云南省曲靖市市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

云南省曲靖市市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.點(diǎn)P（x0，y0）在圓x2+y2=r2內(nèi)，則直線和已知圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．不能確定參考答案：A【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先利用點(diǎn)到直線的距離，求得圓心到直線x0x+y0y=r2的距離，根據(jù)P在圓內(nèi)，判斷出x02+y02＜r2，進(jìn)而可知d＞r，故可知直線和圓相離．【解答】解：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d=∵點(diǎn)M（x0，y0）在圓內(nèi)，∴x02+y02＜r2，則有d＞r，故直線和圓相離，直線與圓的公共點(diǎn)為0個(gè)故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系．考查了數(shù)形結(jié)合的思想，直線與圓的位置關(guān)系的判定．解題的關(guān)鍵是看圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系．2.下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．如果α⊥β，那么α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果α⊥β，那么α內(nèi)所有直線都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ參考答案：B【考點(diǎn)】平面與平面垂直的性質(zhì)．【分析】如果α⊥β，則α內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面β，進(jìn)而可推斷出A命題正確；α內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面β，故可判斷出B命題錯(cuò)誤；根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知C命題正確；根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)推斷出D命題正確．【解答】解：如果α⊥β，則α內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面β，故可推斷出A命題正確．B選項(xiàng)中α內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面β，故B命題錯(cuò)誤．C根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知C命題正確．D根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)推斷出D命題正確．故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面與平面垂直的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是對(duì)平面與平面垂直的性質(zhì)及判定定理熟練記憶．3.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ ）A． 30° B．45° C．60° D．120°參考答案：【題文】在數(shù)列中，，，則的值是

A.

B.

C.

D.【答案】B略4.設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（

）．A．

B．18

C．16

D．9參考答案：B5.（5分）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽．下列各對(duì)事件中，為對(duì)立事件的是（） A．恰有一名男生和恰有2名男生 B． 至少一名男生和至少一名女生 C．至少有一名男生和與全是女生 D． 至少有一名男生和全是男生參考答案：C6.下列雙曲線中，漸近線方程為y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線方程﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得到答案．【解答】解：由雙曲線方程﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，由A可得漸近線方程為y=±2x，由B可得漸近線方程為y=±x，由C可得漸近線方程為y=x，由D可得漸近線方程為y=x．故選：A．7.已知函數(shù)，則f（2）=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f′（2）的值，從而求出f（x）的解析式，求出f（2）的值即可．【解答】解：∵f′（x）=3f′（2）x2﹣，∴f′（2）=12f′（2）﹣，解得：f′（2）=，故f（x）=x3+，故f（2）=，故選：C．8.長、寬分別為a，b的矩形的外接圓的面積為，將此結(jié)論類比到空間中，正確的結(jié)論為（

）A.長、寬、高分別為a，b，c的長方體的外接球的半徑為B.長、寬、高分別為a，b，c的長方體的外接球的表面積為C.長、寬、高分別為a，b，c的長方體的外接球的體積為D.長、寬、高分別為a，b，c的長方體的外接球的表面積為參考答案：D【分析】類比為求長、寬、高分別為，，的長方體的外接球的表面積即可.【詳解】“矩形的外接圓的面積”在類比中對(duì)應(yīng)的是“長方體的外接球的表面積”，長、寬、高分別為，，的長方體的外接球的半徑為，故其表面積為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.9.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，則C＝()A．

B．C．

D．參考答案：C10.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（﹣3，0），C上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為9，則點(diǎn)P的一個(gè)坐標(biāo)為（）A．（﹣3，6） B．（﹣3，6） C．（﹣6，6） D．（﹣6，6）參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】利用拋物線的簡單性質(zhì)，列出方程求出P的橫坐標(biāo)，即可推出結(jié)果．【解答】解：拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（﹣3，0），準(zhǔn)線方程為：x=3，C上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為9，設(shè)P（x，y）可得﹣x+3=9，解得x=﹣6，則=9，可得y=．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列{an}中，a3、a15是方程x2﹣6x﹣1=0的兩根，則a7+a8+a9+a10+a11=

．參考答案：15【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a3+a15=6，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15，由此求得要求式子的值．【解答】解：由題意可得a3+a15=6，又a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15，∴a7+a8+a9+a10+a11=（2+）（a3+a15）=×6=15，故答案為15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程等于系數(shù)的關(guān)系，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．12.已知向量，若，則等于

