第六章套利定價(jià)理論

會(huì)計(jì)學(xué)1第六章套利定價(jià)理論第一節(jié)套利定價(jià)模型套利是指利用一個(gè)或多個(gè)市場(chǎng)存在的各種價(jià)格差異，在不冒風(fēng)險(xiǎn)或冒較小風(fēng)險(xiǎn)的情況下賺取較高收益率的交易活動(dòng)。套利是市場(chǎng)無(wú)效率的產(chǎn)物，而套利的結(jié)果則促使市場(chǎng)效率提高，使資產(chǎn)價(jià)格重新回歸均衡，因此套利對(duì)市場(chǎng)的正面效應(yīng)遠(yuǎn)超過(guò)負(fù)面效應(yīng)。

第1頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型套利是利用市場(chǎng)上資產(chǎn)價(jià)格暫時(shí)失衡的機(jī)會(huì),建立數(shù)量相等的多頭和空頭頭寸,獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的行為。因此一旦市場(chǎng)出現(xiàn)了套利機(jī)會(huì)套利者會(huì)盡可能建立大額的套利頭寸,推動(dòng)市場(chǎng)價(jià)格恢復(fù)均衡,迅速消除套利機(jī)會(huì),這正是套利定價(jià)理論的核心思想。

第2頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型套利定價(jià)理論的一個(gè)基本假設(shè)：證券的收益率主要受一個(gè)或多個(gè)市場(chǎng)因子影響，并且如同指數(shù)模型一樣，假設(shè)證券收益率與這些因子之間具有線性關(guān)系，然后利用無(wú)套利均衡分析方法確定這些市場(chǎng)因子及對(duì)證券收益率的影響。第3頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型一、單因子模型

假設(shè)各證券收益率均受一個(gè)市場(chǎng)因子影響，并且有線性結(jié)構(gòu)，即對(duì)任意證券的收益率，有

其中:是影響各證券收益率的因子的收益率;

是因子收益率為零時(shí)證券的預(yù)期收益率;

是因子收益率變化對(duì)證券收益率的影響程度;

是證券的收益率為與因子無(wú)關(guān)的殘差。第4頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型并假設(shè)有：為記號(hào)簡(jiǎn)單，以下記，可以是任意隨機(jī)變量，于是如同單指數(shù)模型一樣以得到證券J的預(yù)期收益率為其中表示因子的預(yù)期收益率。

（6.2），不同證券的殘差不相關(guān)（6.3）,

，證券J的殘差與因子I不相關(guān)（6.4）（6.5）第5頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型證券J的收益率的方差為其中：

表示因子的收益率的方差；表示殘差的方差。上式表明任意證券J的風(fēng)險(xiǎn)可分解為因子風(fēng)險(xiǎn)和非因子風(fēng)險(xiǎn)兩部分。（6.6）第6頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型在單因子模型下，證券和證券收益率的協(xié)方差為對(duì)證券組合，其預(yù)期收益率為（6.8)（6.7)第7頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型證券組合的方差為其中(6.9)第8頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型根據(jù)套利定價(jià)思想，在出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)時(shí)，投資者將構(gòu)造套利組合，來(lái)增加已有投資組合的預(yù)期收益率。之所以稱為套利組合，它應(yīng)具有三個(gè)性質(zhì)：

1、構(gòu)造的套利組合應(yīng)不增加投資者的投資；

2、套利組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，即產(chǎn)生風(fēng)險(xiǎn)的因子對(duì)套利組合的影響程度為零；

3、套利組合的預(yù)期收益率非負(fù)。

第9頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型如果用表示套利組合，則應(yīng)滿足的三個(gè)性質(zhì)可以表示成（6.11)（6.10)（6.12)第10頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型投資者通過(guò)構(gòu)造套利組合，買(mǎi)入收益率被低估的證券而賣(mài)出收益率被高估的證券。從而使低估證券需求增加、價(jià)格上升，其收益率回升；使高估證券供給增加、價(jià)格下降，其收益率回落，直到各證券價(jià)格和收益率重新回歸均衡，即各證券收益率與其影響因子的收益率保持一種合理關(guān)系，套利活動(dòng)也將終止。而此無(wú)套利均衡下證券收益率與其影響因子收益率的關(guān)系正是下面所要推導(dǎo)的。第11頁(yè)/共39頁(yè)投資者套利的目標(biāo)是使套利組合的預(yù)期收益率最大化即尋求以下優(yōu)化問(wèn)題的解:

