第六章套利定價理論

會計學(xué)1第六章套利定價理論第一節(jié)套利定價模型套利是指利用一個或多個市場存在的各種價格差異，在不冒風(fēng)險或冒較小風(fēng)險的情況下賺取較高收益率的交易活動。套利是市場無效率的產(chǎn)物，而套利的結(jié)果則促使市場效率提高，使資產(chǎn)價格重新回歸均衡，因此套利對市場的正面效應(yīng)遠(yuǎn)超過負(fù)面效應(yīng)。

第1頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型套利是利用市場上資產(chǎn)價格暫時失衡的機會,建立數(shù)量相等的多頭和空頭頭寸,獲取無風(fēng)險利潤的行為。因此一旦市場出現(xiàn)了套利機會套利者會盡可能建立大額的套利頭寸,推動市場價格恢復(fù)均衡,迅速消除套利機會,這正是套利定價理論的核心思想。

第2頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型套利定價理論的一個基本假設(shè)：證券的收益率主要受一個或多個市場因子影響，并且如同指數(shù)模型一樣，假設(shè)證券收益率與這些因子之間具有線性關(guān)系，然后利用無套利均衡分析方法確定這些市場因子及對證券收益率的影響。第3頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型一、單因子模型

假設(shè)各證券收益率均受一個市場因子影響，并且有線性結(jié)構(gòu)，即對任意證券的收益率，有

其中:是影響各證券收益率的因子的收益率;

是因子收益率為零時證券的預(yù)期收益率;

是因子收益率變化對證券收益率的影響程度;

是證券的收益率為與因子無關(guān)的殘差。第4頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型并假設(shè)有：為記號簡單，以下記，可以是任意隨機變量，于是如同單指數(shù)模型一樣以得到證券J的預(yù)期收益率為其中表示因子的預(yù)期收益率。

（6.2），不同證券的殘差不相關(guān)（6.3）,

，證券J的殘差與因子I不相關(guān)（6.4）（6.5）第5頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型證券J的收益率的方差為其中：

表示因子的收益率的方差；表示殘差的方差。上式表明任意證券J的風(fēng)險可分解為因子風(fēng)險和非因子風(fēng)險兩部分。（6.6）第6頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型在單因子模型下，證券和證券收益率的協(xié)方差為對證券組合，其預(yù)期收益率為（6.8)（6.7)第7頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型證券組合的方差為其中(6.9)第8頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型根據(jù)套利定價思想，在出現(xiàn)套利機會時，投資者將構(gòu)造套利組合，來增加已有投資組合的預(yù)期收益率。之所以稱為套利組合，它應(yīng)具有三個性質(zhì)：

1、構(gòu)造的套利組合應(yīng)不增加投資者的投資；

2、套利組合無風(fēng)險，即產(chǎn)生風(fēng)險的因子對套利組合的影響程度為零；

3、套利組合的預(yù)期收益率非負(fù)。

第9頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型如果用表示套利組合，則應(yīng)滿足的三個性質(zhì)可以表示成（6.11)（6.10)（6.12)第10頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型投資者通過構(gòu)造套利組合，買入收益率被低估的證券而賣出收益率被高估的證券。從而使低估證券需求增加、價格上升，其收益率回升；使高估證券供給增加、價格下降，其收益率回落，直到各證券價格和收益率重新回歸均衡，即各證券收益率與其影響因子的收益率保持一種合理關(guān)系，套利活動也將終止。而此無套利均衡下證券收益率與其影響因子收益率的關(guān)系正是下面所要推導(dǎo)的。第11頁/共39頁投資者套利的目標(biāo)是使套利組合的預(yù)期收益率最大化即尋求以下優(yōu)化問題的解:

利用Lagrange乘數(shù)法，建立拉格朗日函數(shù)第一節(jié)套利定價模型第12頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型要求L的最大值，為此將其對及求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得如下方程組從(6.13)可以求出使套利組合收益率最大的與的關(guān)系

（6.13）（6.14）第13頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型注意到滿足方程組(6.13)的套利組合其收益率為可見(6.14)反映了無套利均衡條件下證券預(yù)期收益率與因子影響程度之間滿足線性關(guān)系，此即單因子套利定價模型。第14頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型(6.14)不僅對單個證券成立，對證券組合也成立，即對證券組合，仍有

如果某證券不滿足(6.14)，投資者可以構(gòu)造包含該證券的套利組合，使方程組(6.13)不成立，從而,套利成功將迫使證券需求、價格和收益率向均衡點方向調(diào)整。第15頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型以下討論套利定價模型(6.14)中的常數(shù)的含義,對于無風(fēng)險資產(chǎn)其收益率為無風(fēng)險利率,而且它的收益率不受任何風(fēng)險因子影響，因此對無風(fēng)險資產(chǎn)。將無風(fēng)險資產(chǎn)代入模型(6.14)，則有于是將其代入(6.14)得第16頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型為了考查的含義，我們構(gòu)造一個純因子組合，其因子影響程度代入上式可得：上式表明是因子的風(fēng)險溢價，即具有單位因子影響程度的證券組合能獲得的超過無風(fēng)險收益率的那部分預(yù)期收益率。由于純因子組合有多種構(gòu)造方法，用它們構(gòu)造的組合所推得的應(yīng)該是相同的，因若不同，套利者便可以從中套利，因此因子風(fēng)險報酬是惟一的第17頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型我們不妨以因子作為純因子組合的代表，于是可以記于是(6.14)的套利定價模型可以寫成

