得到20名學(xué)生的分值分布莖葉圖如圖②所示.若該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為k，則k等于______；這k名學(xué)生的人均分為_(kāi)_____.（附：，，）【答案】

10

74分【詳解】有圖像可知，服從正態(tài)分布，其中，，所以隨機(jī)變量，，，由，可得.由圖②可知，該班在內(nèi)抽取了10人；所以，人均分為分.故答案為：10，74分.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17．（2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高二期末）在的展開(kāi)式中,求：(1)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù)；(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(3)求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：.(1)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,第三項(xiàng)的系數(shù)為；(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(3)設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第（r+1）項(xiàng),則,又,所以r=2.∴系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為．18．（2022·甘肅酒泉·高一期末）“2022年全國(guó)城市節(jié)約用水宣傳周”于5月15日至21日舉行，某市圍繞“貫徹新發(fā)展理念，建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題，開(kāi)展了形式多樣，內(nèi)容豐富的活動(dòng)，進(jìn)一步增強(qiáng)全民保護(hù)水資源，防治水污染，節(jié)約用水的意識(shí)．為了解活動(dòng)開(kāi)展成效，某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調(diào)查住戶的節(jié)約用水情況，隨機(jī)抽取了100名業(yè)主進(jìn)行節(jié)約用水調(diào)查評(píng)分，將得到的分?jǐn)?shù)分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則第1，2，3組每組各應(yīng)抽取多少人？(2)在（1）的前提下，在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步訪談，求這2人都是第3組的概率．【答案】(1)各應(yīng)抽取1人，2人，3人(2)(1)由表中的數(shù)據(jù)可知：第1，2，3組的人數(shù)比為0.01：0.02：0.03=1：2：3，∴采用分層抽樣的方法抽取6人，則第1，2，3組每組各應(yīng)抽取1人，2人，3人．(2)記抽取的6人來(lái)自第1組的1人為a，來(lái)自第2組的2人為b，c，來(lái)自第3組的3人為d，e，f，則在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人的可能結(jié)果有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15種，其中2人都來(lái)自第3組的有de，df，ef共3種，∴這2人都是第3組的概率．19．（2022·山西·晉中新大陸雙語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）某種產(chǎn)品按照產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為一等品、二等品、三等品、四等品四個(gè)等級(jí)，某采購(gòu)商從采購(gòu)的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，根據(jù)產(chǎn)品的等級(jí)分類得到如下數(shù)據(jù)：等級(jí)一等品二等品三等品四等品數(shù)量40301020（1）若將頻率視為概率，從采購(gòu)的產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，求恰好有1件四等品的概率；（2）根據(jù)產(chǎn)品等級(jí)，按分層抽樣的方法從這100件產(chǎn)品中抽取10件，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中一等品的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）生產(chǎn)商提供該產(chǎn)品的兩種銷售方案供采購(gòu)商選擇，方案一：產(chǎn)品不分類，售價(jià)均為22元/件．方案二：分類賣出，分類后的產(chǎn)品售價(jià)如下，等級(jí)一等品二等品三等品四等品售價(jià)/（元/件）24221816根據(jù)樣本估計(jì)總體，從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該選擇哪種銷售方案？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）選擇方案二，理由見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）從采購(gòu)的產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記抽到四等品的數(shù)量為，則，所以．（2）由題可得，抽取的10件產(chǎn)品中，一等品有4件，非一等品有6件，所以的可能取值為0，1，2，3．，，，．則的分布列為0123．（3）由題，方案二的產(chǎn)品的平均售價(jià)為（元/件）.因?yàn)?，所以從采?gòu)商的角度考慮，應(yīng)選擇方案二.20．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）某芯片制造企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).在試產(chǎn)初期，該款芯片生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.(1)在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)前三道工序的次品率分別為.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為98%，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率；(2)該企業(yè)改進(jìn)生產(chǎn)工藝后生產(chǎn)了批次的芯片.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的用戶回訪，對(duì)開(kāi)機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的100名用戶中，安裝批次有40部，其中對(duì)開(kāi)機(jī)速度滿意的有30人；安裝批次有60部，其中對(duì)開(kāi)機(jī)速度滿意的有58人.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為芯片批次與用戶對(duì)開(kāi)機(jī)速度滿意度有關(guān)?附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)①；②；(2)能認(rèn)為芯片批次與用戶對(duì)開(kāi)機(jī)速度滿意度有關(guān)聯(lián)，理由見(jiàn)解析.（1）①批次芯片的次品率為②設(shè)批次的芯片智能自功檢測(cè)合格為事件，人工抽檢合格為事件，由已知得，則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品為事件，.（2）零假設(shè)為：芯片批次與用戶對(duì)開(kāi)機(jī)速度滿意度無(wú)關(guān)聯(lián).由數(shù)據(jù)可建立列聯(lián)表如下：（單位：人）開(kāi)機(jī)速度滿意度芯片批次合計(jì)不滿意10212滿意305888合計(jì)4060100根據(jù)列聯(lián)表得因此，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷此推斷不成立，即能認(rèn)為芯片批次與用戶對(duì)開(kāi)機(jī)速度滿意度有關(guān)聯(lián).此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）核酸檢測(cè)是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測(cè)會(huì)呈現(xiàn)陽(yáng)性，否則為陰性．某檢測(cè)點(diǎn)根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該處疑似病例核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為．現(xiàn)有4例疑似病例，分別對(duì)其取樣檢測(cè)，多個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)．混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽(yáng)性．若混合樣本呈陽(yáng)性，則再將該組中每一個(gè)備份的樣本逐一進(jìn)行化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無(wú)需再檢驗(yàn)．現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：平均分成兩組，每組兩個(gè)樣本混合在一起，再分組化驗(yàn)．在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．(1)求4個(gè)疑似病例中至少有1例呈陽(yáng)性的概率；(2)現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請(qǐng)問(wèn)：方案一、二中哪個(gè)較“優(yōu)”？做出判斷并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)方案二較“優(yōu)”；理由見(jiàn)解析（1）用表示4個(gè)疑似病例中化驗(yàn)呈陽(yáng)性的人數(shù)，則，由題意可知，設(shè)4個(gè)疑似病例中至少有1例呈