利用Lagrange乘數(shù)法，建立拉格朗日函數(shù)第一節(jié)套利定價(jià)模型第12頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型要求L的最大值，為此將其對(duì)及求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得如下方程組從(6.13)可以求出使套利組合收益率最大的與的關(guān)系

（6.13）（6.14）第13頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型注意到滿足方程組(6.13)的套利組合其收益率為可見(jiàn)(6.14)反映了無(wú)套利均衡條件下證券預(yù)期收益率與因子影響程度之間滿足線性關(guān)系，此即單因子套利定價(jià)模型。第14頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型(6.14)不僅對(duì)單個(gè)證券成立，對(duì)證券組合也成立，即對(duì)證券組合，仍有

如果某證券不滿足(6.14)，投資者可以構(gòu)造包含該證券的套利組合，使方程組(6.13)不成立，從而,套利成功將迫使證券需求、價(jià)格和收益率向均衡點(diǎn)方向調(diào)整。第15頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型以下討論套利定價(jià)模型(6.14)中的常數(shù)的含義,對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)其收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,而且它的收益率不受任何風(fēng)險(xiǎn)因子影響，因此對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)代入模型(6.14)，則有于是將其代入(6.14)得第16頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型為了考查的含義，我們構(gòu)造一個(gè)純因子組合，其因子影響程度代入上式可得：上式表明是因子的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，即具有單位因子影響程度的證券組合能獲得的超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率的那部分預(yù)期收益率。由于純因子組合有多種構(gòu)造方法，用它們構(gòu)造的組合所推得的應(yīng)該是相同的，因若不同，套利者便可以從中套利，因此因子風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬是惟一的第17頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型我們不妨以因子作為純因子組合的代表，于是可以記于是(6.14)的套利定價(jià)模型可以寫(xiě)成

如果將市場(chǎng)投資組合作為純因子，則套利定價(jià)模型具有如下形式它與CAPM形式完全一樣，但其導(dǎo)出過(guò)程和思想?yún)s完全不同。（6.15）第18頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型二、多因子模型多因子模型是假定各證券收益率都受多個(gè)市場(chǎng)因子影響，并具有線性結(jié)構(gòu)，即任意證券的收益率可表示為個(gè)因子收益率的線性模型其中：第19頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型與單因子模型類(lèi)似，這里要假設(shè)如同多指數(shù)模型，在各不相關(guān)條件下可以得到證券的預(yù)期收益率為(6.17)(6.18)(6.19)第20頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型證券收益率的方差為證券和的收益率協(xié)方差為

第21頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型對(duì)于證券組合,有其中:第22頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型而第23頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型在套利定價(jià)思想下，投資者構(gòu)造的套利組合滿足的三個(gè)性質(zhì)可以表示成(6.20)(6.21)(6.22)第24頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型套利組合是以下問(wèn)題的解第25頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型建立拉格朗日函數(shù)將對(duì)及求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得到方程組(6.23)第26頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型從中可以求出多因子模型下的套利定價(jià)模型完全仿照單因子模型情形，通過(guò)分別構(gòu)造僅依賴一個(gè)因子的純因子組合，還可以將上述模型寫(xiě)成

其中是因子的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬,即使的單因子證券組合能獲得超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率的那部分超額收益率。第27頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型例6.1證券市場(chǎng)有三個(gè)證券其收益率分別記為，經(jīng)驗(yàn)表明，它們受兩個(gè)市場(chǎng)因子的影響，下表給出了這三個(gè)證券收益率及其與市場(chǎng)因子收益率影響程度的因子的客觀統(tǒng)計(jì)估計(jì)值：以及，如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為

證券的收益率

r111%0.52.0

r225%1.01.5

r3

23%1.51.0第28頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型由APT模型，這三個(gè)證券的期望收益率為將APT給出的期望收益率與證券的客觀收益率比較，我們發(fā)現(xiàn)證券1和證券3的客觀估計(jì)值的期望收益率與無(wú)套利條件下的期望收益率相同，因此交易這兩種證券無(wú)套利而言。而證券2卻不同，即所以通過(guò)賣(mài)出適當(dāng)比例的證券1和證券3，并投資于證券2可以構(gòu)成套利組合。

第29頁(yè)/共39頁(yè)第一節(jié)套利定價(jià)模型設(shè)證券組合的權(quán)重為,根據(jù)套利組合的定義：由此解得此證券組合的存在著套利機(jī)會(huì)，套利收益率為