如果將市場投資組合作為純因子，則套利定價模型具有如下形式它與CAPM形式完全一樣，但其導(dǎo)出過程和思想?yún)s完全不同。（6.15）第18頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型二、多因子模型多因子模型是假定各證券收益率都受多個市場因子影響，并具有線性結(jié)構(gòu)，即任意證券的收益率可表示為個因子收益率的線性模型其中：第19頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型與單因子模型類似，這里要假設(shè)如同多指數(shù)模型，在各不相關(guān)條件下可以得到證券的預(yù)期收益率為(6.17)(6.18)(6.19)第20頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型證券收益率的方差為證券和的收益率協(xié)方差為

第21頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型對于證券組合,有其中:第22頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型而第23頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型在套利定價思想下，投資者構(gòu)造的套利組合滿足的三個性質(zhì)可以表示成(6.20)(6.21)(6.22)第24頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型套利組合是以下問題的解第25頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型建立拉格朗日函數(shù)將對及求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得到方程組(6.23)第26頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型從中可以求出多因子模型下的套利定價模型完全仿照單因子模型情形，通過分別構(gòu)造僅依賴一個因子的純因子組合，還可以將上述模型寫成

其中是因子的風(fēng)險報酬,即使的單因子證券組合能獲得超過無風(fēng)險收益率的那部分超額收益率。第27頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型例6.1證券市場有三個證券其收益率分別記為，經(jīng)驗表明，它們受兩個市場因子的影響，下表給出了這三個證券收益率及其與市場因子收益率影響程度的因子的客觀統(tǒng)計估計值：以及，如果無風(fēng)險收益率為

證券的收益率

r111%0.52.0

r225%1.01.5

r3

23%1.51.0第28頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型由APT模型，這三個證券的期望收益率為將APT給出的期望收益率與證券的客觀收益率比較，我們發(fā)現(xiàn)證券1和證券3的客觀估計值的期望收益率與無套利條件下的期望收益率相同，因此交易這兩種證券無套利而言。而證券2卻不同，即所以通過賣出適當(dāng)比例的證券1和證券3，并投資于證券2可以構(gòu)成套利組合。

第29頁/共39頁第一節(jié)套利定價模型設(shè)證券組合的權(quán)重為,根據(jù)套利組合的定義：由此解得此證券組合的存在著套利機會，套利收益率為

返回第30頁/共39頁第二節(jié)套利定價理論的進一步討論一、APT和CAPM的聯(lián)系與區(qū)別

1.APT和CAPM的聯(lián)系當(dāng)取因子為市場投資組合時,APT與CAPM有相同結(jié)果,即APT的定價模型恰好是CAPM中的證券市場線,二者是一致的。但這并不意味著CAPM模型是多因子APT模型的特殊(單因子)情形,實際上默頓于1975年和布雷頓于1979年都討論過CAPM的多因素模型。第31頁/共39頁第二節(jié)套利定價理論的進一步討論在APT單因子模型中，如果選擇的因子并非市場投資組合而得到單因子APT模型:而CAPM得到的單因子模型(證券市場線)為:

這兩個模型并不一致，但如果因子與市場投資組合的收益率完全相關(guān)且同方差，則可以得出，這時可以以因子替代市場投資組合，例如某一市場指數(shù)與市場投資組合收益率完全相關(guān)且同方差，則可以用該指數(shù)代替市場投資組合。第32頁/共39頁第二節(jié)套利定價理論的進一步討論2.APT和CAPM的區(qū)別兩者最大區(qū)別在于雖然模型的線性形式相同，但建模思想不同。CAPM模型是建立在市場均衡的基礎(chǔ)上，以市場投資組合存在為前提。第33頁/共39頁第二節(jié)套利定價理論的進一步討論CAPM模型假定投資者對市場中證券的收益率有相同的認(rèn)識，即有相同的分布、均值、方差，只是各自的風(fēng)險偏好不同，從而可以建立起最小方差集合、有效集合;每個投資者都建立有效的投資組合以分散非系統(tǒng)風(fēng)險，并根據(jù)自己對風(fēng)險的偏好在存在無風(fēng)險利率時，建立無風(fēng)險資產(chǎn)與市場投資組合的投資組合在不存在無風(fēng)險利率時，建立零資產(chǎn)與市場投資組合的投資組合，這導(dǎo)出每個證券的收益率與其風(fēng)險系數(shù)具有線性關(guān)系第34頁/共39頁第二節(jié)套利定價理論的進一步討論APT模型是建立在無套利均衡分析基礎(chǔ)上，它的出發(fā)點是通過少數(shù)投資者構(gòu)造大額無風(fēng)險套利頭寸，迫使市場重建均衡，以消除市場無風(fēng)險套利機會，導(dǎo)出單個證券收益率與其影響因子的影響程度之間的線性關(guān)系。因此APT理論并不需CAPM那么多關(guān)于市場的假設(shè)條件，也不需要CAPM中關(guān)于證券收益率分布的假設(shè)，但APT模型中關(guān)于證券收益率的線性生成結(jié)構(gòu)假設(shè)卻是CAPM模型所沒有要求的。第35頁/共39頁第二節(jié)套利定價理論的進一步討論二、關(guān)于模型的檢驗問題APT對CAPM提出的直接挑戰(zhàn)是CAPM無法進行檢驗，其根源在于CAPM中的市場投資組合包括的資產(chǎn)范圍太廣，以致于無法通過觀測取得其收益率，在模型的應(yīng)用中，常以某些市場綜合指數(shù)近似代替市場投資組合，這樣既使市場綜合指數(shù)的收益率可以觀測，其對模型的檢驗也很難對CAPM模型給出肯定或否定的結(jié)論。

第36頁/共39頁第二節(jié)套利定價理論的進一步討論而APT模型的檢驗取決于因子的選擇，通常在APT模型中選取的因子可以分為三類：第一類即宏