。參考答案：13.已知都是定義在上的函數(shù)，且滿足以下條件：①；②；③．若，則=_______．參考答案：14.若雙曲線的漸近線與方程為的圓相切，則此雙曲線的離心率為

．參考答案：215.已知數(shù)列是一個(gè)公差不為0等差數(shù)列，且，并且成等比數(shù)列，則=________．w參考答案：16.已知單位正方形，點(diǎn)為中點(diǎn)．以為原點(diǎn)，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：（1）點(diǎn)坐標(biāo)為__________．（2）若點(diǎn)滿足：在直線上，且面，則點(diǎn)坐標(biāo)為__________．參考答案：（1）．（2）．（1）∵是單位正方體，∴棱長為，∴，，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得．（2）易知當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，從而平面，∴．17.已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的取值范圍是___________.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為．（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；（2）直線l的極坐標(biāo)方程是，l與C交于A，B兩點(diǎn)，，求l的斜率．參考答案：(1)(2)【分析】(1)將x、y的極坐標(biāo)值代入圓C的直角坐標(biāo)方程，化簡可得答案；（2）根據(jù)已知條件可以求出圓心到直線的距離值，代入距離公式，可得的值，可得斜率.【詳解】解：（1）由圓的方程為，得，把，代入，得的極坐標(biāo)方程為；（2）把代入，得，則．.則，，即的斜率為．【點(diǎn)睛】本題主要考察極坐標(biāo)和參數(shù)方程,需牢記他們之間轉(zhuǎn)換的公式，屬于中等題型.19.目前四年一度的世界杯在巴西舉行，為調(diào)查哈三中高二學(xué)生是否熬夜看世界杯用簡單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了110名高二學(xué)生，結(jié)果如下表：

男女是4020否2030

（I）若哈三中高二學(xué)年共有1100名學(xué)生，試估計(jì)大約有多少學(xué)生熬夜看球;（II）能否有99%以上的把握認(rèn)為“熬夜看球與性別有關(guān)”?附表：見下頁0.0500.0100.0013.8416.63510.828參考答案：(Ⅰ)600

(Ⅱ)，故有把握20.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x+1，α∈R．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有實(shí)數(shù)a的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出f′（x），根據(jù)當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，若f′（x）＞0，則0＜x＜a，若f′（x）＜0，則x＞a，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分別討論a≤0和a＞0的情況：a≤0時(shí)，發(fā)現(xiàn)在（0，1）上函數(shù)f（x）＞0，∴f（x）≤0在區(qū)間x∈（0，+∞）上不可能恒成立；當(dāng)a＞0時(shí)，再次求導(dǎo)求出a的值【解答】解：（1）∵f（x）=alnx﹣x+1，x＞0，∴f′（x）=﹣1=，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0恒成立，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，若f′（x）＞0，則0＜x＜a，若f′（x）＜0，則x＞a，故此時(shí)，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減；（2）由（1）知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為減區(qū)間，而f（1）=0，∴在（0，1）上函數(shù)f（x）＞0，∴f（x）≤0在區(qū)間x∈（0，+∞）上不可能恒成立；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上遞增，在（a，+∞）上遞減，f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，令g（a）=alna﹣a+1，依題意有g(shù)（a）≤0，而g′（a）=lna，且a＞0∴g（a）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，∴g（a）min=g（1）=0，故a=1，21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）證明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；用空間向量求直線間的夾角、距離；二面角的平面角及求法．【分析】解法一（1）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，通過得出?=0，證出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一個(gè)法向量，利用兩法向量夾角求解．（3）設(shè)E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出關(guān)于h的方程求解即可．解法二：（1）通過證明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于點(diǎn)H，連接DH，∠AHD為二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解（3）因?yàn)椤螦DC＜45°，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF，故∠EBF（或其補(bǔ)角）為異面直線BE與CD所成的角．在△EBF中，因?yàn)镋F＜BE，從而∠EBF=30°，由余弦定理得出關(guān)于h的方程求解即可．【解答】解法一：如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）證明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是?=0，所以PC⊥AD．（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則即取z=1，則以=（1，2，1）．又平面PAC的一個(gè)法向量為=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值為．（3）設(shè)E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===所以=cos30°=，解得h=，即AE=．解法二：（1）證明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如圖，作AH⊥PC于點(diǎn)H，連接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，從而∠AHD為二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值為．（3）解：如圖，因?yàn)椤螦DC＜45°，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF，故∠EBF（或其補(bǔ)角）為異面直線BE與CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin∠AFB=．在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，由余弦定理，B