返回第30頁(yè)/共39頁(yè)第二節(jié)套利定價(jià)理論的進(jìn)一步討論一、APT和CAPM的聯(lián)系與區(qū)別

1.APT和CAPM的聯(lián)系當(dāng)取因子為市場(chǎng)投資組合時(shí),APT與CAPM有相同結(jié)果,即APT的定價(jià)模型恰好是CAPM中的證券市場(chǎng)線,二者是一致的。但這并不意味著CAPM模型是多因子APT模型的特殊(單因子)情形,實(shí)際上默頓于1975年和布雷頓于1979年都討論過(guò)CAPM的多因素模型。第31頁(yè)/共39頁(yè)第二節(jié)套利定價(jià)理論的進(jìn)一步討論在APT單因子模型中，如果選擇的因子并非市場(chǎng)投資組合而得到單因子APT模型:而CAPM得到的單因子模型(證券市場(chǎng)線)為:

這兩個(gè)模型并不一致，但如果因子與市場(chǎng)投資組合的收益率完全相關(guān)且同方差，則可以得出，這時(shí)可以以因子替代市場(chǎng)投資組合，例如某一市場(chǎng)指數(shù)與市場(chǎng)投資組合收益率完全相關(guān)且同方差，則可以用該指數(shù)代替市場(chǎng)投資組合。第32頁(yè)/共39頁(yè)第二節(jié)套利定價(jià)理論的進(jìn)一步討論2.APT和CAPM的區(qū)別兩者最大區(qū)別在于雖然模型的線性形式相同，但建模思想不同。CAPM模型是建立在市場(chǎng)均衡的基礎(chǔ)上，以市場(chǎng)投資組合存在為前提。第33頁(yè)/共39頁(yè)第二節(jié)套利定價(jià)理論的進(jìn)一步討論CAPM模型假定投資者對(duì)市場(chǎng)中證券的收益率有相同的認(rèn)識(shí)，即有相同的分布、均值、方差，只是各自的風(fēng)險(xiǎn)偏好不同，從而可以建立起最小方差集合、有效集合;每個(gè)投資者都建立有效的投資組合以分散非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，并根據(jù)自己對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好在存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，建立無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與市場(chǎng)投資組合的投資組合在不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，建立零資產(chǎn)與市場(chǎng)投資組合的投資組合，這導(dǎo)出每個(gè)證券的收益率與其風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)具有線性關(guān)系第34頁(yè)/共39頁(yè)第二節(jié)套利定價(jià)理論的進(jìn)一步討論APT模型是建立在無(wú)套利均衡分析基礎(chǔ)上，它的出發(fā)點(diǎn)是通過(guò)少數(shù)投資者構(gòu)造大額無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利頭寸，迫使市場(chǎng)重建均衡，以消除市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，導(dǎo)出單個(gè)證券收益率與其影響因子的影響程度之間的線性關(guān)系。因此APT理論并不需CAPM那么多關(guān)于市場(chǎng)的假設(shè)條件，也不需要CAPM中關(guān)于證券收益率分布的假設(shè)，但APT模型中關(guān)于證券收益率的線性生成結(jié)構(gòu)假設(shè)卻是CAPM模型所沒(méi)有要求的。第35頁(yè)/共39頁(yè)第二節(jié)套利定價(jià)理論的進(jìn)一步討論二、關(guān)于模型的檢驗(yàn)問(wèn)題APT對(duì)CAPM提出的直接挑戰(zhàn)是CAPM無(wú)法進(jìn)行檢驗(yàn)，其根源在于CAPM中的市場(chǎng)投資組合包括的資產(chǎn)范圍太廣，以致于無(wú)法通過(guò)觀測(cè)取得其收益率，在模型的應(yīng)用中，常以某些市場(chǎng)綜合指數(shù)近似代替市場(chǎng)投資組合，這樣既使市場(chǎng)綜合指數(shù)的收益率可以觀測(cè)，其對(duì)模型的檢驗(yàn)也很難對(duì)CAPM模型給出肯定或否定的結(jié)論。

第36頁(yè)/共39頁(yè)第二節(jié)套利定價(jià)理論的進(jìn)一步討論而APT模型的檢驗(yàn)取決于因子的選擇，通常在APT模型中選取的因子可以分為三類(lèi)：第一類(lèi)即宏